2023年高考数学(文数)一轮复习创新思维课时练3.6《简单的三角恒等变换》(2份，教师版+原卷版)

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一、选择题
已知sin α－cs α=eq \r(2)，α∈(0，π)，则sin 2α=( )
A.－1 B.－eq \f(\r(2),2) C.eq \f(\r(2),2) D.1
【答案解析】答案为：A
解析：∵sin α－cs α=eq \r(2)，∴(sin α－cs α)2=1－2sin αcs α=2，
∴2sin α·cs α=－1，∴sin 2α=－1.故选A.
若α∈(eq \f(π,2)，π)，且3cs 2α=sin(eq \f(π,4)－α)，则sin 2α的值为( )
A.－eq \f(\r(35),6) B.－eq \f(1,6) C.－eq \f(\r(35),18) D.－eq \f(17,18)
【答案解析】答案为：D
解析：∵3cs 2α=sin(eq \f(π,4)－α)，∴3(cs2α－sin2α)=eq \f(\r(2),2)(cs α－sin α)，
易知sin α≠cs α，故cs α＋sin α=eq \f(\r(2),6)，1＋sin 2α=eq \f(1,18)，sin 2α=－eq \f(17,18)，故选D.
若tan α=3，则sin(2α+ eq \f(π,4))的值为( )
A.－eq \f(\r(2),10) B.eq \f(\r(2),10) C.eq \f(5\r(2),10) D.eq \f(7\r(2),10)
【答案解析】答案为：A
解析：sin 2α=2sin αcs α=eq \f(2sin αcs α,sin2α＋cs2α)=eq \f(2tan α,tan2α＋1)=eq \f(3,5)，cs 2α
=cs2α－sin2α=eq \f(cs2α－sin2α,cs2α＋sin2α)=eq \f(1－tan2α,1＋tan2α)=－eq \f(4,5)，
∴sin(2α+ eq \f(π,4))=eq \f(\r(2),2)sin 2α＋eq \f(\r(2),2)cs 2α=－eq \f(\r(2),10).
已知eq \f(1＋sin θ＋cs θ,1＋sin θ－cs θ)=eq \f(1,2)，则tan θ=( )
A.eq \f(4,3) B.eq \f(3,4) C.－eq \f(3,4) D.－eq \f(4,3)
【答案解析】答案为：D
解析：因为eq \f(1＋sin θ＋cs θ,1＋sin θ－cs θ)=eq \f(2sin \f(θ,2)cs \f(θ,2)＋2cs2\f(θ,2),2sin \f(θ,2)cs \f(θ,2)＋2sin2\f(θ,2))=eq \f(1,tan \f(θ,2))=eq \f(1,2)，
所以tan eq \f(θ,2)=2，于是tan θ=eq \f(2tan \f(θ,2),1－tan2 \f(θ,2))=－eq \f(4,3).
化简：eq \f(1－cs α,1＋cs α)＝( )
A.sin2α B.tan2α C.sin2 eq \f(α,2) D.tan2 eq \f(α,2)
【答案解析】答案为：D
解析：原式＝eq \f(2sin2 \f(α,2),2cs2 \f(α,2))＝tan2 eq \f(α,2).
化简eq \f(cs 40°,cs 25°\r(1－sin 40°))＝( )
A.1 B.eq \r(3) C.eq \r(2) D.2
【答案解析】答案为：C
解析：原式＝eq \f(cs220°－sin220°,cs 25°\r(cs 20°－sin 20°2))＝eq \f(cs 20°＋sin 20°,cs 25°)
＝eq \f(\r(2)cs45°－20°,cs 25°)＝eq \r(2).
若tan α＝eq \f(1,3)，tan(α＋β)＝eq \f(1,2)，则tan β＝( )
A.eq \f(1,7) B.eq \f(1,6) C.eq \f(5,7) D.eq \f(5,6)
【答案解析】答案为：A
解析：tan β＝tan [(α＋β)－α]＝eq \f(tanα＋β－tan α,1＋tanα＋βtan α)＝eq \f(1,7).
计算：eq \f(4tan \f(π,12),3tan2\f( π,12)－3)＝( )
A.eq \f(2\r(3),3) B.－eq \f(2\r(3),3) C.eq \f(2\r(3),9) D.－eq \f(2\r(3),9)
【答案解析】答案为：D
解析：原式＝－eq \f(2,3)·eq \f(2tan \f(π,12),1－tan2 \f(π,12))＝－eq \f(2\r(3),9).
函数f(x)＝eq \f(1,2)(1＋cs 2x)·sin2x(x∈R)是( )
A.最小正周期为π的奇函数
B.最小正周期为eq \f(π,2)的奇函数
C.最小正周期为π的偶函数
D.最小正周期为eq \f(π,2)的偶函数
【答案解析】答案为：D
解析： f(x)＝eq \f(1,4)(1＋cs 2x)(1－cs 2x)＝eq \f(1,4)(1－cs22x)＝eq \f(1,4)sin22x＝eq \f(1,8)(1－cs 4x)，
f(－x)＝eq \f(1,8)(1－cs 4x)＝f(x)，因此函数f(x)是最小正周期为eq \f(π,2)的偶函数，选D.
