2023年高考数学(文数)一轮复习创新思维课时练5.1《数列的概念与简单表示法》(2份，教师版+原卷版)

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一、选择题
对于数列{an}，“an＋1＞|an|(n=1,2，…)”是“{an}为递增数列”的( )
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案解析】答案为：B；
解析：当an＋1＞|an|(n=1,2，…)时，∵|an|≥an，∴an＋1＞an，∴{an}为递增数列.
当{an}为递增数列时，若该数列为－2,0,1，则a2＞|a1|不成立，即an＋1＞|an|(n=1,2，…)不一定成立.
综上知，“an＋1＞|an|(n=1,2，…)”是“{an}为递增数列”的充分不必要条件.
已知数列{an}的前4项为2,0,2,0，则归纳该数列的通项不可能是( )
A.an=(－1)n－1＋1 B.an=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2，n为奇数,0，n为偶数))
C.an=2sineq \f(nπ,2) D.an=cs(n－1)π＋1
【答案解析】答案为：C
解析：对于C，当n=3时，sin eq \f(3π,2)=－1，则a3=－2，与题意不符.
设数列{an}的前n项和Sn=n2＋n，则a4的值为( )
A.4 B.6 C.8 D.10
【答案解析】答案为：C
解析：a4=S4－S3=20－12=8.
已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn=2an＋1，则Sn=( )
A.2n－1 B.（eq \f(3,2)）n－1 C.（eq \f(2,3)）n－1 D.eq \f(1,2n－1)
【答案解析】答案为：B
解析：由已知Sn=2an＋1得Sn=2(Sn＋1－Sn)，即2Sn＋1=3Sn，eq \f(Sn＋1,Sn)=eq \f(3,2)，而S1=a1=1，
所以Sn=（eq \f(3,2)）n－1，故选B.
设数列{an}满足a1=1，a2=3，且2nan=(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1，则a20的值是( )
A.4eq \f(1,5) B.4eq \f(2,5) C.4eq \f(3,5) D.4eq \f(4,5)
【答案解析】答案为：D
解析：由题知：an＋1=eq \f(2nan－n－1an－1,n＋1)，a3=eq \f(2×2×3－1,3)=eq \f(11,3)，a4=eq \f(2×3×\f(11,3)－2×3,4)=4，
a5=eq \f(2×4×4－3×\f(11,3),5)=eq \f(21,5)，a6=eq \f(2×5×\f(21,5)－4×4,6)=eq \f(26,6)，故an=eq \f(5n－4,n)，所以a20=eq \f(5×20－4,20)=eq \f(24,5)=4eq \f(4,5).
已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=2an－4，n∈N*，则an=( )
A.2n＋1 B.2n C.2n－1 D.2n－2
【答案解析】答案为：A
解析：∵an＋1=Sn＋1－Sn=2an＋1－4－(2an－4)，∴an＋1=2an，∵a1=2a1－4，∴a1=4，
∴数列{an}是以4为首项，2为公比的等比数列，∴an=4·2n－1=2n＋1，故选A.
设数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，数列{Sn＋nan}为常数列，则an=( )
A.eq \f(1,3n－1) B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D.eq \f(5－2n,3)
【答案解析】答案为：B；
解析：由题意知当n=1时，Sn＋nan=2，当n≥2时，Sn－1＋(n－1)an－1=2，
所以(n＋1)an=(n－1)an－1，即eq \f(an,an－1)=eq \f(n－1,n＋1)，从而eq \f(a2,a1)·eq \f(a3,a2)·eq \f(a4,a3)·…·eq \f(an,an－1)=eq \f(1,3)·eq \f(2,4)·…·eq \f(n－1,n＋1)，
则an= SKIPIF 1 < 0 ，当n=1时上式成立，所以an= SKIPIF 1 < 0 .
