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2022襄阳五中高三适应性考试（二）（二模）数学试题（含答案）
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这是一份2022襄阳五中高三适应性考试（二）（二模）数学试题（含答案），共18页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
襄阳五中2022届高三年级适应性考试（二）
数 学 试 题
命题人：谢伟 审题人：王荣 段光荣
本试卷共22题。全卷满分150分。考试用时120分钟。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若复数满足，则的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，则A∩N的子集个数为（ ）
A． B．8 C． D．
3．已知数列的前项和为，为常数，则“数列是等比数列”为“”的（ ）条件
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要
4．已知圆锥的表面积为3π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
5．函数的部分图象如图所示，则函数的图象可以由的图象（ ）
A．向左平移个单位长度得到 B．向左平移个单位长度得到
C．向右平移个单位长度得到 D．向右平移个单位长度得到
6．数学与建筑的结合造就建筑艺术品，如吉林大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，如图.若将该大学的校门轮廓（忽略水泥建筑的厚度）近似看成抛物线的一部分，且点在该抛物线上，则该抛物线的焦点坐标是（ ）
A． B．（0，－1）
B． C． D．
7．已知函数，下列对于函数性质的四个描述：①是的极小值点；②的图象关于点中心对称；③有且仅有三个零点；④若区间上递增，则的最大值为．其中正确的描述的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．在体育选修课排球模块基本功发球测试中，计分规则如下满分为10分：①每人可发球7次，每成功一次记1分；②若连续两次发球成功加分，连续三次发球成功加1分，连续四次发球成功加分，以此类推，……，连续七次发球成功加3分．假设某同学每次发球成功的概率为，且各次发球之间相互独立，则该同学在测试中恰好得5分的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．某大学为了解学生对学校食堂服务的满意度，随机调查了50名男生和50名女生，每位学生对食堂的服务给出满意或不满意的评价，得到如图所示的列联表.经计算的观测值，则可以推断出（ ）
满意
不满意
男
30
20
女
40
10
0.100
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
A．该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为
B．调研结果显示，该学校男生比女生对食堂服务更满意
C．有95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异
D．有99%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异
10．定义在上的函数满足：为整数时，；不为整数时，，则（ ）
A．是奇函数 B．是偶函数
C． D．的最小正周期为
11．已知点，若过点的直线交圆：于，两点，是圆上一动点，则（ ）
A．的最小值为 B．到的距离的最大值为
C．的最小值为 D．的最大值为
12．如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点，则（ ）
A．存在点Q，使B，N，P，Q四点共面 B．存在点Q，使平面MBN
C．三棱锥P-MBN的体积为 D．经过C，M，B，N四点的球的表面积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知非零向量，满足，，则的最小值为 ．
14．已知函数在x=0处的切线与直线平行，则二项式展开式中含项的系数为 ．
15．设双曲线C：的左､右焦点分别为，，以为圆心的圆恰好与双曲线C的两渐近线相切，且该圆恰好经过线段的中点，则双曲线C的离心率是 ．
16．已知数列、，，，其前项和分别为，，（1）记数列的前项和分别为，则= ；（2）记最接近的整数为，则 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 如图，在∆ABC中，内角、、的对边分别为、、．已知，，，且为边上的中线，为的角平分线．
（1）求及线段的长；
（2）求∆ADE的面积．
18．2021年7月24日中华人民共和国教育部正式发布《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，简称“双减”政策. 某校为了解该校小学生在“双减”政策下课外活动的时间，随机抽查了40名小学生，统计了他们参加课外活动的时间，并绘制了如下的频率分布直方图.如图所示.
(1)由频率分布直方图估计该组数据的中位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；
(2)由频率分布直方图可认为：课外活动时间t（分钟）服从正态分布，其中为课外活动时间的平均数，近似为样本平均数（每组数据取区间的中点值），用频率估计概率，在该校随机抽取5名学生，记课外活动时间在内的人数为X，求X的数学期望（精确到0.1）.
参考数据：当X服从正态分布时，，，.
19．已知等差数列的前项和为，公差，是的等比中项，.
（1）求的通项公式；
（2）若数列满足，求.
20．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，，点是的中点，点是线段上的动点.
（1）求证：平面平面；
（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的值.
