黑龙江省哈尔滨市第三中学2022年第四次高考模拟考试理数试卷及参考答案

2022年哈三中高三学年第四次高考模拟考试

数学试卷（理工类）答案

一、选择题     

1—12  CDBBA  BBCBB    AC

二、填空题

13. 36     14. 且     15.      16. ；

三、解答题

17.(1)

  2分

,            5分

所以有的把握认为购买哈尔滨红肠与人的年龄有关。      6分                                 

（2）的可能取值为0,1,2,3

，           

，          10分

的概率分布列为

11分

                                                12分

18. （Ⅰ）法一:取的中点,因为,,

所以为平行四边形,所以,又,所以

又平面，平面，则直线// 平面……………….5分

法二:证明平面//平面,平面,则直线// 平面

（2）因为平面,所以,以为原点,建立坐标系,设,……………………………7分

设平面的法向量为，由，令，则，所以，设平面的法向量为，由得，则所求余弦值为………..12分

19. （1），                                  2分

因为，….5分

所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列。                      6分

（2）                                              7分                                 

               ①

             ②

①②得 

所以,                                       10分

时, ,所以                                 12分

20. （Ⅰ）设动圆圆心，半径为.

动圆和圆外切和圆内切，，，

于是，     ·······································  2分

故动圆圆心的轨迹为以，为两焦点的椭圆，

且，，，，

所以动圆圆心的轨迹方程为.    ·······································  4分

（Ⅱ）当动直线的倾斜角为时，，，，

此时由已知，可得，

故若存在定点，则应在轴上；

当动直线的倾斜角为时，，，，，

此时由已知，可得，

设，于是，解得或（舍）,

故若存在与不同的定点，则应为.  ···································  6分

下面证明定点，能使得恒成立.

设，直线.

联立，

，.   ·······································  7分

，即直线与直线的倾斜角互补.

分别过点作轴的垂线，垂足分别为，

因为直线与的倾斜角互补，所以，

故，于是，

又因为，所以，

即成立.         

综上：存在定点，使得恒成立.·············  12分

21.（Ⅰ）

          ..........................................3分

（Ⅱ）把展开式中的以代入，得

所以                     ..........................................6分

（III）由泰勒展开式形式，往证

令，，，

，易知，所以

                                                ..........................................8分

再令，易求得，

所以在上递增，上递减，而，

所以恒成立.                   ..........................................10分

当时，，所以成立

而当时，令，易求得，

所以必存在一个区间，使得单调递减，即.

综上所述，.                                ..........................................12分

22.（Ⅰ），，   ················  2分

圆心到直线的距离为，·         ······································  3分

所以曲线上的点与直线上的点距离的最小值为.  ···············  4分

（Ⅱ）曲线，，，  ········  6分

设的参数方程为（为参数），

则上的点到直线上的点的距离为

（其中）， ········  8分

所以曲线上的点到直线距离的最大值为，

时取到.            ·······································  10分

23. （Ⅰ） ；……………..5分

（Ⅱ）函数的最小值为,所以,

因为,,,

所以=

当时,等号成立, 所以的最小值为2………10分