已知数列{an}的通项公式是an=n2＋kn＋2，若对所有的n∈N*，都有an＋1＞an成立，则实数k的取值范围是( )
A.(0，＋∞) B.(－1，＋∞) C.(－2，＋∞) D.(－3，＋∞)
【答案解析】答案为：D；
解析：an＋1＞an，即(n＋1)2＋k(n＋1)＋2＞n2＋kn＋2，
则k＞－(2n＋1)对所有的n∈N*都成立，
而当n=1时，－(2n＋1)取得最大值－3，所以k＞－3.
数列{an}的前n项和Sn=2n2－3n(n∈N*)，若p－q=5，则ap－aq=( )
A.10 B.15 C.－5 D.20
【答案解析】答案为：D；
解析：当n≥2时，an=Sn－Sn－1=2n2－3n－[2(n－1)2－3(n－1)]=4n－5，
当n=1时，a1=S1=－1，符合上式，所以an=4n－5，所以ap－aq=4(p－q)=20.
数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…的第100项是( )
A.10 B.12 C.13 D.14
【答案解析】答案为：D；
解析：1＋2＋3＋…＋n=eq \f(1,2)n(n＋1)，由eq \f(1,2)n(n＋1)≤100，得n的最大值为13，
易知最后一个13是已知数列的第91项，
又已知数列中14共有14项，所以第100项应为14.故选D.
已知数列{an}中a1=1，an=n(an＋1－an)(n∈N*)，则an=( )
A.2n－1 B.( SKIPIF 1 < 0 )n－1 C.n D.n2
【答案解析】答案为：C；
解析：由an=n(an＋1－an)，得(n＋1)an=nan＋1，即eq \f(an＋1,n＋1)=eq \f(an,n)，
∴{eq \f(an,n)}为常数列，即eq \f(an,n)=eq \f(a1,1)=1，故an=n.故选C.
如果数列{an}满足a1=2，a2=1，且eq \f(an－1－an,an－1)=eq \f(an－an＋1,an＋1)(n≥2)，则这个数列的第10项等于( )
A.eq \f(1,210) B.eq \f(1,29) C.eq \f(1,5) D.eq \f(1,10)
【答案解析】答案为：C
解析：∵eq \f(an－1－an,an－1)=eq \f(an－an＋1,an＋1)，∴1－eq \f(an,an－1)=eq \f(an,an＋1)－1，即eq \f(an,an－1)＋eq \f(an,an＋1)=2，∴eq \f(1,an－1)＋eq \f(1,an＋1)=eq \f(2,an)，
故{eq \f(1,an)}是等差数列.又∵d=eq \f(1,a2)－eq \f(1,a1)=eq \f(1,2)，∴eq \f(1,a10)=eq \f(1,2)＋9×eq \f(1,2)=5，故a10=eq \f(1,5).
二、填空题
已知数列{an}的前n项和Sn=2n，则a3＋a4=________.
【答案解析】答案为：12
解析：当n≥2时，an=2n－2n－1=2n－1，所以a3＋a4=22＋23=12.
设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=eq \f(a14n－1,3)，若a4=32，则a1=__________.
【答案解析】答案为：eq \f(1,2).
解析：∵Sn=eq \f(a14n－1,3)，a4=32，∴eq \f(255a1,3)－eq \f(63a1,3)=32，∴a1=eq \f(1,2).
在数列{an}中，已知a1=1，an＋1=－eq \f(1,an＋1)，记Sn为数列{an}的前n项和，则S2 017=______.
【答案解析】答案为：－1 007
解析：由a1=1，an＋1=－eq \f(1,an＋1)，得a2=－eq \f(1,2)，a3=－2，a4=1，a5=－eq \f(1,2)，a6=－2，…，
所以数列{an}是以3为周期的周期数列，所以S2 017=672×(a1＋a2＋a3)＋a1=－1 007.
意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233，…，
即F(1)=F(2)=1，F(n)=F(n－1)＋F(n－2)(n≥3，n∈N*)，此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用，若此数列被3整除后的余数构成一个新数列{bn}，
则b2 034=________.
【答案解析】答案为：1.
解析：由题意得，引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233，….此数列被3整除后的余数构成一个新数列为1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1,0，…构成以8为周期的周期数列，所以b2 034=b2=1.