21．已知椭圆经过点，离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设椭圆的左、右两个顶点分别为，为直线上的动点，且不在轴上，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，为椭圆的左焦点，求证：∆FMN的周长为定值．
22．已知函数（e是自然对数的底数）．
(1)当时，试判断在上极值点的个数；
(2)当时，求证：对任意，．
第二次适应性考试数学答案
答案：1-8CCABD ACB 9.AC 10.BCD 11.ABC 12.ABC
13. 14. 36 15. 16.；
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若复数满足，则的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】因为，所以，所以，故选：C
2．已知集合，则的子集个数为（ ）
A． B．8 C． D．
【答案】C【解析】解：由题得.因为.所以.所以的子集个数为个.故选：C
3．已知数列的前项和为，为常数，则“数列是等比数列”为“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】，当时，，两式相减可得，
若，则，则数列是等比数列，若，则依然成立，但数列不是等比数列.所以“数列是等比数列”为“”的充分不必要条件.故选：A
4．已知圆锥的表面积为3π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线长为l，由，得，又，所以，解得；
所以圆锥的高为，
所以圆锥的体积为．故选：B．
5．函数的部分图象如图所示，则函数的图象可以由的图象（ ）
A．向左平移个单位长度得到 B．向左平移个单位长度得到
C．向右平移个单位长度得到 D．向右平移个单位长度得到
【答案】D
【解析】由图可知，，则，所以．由，，得，所以．函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为，所以D正确．选：D
6．数学与建筑的结合造就建筑艺术品，如吉林大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，如图.若将该大学的校门轮廓（忽略水泥建筑的厚度）近似看成抛物线的一部分，且点在该抛物线上，则该抛物线的焦点坐标是（ ）
A． B．（0，－1） C． D．
【答案】A
【解析】依题意在抛物线上，所以，所以，故，且抛物线开口向下，所以抛物线的焦点坐标为. 故选：A
7．已知函数，下列对于函数性质的四个描述：①是的极小值点；②的图象关于点中心对称；③有且仅有三个零点；④若区间上递增，则的最大值为．其中正确的描述的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】.A：，，当时，单调递减，当时，单调递增，所以是的极小值点，故本选项描述正确；
B：因为，
所以的图象关于点对称，因此本选项描述正确；
C：令，函数在同一直角坐标系内的图象如下图所示：
通过图象可知两个函数的图象有三个交点，因此有且仅有三个零点，所以本选项描述正确；
D：，当时，则有：，因此函数的增区间为：，显然有，所以的最大值为，因此本选项描述不正确，故选：C
8．在体育选修课排球模块基本功发球测试中，计分规则如下满分为10分：①每人可发球7次，每成功一次记1分；②若连续两次发球成功加分，连续三次发球成功加1分，连续四次发球成功加分，以此类推，……，连续七次发球成功加3分．假设某同学每次发球成功的概率为，且各次发球之间相互独立，则该同学在测试中恰好得5分的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】该同学在测试中恰好得5分有两种情况：四次发球成功，有两个连续得分，此时概率；四次发球成功，有三个连续得分，分为连续得分在首尾和不在首尾两类，此时概率，所求概率；故选B.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．某大学为了解学生对学校食堂服务的满意度，随机调查了50名男生和50名女生，每位学生对食堂的服务给出满意或不满意的评价，得到如图所示的列联表.经计算的观测值，则可以推断出（ ）
满意
不满意
男
30
20
女
40
10
0.100
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
A．该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为
B．调研结果显示，该学校男生比女生对食堂服务更满意
C．有95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异
D．有99%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异
【来源】类型一 统计与概率案例-【题型突破】备战2022年高考数学二轮基础题型 重难题型突破（新高考专用）
【答案】AC
【解析】
根据表格中的数据可求得男、女生对食堂服务满意的概率的估计值,根据,可判断C、D选项
【详解】
对于选项A,该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为,故A正确；
对于选项B,该学校女生对食堂服务满意的概率的估计值为,故B错误；
因为,所以有的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异,故C正确,D错误
故选：AC
10．定义在上的函数满足：为整数时，；不为整数时，，则（ ）
A．是奇函数 B．是偶函数
C． D．的最小正周期为
【答案】BCD
【解析】
根据函数的性质，结合奇偶性的定义和周期的定义，逐项判定，即可求解.
【详解】
A中，对于函数，有，
所以不恒成立，则函数不是奇函数，所以A不正确；
B中，对于函数，若为整数，则也是整数，则有，
若不为整数，则也不为整数，则有，
综上可得，所以函数是偶函数，所以B正确；
C中，若为整数，则，不为整数，则，
综上函数是整数，则，所以C正确；
D中，若为整数，则也是整数，若不为整数，则也不是整数，
总之有，所以函数的周期为1，
若，则和可能是一个整数，也可能不是整数，则有，
所以函数的最小正周期为1，所以D正确.