已知函数f(x)=2cs2x-sin2x+2,则( )
A.f(x)的最小正周期为π,最大值为3
B.f(x)的最小正周期为π,最大值为4
C.f(x)的最小正周期为2π,最大值为3
D.f(x)的最小正周期为2π,最大值为4
【答案解析】答案为：B.
解析:因为f(x)=2cs2x-sin2x+2=1+cs 2x-+2=eq \f(3,2)cs 2x+eq \f(5,2),
所以f(x)的最小正周期为π,最大值为4.故选B.
已知函数f(x)＝eq \r(3)sin(ωx＋φ)－cs(ωx＋φ)(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数y＝f(x)的图象的两相邻对称轴的距离为eq \f(π,2)，则f(eq \f(π,8))＝( )
A.eq \r(2) B.eq \r(3) C.eq \r(5) D.eq \r(7)
【答案解析】答案为：A
解析：因为f(x)＝2sin(ωx＋φ－eq \f(π,6))为偶函数，所以φ－eq \f(π,6)＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，
又0＜φ＜π，所以φ＝eq \f(2π,3).
又因为f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为eq \f(π,2)，所以T＝π，故ω＝2.
所以f(x)＝2sin(2x＋eq \f(2π,3)－eq \f(π,6))＝2sin(2x＋eq \f(π,2))＝2cs 2x.故f(eq \f(π,8))＝2cs eq \f(π,4)＝eq \r(2).
已知函数f(x)＝eq \r(3)sin ωx＋cs ωx(ω>0)，x∈R.在曲线y＝f(x)与直线y＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为eq \f(π,3)，则f(x)的最小正周期为( )
A.eq \f(π,2) B.eq \f(2π,3) C.π D.2π
【答案解析】答案为：C
解析：由题意得函数f(x)＝2sin(ωx＋eq \f(π,6))(ω>0)，又曲线y＝f(x)与直线y＝1相邻交点距离的最小值是eq \f(π,3)，由正弦函数的图象知，ωx＋eq \f(π,6)＝eq \f(π,6)和ωx＋eq \f(π,6)＝eq \f(5π,6)对应的x的值相差eq \f(π,3)，即eq \f(2π,3ω)＝eq \f(π,3)，解得ω＝2，所以f(x)的最小正周期是T＝eq \f(2π,ω)＝π.
二、填空题
已知f(x)＝2tanx －eq \f(2sin2\f(x,2)－1,sin \f(x,2)·cs \f(x,2))，则f(eq \f(π,12))＝________.
【答案解析】答案为：8
解析：因为f(x)＝2tan x－eq \f(－cs x,\f(1,2) sin x)＝2tan x＋2·eq \f(cs x,sin x)＝eq \f(2sin x,cs x)＋eq \f(2cs x,sin x)
＝eq \f(2,sin xcs x)＝eq \f(4,sin 2x)，所以f(eq \f(π,12))＝eq \f(4,sin\f( π,6))＝8.
已知cs 2θ=eq \f(4,5)，则sin4θ＋cs4θ=________.
【答案解析】答案为：eq \f(41,50)
解析：法一：因为cs 2θ=eq \f(4,5)，所以2cs2θ－1=eq \f(4,5)，1－2sin2θ=eq \f(4,5)，
因为cs2θ=eq \f(9,10)，sin2θ=eq \f(1,10)，所以sin4θ＋cs4θ=eq \f(41,50).
法二：sin4θ＋cs4θ=(sin2θ＋cs2θ)2－eq \f(1,2)sin22θ=1－eq \f(1,2)(1－cs22θ)=1－eq \f(1,2)×eq \f(9,25)=eq \f(41,50).
化简：eq \f(1＋cs 20°,2sin 20°)－sin 10°(eq \f(1,tan 5°)－tan 5°)的值为________.
【答案解析】答案为：eq \f(\r(3),2)
解析：原式=eq \f(2cs210°,4sin 10°cs 10°)－sin 10°eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(cs 5°,sin 5°)－\f(sin 5°,cs 5°)))
=eq \f(cs 10°,2sin 10°)－sin 10°×eq \f(2cs 10°,sin 10°)=eq \f(cs 10°－2sin（30°－10°）,2sin 10°)
=eq \f(cs 10°－2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs 10°－\f(\r(3),2)sin 10°)),2sin 10°)=eq \f(\r(3)sin 10°,2sin 10°)=eq \f(\r(3),2).
已知函数f(x)＝Acs2(ωx＋φ)＋1(A>0,ω>0,|φ|【答案解析】答案为：4 032
解析：f(x)＝eq \f(A,2)cs(2ωx＋2φ)＋eq \f(A,2)＋1.由相邻两条对称轴间的距离为2，知eq \f(T,2)＝2，
得T＝4＝eq \f(2π,2ω)，∴ω＝eq \f(π,4)，由f(x)的最大值为3，得A＝2.又f(x)的图象过点(0,2)，
∴cs 2φ＝0，∴2φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，即φ＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,4)(k∈Z)，
又0<φ∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 016)＝(－1＋2)＋(0＋2)＋(1＋2)＋(0＋2)＋(－1＋2)
＋…＋(0＋2)＝2×2 016＝4 032.