专题05 函数周期性问题（解析版）-【二级结论速解】备战2022年高考数学必备考试技能高分领先方案

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专题05  函数周期性问题一、结论已知定义在上的函数,若对任意,总存在非零常数,使得,则称是周期函数,为其一个周期.除周期函数的定义外,还有一些常见的与周期函数有关的结论如下:(1)如果(),那么是周期函数,其中的一个周期(2)如果(),那么是周期函数,其中的一个周期.(3)如果(),那么是周期函数,其中的一个周期.(4)如果(),那么是周期函数,其中的一个周期.(5)如果(),那么是周期函数,其中的一个周期.(6)如果(),那么是周期函数,其中的一个周期.二、典型例题1．（2021·全国·高考真题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为函数为偶函数，则，可得，因为函数为奇函数，则，所以，，所以，，即，故函数是以为周期的周期函数，因为函数为奇函数，则，故，其它三个选项未知.故选：B.解法二：因为函数为偶函数，所以其图象关于对称，则函数的图象关于直线对称；所以；又函数为奇函数，所以其关于对称；通过图象平移伸缩变换，可以得到关于对称，进而关于对称；可得：；综合（1）（2）可得；利用结论的周期为,故本题中的周期为利用可得【反思】本例中涉及周期性，奇偶性，对称性的综合问题，其中求解周期的常用结论需直接记忆，可直接使用，本文中的6个周期结论直接记忆，可快速求周期.对称性问题：①轴对称问题：关于对称，可得到如下结论中任意一个：；②点对称问题：关于对称，可得到如下结论中任意一个：；2．（2021·全国·高考真题（理））设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】令，由①得：，由②得：，因为，所以，令，由①得：，所以．因为是奇函数，所以图象关于对称，所以关于对称，得：因为是偶函数，所以图象关于对称；，所以关于对称，得：；综合（1）（2）得到：得到所以，再利用令代入：故选：D．【反思】本例中涉及周期性，奇偶性，对称性的综合问题，其中求解周期的常用结论需直接记忆，可直接使用，本文中的6个周期结论直接记忆，可快速求周期.三、针对训练 举一反三1．（2008·湖北·高考真题（文））已知在R上是奇函数，且，当时，，则A．-2 B．2 C．-98 D．98【答案】A【详解】∵，∴是以4为周期的周期函数，由于为奇函数，∴，而，即.故选：A．2．（2021·全国·模拟预测（文））已知定义在上的偶函数，对，有成立，当时，，则（       ）A． B． C． D．【答案】C【详解】依题意对，有成立，令，则，所以，故，所以是周期为的周期函数，故.故选：C3．（2021·江西·三模（理））已知函数的图象关于原点对称，且满足，且当时，，若，则（       ）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为函数的图象关于原点对称，所以为奇函数，因为，故函数的周期为4，则；而，所以由可得；而，解得.故选：C.4．（2021·四川·石室中学模拟预测（理））已知定义域为R的奇函数满足，当时，，则函数在上零点的个数为（       ）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】D【详解】解：因为是定义域为R的奇函数，所以．因为，令，得，即，所以．又因为为奇函数，所以，所以，所以是以4为周期的周期函数．根据周期性及奇函数的性质画出函数在上的图象，如图．由图可知，函数在上有零点-4，-3.5，-3，-2，-1，-0.5，0，0.5，1，2，3，3.5，4，共13个零点．故选：D5．（2021·广西玉林·模拟预测（文））已知定义在上的偶函数满足，且当，，则下面结论正确的是（       ）A． B．C． D．【答案】A【详解】由，知是周期函数，且周期为6，∴，∵，∴，∴，又，易知在内单调递增，所以.故选：A．6．（2021·黑龙江·佳木斯一中三模（理））已知为奇函数且对任意，，若当时，，则（       ）A． B．0 C．1 D．2【答案】C【详解】解：因为为奇函数，即，因为对任意，，所以，当时，，所以，所以，则.故选：C.7．（2021·浙江·瑞安中学模拟预测）已知函数是定义在R上的奇函数，满足，且当时，，则函数的零点个数是（       ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【详解】由可得关于对称，由函数是定义在R上的奇函数，所以，所以的周期为4， 把函数的零点问题即的解，即函数和的图像交点问题，根据的性质可得如图所得图形，结合的图像，由图像可得共有3个交点，故共有3个零点，故选：B.8．（2021·陕西·模拟预测（文））已知定义在上的奇函数满足．当时，，则（       ）A．3 B． C． D．5【答案】A【详解】由条件可知，，且，即，即，那么，所以函数是周期为4的函数，.故选：A9．（2021·全国·模拟预测）已知是定义在上的偶函数，且，．若，则______．【答案】【详解】由可得，又，所以．由可得，故，故的一个周期为8，则．故答案为：.10．（2021·陕西·二模（理））已知定义在R上的奇函数满足，且，则___________.【答案】5因为，所以，所以，所以函数是以16为周期的周期函数.又在中，令得，且奇函数是定义在R上的函数，所以，故，所以.又在中，令，得，得，则，所以.故答案为：5