故选：BCD.
11．已知点，若过点的直线交圆：于，两点，是圆上一动点，则（ ）
A．的最小值为 B．到的距离的最大值为
C．的最小值为 D．的最大值为
【答案】ABC
【解析】如图，当直线与轴垂直时，有最小值，且最小值为，所以A正确；
设，则，
所以，所以的最小值为，所以C正确；
当，，三点共线时，最大，且最大值为，所以D错误；
当直线与垂直时，到的距离有最大值，且最大值为，所以B正确.
故选：ABC
12．如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点，则（ ）
A．存在点Q，使B，N，P，Q四点共面 B．存在点Q，使平面MBN
C．三棱锥P-MBN的体积为 D．经过C，M，B，N四点的球的表面积为
【答案】ABC
【解析】
【分析】
对于A，连接，，可证得，从而可得结论，对于B，连接PQ，，当Q是的中点时，由线面平行的判定可证得，对于C,利用求解，对于D，分别取，的中点E，F，构造长方体MADF-EBCN，其体对角线就是外接球的直径，求出体对角线的长，可求出球的表面积
【详解】如图，在正方体中，连接，，
因为N，P分别是，的中点，所以，又因为，所以，
所以，B，N，P四点共面，即当Q与重合时，B，N，P，Q四点共面，故选项A正确；
连接PQ，，当Q是的中点时，因为，，所以，
因为平面BMN，平面BMN，所以平面BMN，故选项B正确；
连接，，，因为，所以，故选项C正确；
分别取，的中点E，F，构造长方体MADF-EBCN，则经过C，M，B，N四点的球即为长方体MADF-EBCN的外接球，设所求外接球的直径为2R，则长方体MADF-EBCN的体对角线即为所求的球的直径，即，所以经过C，M，B，N四点的球的表面积为，故选项D错误. 故选：ABC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知非零向量，满足，，则的最小值为______．
【答案】
【解析】因为，因为，故，
当且仅当时，即时取得最小值.故答案为：.
14．已知函数在x=0处的切线与直线平行，则二项式展开式中含项的系数为 ．
【答案】36
14．已知函数在x=0处的切线与直线平行，则二项式展开式中含项的系数为（ ）
A．26 B．46 C．36 D．56
【来源】四川省成都市石室中学2021-2022学年高三下学期“二诊模拟”数学（理）试题
【答案】C
【详解】由函数的解析式，得，则．由题意，得，则二项式，二项式的通项公式为：，所以含项的系数为．故选：C
15．设双曲线C：的左､右焦点分别为，，以为圆心的圆恰好与双曲线C的两渐近线相切，且该圆恰好经过线段的中点，则双曲线C的离心率是 ．
【答案】
15．设双曲线C：的左､右焦点分别为，，以为圆心的圆恰好与双曲线C的两渐近线相切，且该圆恰好经过线段的中点，则双曲线C的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【来源】河南省五市2022届高三第二次联合调研检测文科数学试题
【答案】A
【详解】由题意知：渐近线方程为，由焦点，，以为圆心的圆恰好与双曲线C的两渐近线相切，则圆的半径等于圆心到切线的距离，即，又该圆过线段的中点，故，所以离心率为.故答案为：.
16．已知数列、，，，其前项和分别为，，（1）记的前项和分别为，则= ；（2）记最接近的整数为，则 ．
【答案】；
16．已知数列、，，，其前项和分别为，，记最接近的整数为，则 ．
【答案】
【解析】
【分析】
根据给定条件利用裂项相消法求出，探讨值的范围，确定的表达式即可计算作答.
【详解】
依题意，，
则
，
即有，从而有，因此，，
若，则，若，则，，所以.故答案为：2550
【点睛】
思路点睛：裂项法求和，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，
未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的.
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 如图，在中，内角、、的对边分别为、、．已知，，，且为边上的中线，为的角平分线．
（1）求及线段的长；
（2）求的面积．
【答案】（1）， （2）
【解析】（1）解： ，，，，
在中，由余弦定理得，解得（负值舍去），即．
（2）解：，，，
平分，，所以，为边的中线，．
18．2021年7月24日中华人民共和国教育部正式发布《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，简称“双减”政策.某校为了解该校小学生在“双减”政策下课外活动的时间，随机抽查了40名小学生，统计了他们参加课外活动的时间，并绘制了如下的频率分布直方图.如图所示.
