黑龙江省哈尔滨市第三中学2022年第四次高考模拟考试文数试卷及参考答案

2022年哈三中高三学年第四次高考模拟考试答案

数学试卷（文史类）

一、        选择题：

二、        填空题：

13. 36     14.      15.    16.

三、解答题：

17. （Ⅰ）

，所以中位数在内，设为，

，解得，中位数为；

····································3分

所以，平均数为                          ····································6分

（Ⅱ）在成绩高的第组中用分层抽样的方法抽取名学生，

抽4人：,  抽2人:

设“分（包括分）以上的同学恰有1人被抽到”为事件A.

则所有的可能性为，，，，，，，，

，,，，，，共15个基本事件  ·······9分

其中满足条件的为，，，，，，，

共8个基本事件                              ····································11分

所以                              ···································· 12分

18. （Ⅰ）                                  ···························· 4分

（Ⅱ）                              ······························6分                                 

               ①

             ②

①②得 

所以,                            ······················ 12分

19.（Ⅰ）法一:取的中点,因为,,

所以为平行四边形,所以,又,所以

又平面，平面，则直线// 平面……………….5分

法二:证明平面//平面,平面,则直线// 平面

（Ⅱ）因为平面,所以,

,  ……………….7分

        ……………….9分

                                          ……………….10分

，设点到平面的距离为

因为，

点到平面的距离为                         ……………….12分

20. （Ⅰ） 

  ……………….3分

（Ⅱ）

      （1），；…….5分

（2），                 

当，；…….7分

当，

，                   ······················ 9分

，可证，，

                            ······················ 11分

所以的取值范围是                          ·····················12分

21.（Ⅰ）设动圆圆心，半径为.

动圆和圆外切且与圆内切，，，

于是，     ·······································  2分

故动圆圆心的轨迹为以，为两焦点的椭圆，

且，，，，

所以动圆圆心的轨迹方程为.    ······································  4分

（Ⅱ）当动直线的倾斜角为时，，，，

此时由已知，可得，

故若存在定点，则应在轴上；

当动直线的倾斜角为时，，，，，

此时由已知，可得，

设，于是，解得或（舍）,

故若存在与不同的定点，则应为.  ···································  6分

下面证明定点，能使得恒成立.

设，直线.

联立，

，.   ·······································  7分

，即直线与直线的倾斜角互补.

分别过点作轴的垂线，垂足分别为，

因为直线与的倾斜角互补，所以，

故，于是，

又因为，所以，即成立.         

综上：存在定点，使得恒成立.·············  12分

22.（Ⅰ），，      ················  2分

圆心到直线的距离为，·        ······································  3分

所以曲线上的点与直线上的点距离的最小值为.  ···············  4分

（Ⅱ）曲线，，，   ········  6分

设的参数方程为（为参数），

则上的点到直线上的点的距离为

（其中）， ········  8分

所以曲线上的点到直线距离的最大值为，

时取到.             ······································· 10分

23. （Ⅰ） ；……………..5分

（Ⅱ）函数的最小值为,所以,

因为,,,

所以=

当时,等号成立, 所以的最小值为2………10分