(1)由频率分布直方图估计该组数据的中位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；
(2)由频率分布直方图可认为：课外活动时间t（分钟）服从正态分布，其中为课外活动时间的平均数，近似为样本平均数（每组数据取区间的中点值），用频率估计概率，在该校随机抽取5名学生，记课外活动时间在内的人数为X，求X的数学期望（精确到0.1）.
参考数据：当X服从正态分布时，，，.
【来源】安徽省示范高中皖北协作区2022届高三下学期3月联考理科数学试题
【答案】(1)， (2)
【解析】(1)由图可知该组数据中位数位于第四组，设中位数为x，则，解得，平均数为：；
(2)，，
，，
，
由题意知：，
19．已知等差数列的前项和为，公差，是的等比中项，.
（1）求的通项公式；
（2）若数列满足，求.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）是的等比中项
解得 （舍去）
（2），据题意，
两式相减得
所以有；；；……
；以上9个式子相加得
【点睛】本题求和运用了数列中得累加法，如果递推公式形式为: 或
则可利用累加法.
20．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，，点是的中点，点是线段上的动点.
（1）求证：平面平面；
（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）根据题意得，，，进而得，，故平面，进而得平面平面.
（2）如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，，根据几何关系得 ，进而利用坐标运算得平面的一个法向量为，，故根据解得或（舍），故.
【详解】
解：（1）在中，因为，，，所以.因为点是的中点，所以.在中，，，，由余弦定理，有，所以，所以.在中，，，，满足，所以.而，所以平面.因为平面，所以平面平面.
（2）如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，有，，.设，，
平面的一个法向量为，直线与平面所成角为.
在中，，而，得，所以.
因为，，，所以.
因为，所以，
得，所以或（舍）.所以.
21．已知椭圆经过点，离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设椭圆的左、右两个顶点分别为，为直线上的动点，且不在轴上，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，为椭圆的左焦点，求证：的周长为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】(1)，，椭圆经过点，，，，椭圆C的标准方程为．
(2)解法一：证明：由题意可知，，设，
直线的方程为，直线的方程为，
联立方程组可得，可得，所以，则，故．
由可得，可得，所以，
则，故，
所以，故直线的方程为，
即，，故直线过定点，所以的周长为定值8．
当时，或，可知是椭圆的通径，经过焦点，此时的周长为定值，
综上可得，的周长为定值8．
解法二：当直线斜率存在时，设其方程为：，
由．
设，则有，
直线，令，得，
直线，令，得，所以，
由，
所以，
即，
化简得或．
时直线过点（舍），所以，
即直线的方程为，过定点．
当直线的斜率不存在时，设其方程为：，
则有，代入，
直线也过定点，
综上所述，直线始终经过椭圆的右焦点，故的周长为定值．
解法三：当M位于椭圆的上顶点，则此时，直线与相交于点，则直线的方程为，联立椭圆方程可得：，则可知，易知直线经过椭圆的右焦点，此时的周长为定值，猜想，若的周长为定值，则直线经过椭圆的右焦点．
证明如下：
依题意直线的斜率不为0，设直线的方程为，代入椭圆方程得：，设，则．
直线，令，得，
直线，令，得，
因为
，
所以直线的交点在直线上，即过直线上的点T所作的两条直线和分别与椭圆相交所得的两点M、N形成的直线始终经过椭圆的右焦点，
故的周长为定值．
22．已知函数（e是自然对数的底数）．
(1)当时，试判断在上极值点的个数；
(2)当时，求证：对任意，．
【来源】江西省南昌市2022届高三第二次模拟测试卷数学（理）试题
【答案】(1)在上只有一个极值点，即唯一极小值点；(2)证明见解析
【解析】(1)当时，，
则 ，
设，则 在上是增函数，
当 时，，，所以存在 ，使得，
当时，，则，即在上单调递减，
当时，，则，即在上单调递增，
所以在上只有一个极值点，即唯一极小值点；
(2)证明：由，
设，则 在上是增函数，
当 时，，因为，所以，
所以存在 ，使得，
当时，，则，即在上单调递减，
当时，，则，即在上单调递增，
故 是函数的极小值点，也是最小值点，
则 ，又因为，所以，即证：对任意，，即证：对任意，，
设，则在上单调递减，因为，所以，故，故对任意，.
襄阳五中2022届高三年级适应性考试（二）
数 学 试 题
命题人：谢伟 审题人：王荣 段光荣
本试卷共22题。全卷满分150分。考试用时120分钟。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若复数满足，则的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，则A∩N的子集个数为（ ）
A． B．8 C． D．
3．已知数列的前项和为，为常数，则“数列是等比数列”为“”的（ ）条件
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要
4．已知圆锥的表面积为3π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
5．函数的部分图象如图所示，则函数的图象可以由的图象（ ）
A．向左平移个单位长度得到 B．向左平移个单位长度得到
C．向右平移个单位长度得到 D．向右平移个单位长度得到
6．数学与建筑的结合造就建筑艺术品，如吉林大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，如图.若将该大学的校门轮廓（忽略水泥建筑的厚度）近似看成抛物线的一部分，且点在该抛物线上，则该抛物线的焦点坐标是（ ）
A． B．（0，－1）
B． C． D．
7．已知函数，下列对于函数性质的四个描述：①是的极小值点；②的图象关于点中心对称；③有且仅有三个零点；④若区间上递增，则的最大值为．其中正确的描述的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．在体育选修课排球模块基本功发球测试中，计分规则如下满分为10分：①每人可发球7次，每成功一次记1分；②若连续两次发球成功加分，连续三次发球成功加1分，连续四次发球成功加分，以此类推，……，连续七次发球成功加3分．假设某同学每次发球成功的概率为，且各次发球之间相互独立，则该同学在测试中恰好得5分的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．某大学为了解学生对学校食堂服务的满意度，随机调查了50名男生和50名女生，每位学生对食堂的服务给出满意或不满意的评价，得到如图所示的列联表.经计算的观测值，则可以推断出（ ）
满意
不满意
男
30
20
女
40
10
0.100
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
A．该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为
B．调研结果显示，该学校男生比女生对食堂服务更满意
C．有95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异
D．有99%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异
10．定义在上的函数满足：为整数时，；不为整数时，，则（ ）
A．是奇函数 B．是偶函数
C． D．的最小正周期为
11．已知点，若过点的直线交圆：于，两点，是圆上一动点，则（ ）
A．的最小值为 B．到的距离的最大值为
C．的最小值为 D．的最大值为
12．如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点，则（ ）
A．存在点Q，使B，N，P，Q四点共面 B．存在点Q，使平面MBN
C．三棱锥P-MBN的体积为 D．经过C，M，B，N四点的球的表面积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知非零向量，满足，，则的最小值为 ．
14．已知函数在x=0处的切线与直线平行，则二项式展开式中含项的系数为 ．
15．设双曲线C：的左､右焦点分别为，，以为圆心的圆恰好与双曲线C的两渐近线相切，且该圆恰好经过线段的中点，则双曲线C的离心率是 ．
16．已知数列、，，，其前项和分别为，，（1）记数列的前项和分别为，则= ；（2）记最接近的整数为，则 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 如图，在∆ABC中，内角、、的对边分别为、、．已知，，，且为边上的中线，为的角平分线．
（1）求及线段的长；
（2）求∆ADE的面积．
18．2021年7月24日中华人民共和国教育部正式发布《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，简称“双减”政策. 某校为了解该校小学生在“双减”政策下课外活动的时间，随机抽查了40名小学生，统计了他们参加课外活动的时间，并绘制了如下的频率分布直方图.如图所示.
(1)由频率分布直方图估计该组数据的中位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；
(2)由频率分布直方图可认为：课外活动时间t（分钟）服从正态分布，其中为课外活动时间的平均数，近似为样本平均数（每组数据取区间的中点值），用频率估计概率，在该校随机抽取5名学生，记课外活动时间在内的人数为X，求X的数学期望（精确到0.1）.
参考数据：当X服从正态分布时，，，.
19．已知等差数列的前项和为，公差，是的等比中项，.
（1）求的通项公式；
（2）若数列满足，求.
20．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，，点是的中点，点是线段上的动点.
（1）求证：平面平面；
（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的值.
21．已知椭圆经过点，离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设椭圆的左、右两个顶点分别为，为直线上的动点，且不在轴上，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，为椭圆的左焦点，求证：∆FMN的周长为定值．
22．已知函数（e是自然对数的底数）．
(1)当时，试判断在上极值点的个数；
(2)当时，求证：对任意，．
第二次适应性考试数学答案
答案：1-8CCABD ACB 9.AC 10.BCD 11.ABC 12.ABC
13. 14. 36 15. 16.；
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若复数满足，则的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】因为，所以，所以，故选：C
2．已知集合，则的子集个数为（ ）
A． B．8 C． D．
【答案】C【解析】解：由题得.因为.所以.所以的子集个数为个.故选：C
3．已知数列的前项和为，为常数，则“数列是等比数列”为“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】，当时，，两式相减可得，
若，则，则数列是等比数列，若，则依然成立，但数列不是等比数列.所以“数列是等比数列”为“”的充分不必要条件.故选：A
4．已知圆锥的表面积为3π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线长为l，由，得，又，所以，解得；
所以圆锥的高为，
所以圆锥的体积为．故选：B．
5．函数的部分图象如图所示，则函数的图象可以由的图象（ ）
A．向左平移个单位长度得到 B．向左平移个单位长度得到
C．向右平移个单位长度得到 D．向右平移个单位长度得到
【答案】D
【解析】由图可知，，则，所以．由，，得，所以．函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为，所以D正确．选：D
6．数学与建筑的结合造就建筑艺术品，如吉林大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，如图.若将该大学的校门轮廓（忽略水泥建筑的厚度）近似看成抛物线的一部分，且点在该抛物线上，则该抛物线的焦点坐标是（ ）
A． B．（0，－1） C． D．
【答案】A
【解析】依题意在抛物线上，所以，所以，故，且抛物线开口向下，所以抛物线的焦点坐标为. 故选：A
7．已知函数，下列对于函数性质的四个描述：①是的极小值点；②的图象关于点中心对称；③有且仅有三个零点；④若区间上递增，则的最大值为．其中正确的描述的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】.A：，，当时，单调递减，当时，单调递增，所以是的极小值点，故本选项描述正确；
B：因为，
所以的图象关于点对称，因此本选项描述正确；
C：令，函数在同一直角坐标系内的图象如下图所示：
通过图象可知两个函数的图象有三个交点，因此有且仅有三个零点，所以本选项描述正确；
D：，当时，则有：，因此函数的增区间为：，显然有，所以的最大值为，因此本选项描述不正确，故选：C
8．在体育选修课排球模块基本功发球测试中，计分规则如下满分为10分：①每人可发球7次，每成功一次记1分；②若连续两次发球成功加分，连续三次发球成功加1分，连续四次发球成功加分，以此类推，……，连续七次发球成功加3分．假设某同学每次发球成功的概率为，且各次发球之间相互独立，则该同学在测试中恰好得5分的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】该同学在测试中恰好得5分有两种情况：四次发球成功，有两个连续得分，此时概率；四次发球成功，有三个连续得分，分为连续得分在首尾和不在首尾两类，此时概率，所求概率；故选B.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．某大学为了解学生对学校食堂服务的满意度，随机调查了50名男生和50名女生，每位学生对食堂的服务给出满意或不满意的评价，得到如图所示的列联表.经计算的观测值，则可以推断出（ ）
满意
不满意
男
30
20
女
40
10
0.100
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
A．该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为
B．调研结果显示，该学校男生比女生对食堂服务更满意
C．有95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异
D．有99%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异
【来源】类型一 统计与概率案例-【题型突破】备战2022年高考数学二轮基础题型 重难题型突破（新高考专用）
【答案】AC
【解析】
根据表格中的数据可求得男、女生对食堂服务满意的概率的估计值,根据,可判断C、D选项
【详解】
对于选项A,该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为,故A正确；
对于选项B,该学校女生对食堂服务满意的概率的估计值为,故B错误；
因为,所以有的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异,故C正确,D错误
故选：AC
10．定义在上的函数满足：为整数时，；不为整数时，，则（ ）
A．是奇函数 B．是偶函数
C． D．的最小正周期为
【答案】BCD
【解析】
根据函数的性质，结合奇偶性的定义和周期的定义，逐项判定，即可求解.
【详解】
A中，对于函数，有，
所以不恒成立，则函数不是奇函数，所以A不正确；
B中，对于函数，若为整数，则也是整数，则有，
若不为整数，则也不为整数，则有，
综上可得，所以函数是偶函数，所以B正确；
C中，若为整数，则，不为整数，则，
综上函数是整数，则，所以C正确；
D中，若为整数，则也是整数，若不为整数，则也不是整数，
总之有，所以函数的周期为1，
若，则和可能是一个整数，也可能不是整数，则有，
所以函数的最小正周期为1，所以D正确.
故选：BCD.
11．已知点，若过点的直线交圆：于，两点，是圆上一动点，则（ ）
A．的最小值为 B．到的距离的最大值为
C．的最小值为 D．的最大值为
【答案】ABC
【解析】如图，当直线与轴垂直时，有最小值，且最小值为，所以A正确；
设，则，
所以，所以的最小值为，所以C正确；
当，，三点共线时，最大，且最大值为，所以D错误；
当直线与垂直时，到的距离有最大值，且最大值为，所以B正确.
故选：ABC
12．如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点，则（ ）
A．存在点Q，使B，N，P，Q四点共面 B．存在点Q，使平面MBN
C．三棱锥P-MBN的体积为 D．经过C，M，B，N四点的球的表面积为
【答案】ABC
【解析】
【分析】
对于A，连接，，可证得，从而可得结论，对于B，连接PQ，，当Q是的中点时，由线面平行的判定可证得，对于C,利用求解，对于D，分别取，的中点E，F，构造长方体MADF-EBCN，其体对角线就是外接球的直径，求出体对角线的长，可求出球的表面积
【详解】如图，在正方体中，连接，，
因为N，P分别是，的中点，所以，又因为，所以，
所以，B，N，P四点共面，即当Q与重合时，B，N，P，Q四点共面，故选项A正确；
连接PQ，，当Q是的中点时，因为，，所以，
因为平面BMN，平面BMN，所以平面BMN，故选项B正确；
连接，，，因为，所以，故选项C正确；
分别取，的中点E，F，构造长方体MADF-EBCN，则经过C，M，B，N四点的球即为长方体MADF-EBCN的外接球，设所求外接球的直径为2R，则长方体MADF-EBCN的体对角线即为所求的球的直径，即，所以经过C，M，B，N四点的球的表面积为，故选项D错误. 故选：ABC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知非零向量，满足，，则的最小值为______．
【答案】
【解析】因为，因为，故，
当且仅当时，即时取得最小值.故答案为：.
14．已知函数在x=0处的切线与直线平行，则二项式展开式中含项的系数为 ．
【答案】36
14．已知函数在x=0处的切线与直线平行，则二项式展开式中含项的系数为（ ）
A．26 B．46 C．36 D．56
【来源】四川省成都市石室中学2021-2022学年高三下学期“二诊模拟”数学（理）试题
【答案】C
【详解】由函数的解析式，得，则．由题意，得，则二项式，二项式的通项公式为：，所以含项的系数为．故选：C
15．设双曲线C：的左､右焦点分别为，，以为圆心的圆恰好与双曲线C的两渐近线相切，且该圆恰好经过线段的中点，则双曲线C的离心率是 ．
【答案】
15．设双曲线C：的左､右焦点分别为，，以为圆心的圆恰好与双曲线C的两渐近线相切，且该圆恰好经过线段的中点，则双曲线C的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【来源】河南省五市2022届高三第二次联合调研检测文科数学试题
【答案】A
【详解】由题意知：渐近线方程为，由焦点，，以为圆心的圆恰好与双曲线C的两渐近线相切，则圆的半径等于圆心到切线的距离，即，又该圆过线段的中点，故，所以离心率为.故答案为：.
16．已知数列、，，，其前项和分别为，，（1）记的前项和分别为，则= ；（2）记最接近的整数为，则 ．
【答案】；
16．已知数列、，，，其前项和分别为，，记最接近的整数为，则 ．
【答案】
【解析】
【分析】
根据给定条件利用裂项相消法求出，探讨值的范围，确定的表达式即可计算作答.
【详解】
依题意，，
则
，
即有，从而有，因此，，
若，则，若，则，，所以.故答案为：2550
【点睛】
思路点睛：裂项法求和，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，
未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的.
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 如图，在中，内角、、的对边分别为、、．已知，，，且为边上的中线，为的角平分线．
（1）求及线段的长；
（2）求的面积．
【答案】（1）， （2）
【解析】（1）解： ，，，，
在中，由余弦定理得，解得（负值舍去），即．
（2）解：，，，
平分，，所以，为边的中线，．
18．2021年7月24日中华人民共和国教育部正式发布《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，简称“双减”政策.某校为了解该校小学生在“双减”政策下课外活动的时间，随机抽查了40名小学生，统计了他们参加课外活动的时间，并绘制了如下的频率分布直方图.如图所示.
(1)由频率分布直方图估计该组数据的中位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；
(2)由频率分布直方图可认为：课外活动时间t（分钟）服从正态分布，其中为课外活动时间的平均数，近似为样本平均数（每组数据取区间的中点值），用频率估计概率，在该校随机抽取5名学生，记课外活动时间在内的人数为X，求X的数学期望（精确到0.1）.
参考数据：当X服从正态分布时，，，.
【来源】安徽省示范高中皖北协作区2022届高三下学期3月联考理科数学试题
【答案】(1)， (2)
【解析】(1)由图可知该组数据中位数位于第四组，设中位数为x，则，解得，平均数为：；
(2)，，
，，
，
由题意知：，
19．已知等差数列的前项和为，公差，是的等比中项，.
（1）求的通项公式；
（2）若数列满足，求.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）是的等比中项
解得 （舍去）
（2），据题意，
两式相减得
所以有；；；……
；以上9个式子相加得
【点睛】本题求和运用了数列中得累加法，如果递推公式形式为: 或
则可利用累加法.
20．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，，点是的中点，点是线段上的动点.
（1）求证：平面平面；
（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）根据题意得，，，进而得，，故平面，进而得平面平面.
（2）如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，，根据几何关系得 ，进而利用坐标运算得平面的一个法向量为，，故根据解得或（舍），故.
【详解】
解：（1）在中，因为，，，所以.因为点是的中点，所以.在中，，，，由余弦定理，有，所以，所以.在中，，，，满足，所以.而，所以平面.因为平面，所以平面平面.
（2）如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，有，，.设，，
平面的一个法向量为，直线与平面所成角为.
在中，，而，得，所以.
因为，，，所以.
因为，所以，
得，所以或（舍）.所以.
21．已知椭圆经过点，离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设椭圆的左、右两个顶点分别为，为直线上的动点，且不在轴上，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，为椭圆的左焦点，求证：的周长为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】(1)，，椭圆经过点，，，，椭圆C的标准方程为．
(2)解法一：证明：由题意可知，，设，
直线的方程为，直线的方程为，
联立方程组可得，可得，所以，则，故．
由可得，可得，所以，
则，故，
所以，故直线的方程为，
即，，故直线过定点，所以的周长为定值8．
当时，或，可知是椭圆的通径，经过焦点，此时的周长为定值，
综上可得，的周长为定值8．
解法二：当直线斜率存在时，设其方程为：，
由．
设，则有，
直线，令，得，
直线，令，得，所以，
由，
所以，
即，
化简得或．
时直线过点（舍），所以，
即直线的方程为，过定点．
当直线的斜率不存在时，设其方程为：，
则有，代入，
直线也过定点，
综上所述，直线始终经过椭圆的右焦点，故的周长为定值．
解法三：当M位于椭圆的上顶点，则此时，直线与相交于点，则直线的方程为，联立椭圆方程可得：，则可知，易知直线经过椭圆的右焦点，此时的周长为定值，猜想，若的周长为定值，则直线经过椭圆的右焦点．
证明如下：
依题意直线的斜率不为0，设直线的方程为，代入椭圆方程得：，设，则．
直线，令，得，
直线，令，得，
因为
，
所以直线的交点在直线上，即过直线上的点T所作的两条直线和分别与椭圆相交所得的两点M、N形成的直线始终经过椭圆的右焦点，
故的周长为定值．
22．已知函数（e是自然对数的底数）．
(1)当时，试判断在上极值点的个数；
(2)当时，求证：对任意，．
【来源】江西省南昌市2022届高三第二次模拟测试卷数学（理）试题
【答案】(1)在上只有一个极值点，即唯一极小值点；(2)证明见解析
【解析】(1)当时，，
则 ，
设，则 在上是增函数，
当 时，，，所以存在 ，使得，
当时，，则，即在上单调递减，
当时，，则，即在上单调递增，
所以在上只有一个极值点，即唯一极小值点；
(2)证明：由，
设，则 在上是增函数，
当 时，，因为，所以，
所以存在 ，使得，
当时，，则，即在上单调递减，
当时，，则，即在上单调递增，
故 是函数的极小值点，也是最小值点，
则 ，又因为，所以，即证：对任意，，即证：对任意，，
设，则在上单调递减，因为，所以，故，故对任意，.
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