高中数学人教B版 (2019)必修 第三册第七章 三角函数7.2 任意角的三角函数7.2.3 同角三角函数的基本关系式学案

同角三角函数的基本关系

【学习目标】

1．借助单位圆，理解同角三角函数的基本关系式： ，掌握已知一个角的三角函数值求其他三角函数值的方法；

2．会运用同角三角函数之间的关系求三角函数值、化简三角式或证明三角恒等式。

【学习重难点】

公式的灵活运用

【学习过程】

要点梳理

要点一：同角三角函数的基本关系式

（1）平方关系：

（2）商数关系：

（3）倒数关系：，，

要点诠释：

（1）这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角（使得函数有意义的前提下）关系式都成立；

（2）是的简写；

（3）在应用平方关系时，常用到平方根，算术平方根和绝对值的概念，应注意“”的选取。

要点二：同角三角函数基本关系式的变形

1．平方关系式的变形：

，

2．商数关系式的变形

。

典型例题

类型一：已知某个三角函数值求其余的三角函数值

例1．若，且是第三象限角，求cos，tan的值。

思路点拨：由求，可利用公式，同时要注意角所在的象限。

答案  

解析 ： ∵，是第三象限，

∴，

。

总结升华：解答此类题目的关键在于充分借助已知角的三角函数值，缩小角的范围。在解答过程中如果角所在象限已知，则另两个三角函数值结果唯一；若角所在象限不确定，则应分类讨论，有两种结果，需特别注意：若已知三角函数值以字母a给出，应就所在象限讨论。

变式1：已知，求cos，tan的值。

解析：因为，所以是第三或第四象限角。

由sin2+coS2=1得

。

当是第三象限角时，cos＜0，于是，

从而；

当是第四象限角时，cos＞0，于是，

从而。

类型二：利用同角关系求值

例2．已知：求：

（1）的值；（2）的值；

（3）的值；（4）及的值

思路点拨：同角三角函数基本关系是反映了各种三角函数之间的内在联系，为三角函数式的恒等变形提供了工具与方法。

答案：（1）（2）（3）0（4）或

解析：（1）由已知

（2）

（3）

（4）由，解得或

总结升华：本题给出了及三者之间的关系，三者知一求二，在求解的过程中关键是利用了这个隐含条件。

举一反三：

变式1：已知，求下列各式的值：

（1）tan+cot；（2）sin3－coS3。

解析： 由两边平方得。

（1）。

（2）

    。

例3．已知：，求：

（1）；

（2）；

（3）。

解析：（1）原式=

（2）原式=

（3）原式=

         =

       ==

总结升华:已知tan的值，求关于sin、cos的齐次式的值问题①如（1）、（2）题，∵cos≠0，所以可用cosn（n∈N*）除之，将被求式转化为关于tan的表示式，可整体代入tan=m的值，从而完成被求式的求值；②在（3）题中，求形如a sin2+b sincos+c coS2的值，注意将分母的1化为1=sin2+coS2代入，转化为关于tan的表达式后再求值。

举一反三：

变式1:已知，求下列各式的值。

（1）

（2）

解析:

类型三：利用同角关系化简三角函数式

例4．化简：

（1）；

（2）若，化简。

思路点拨:把根号下面的式子化成完全平方式，开方去掉根号。

解析  （1）原式

               。

（2）∵，∴sin＜0，

∴原式

∵sin＜0，

∴原式。

总结升华:解答此题目常用的方法有：

（1）化切为弦，即把非正弦、余弦的函数都化成正弦函数、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的。

（2）对于含有根号的，常把根号下的式子化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的。

（3）对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2+coS2=1，以降低函数次数，达到化简的目的。

    举一反三：

变式1:化简

（1）；

  （2）；

答案:（1）－1（2）

解析（1）原式=

（2）原式=

类型四：利用同角关系证明三角恒等式

例5．求证：（1）；

（2）。

思路点拨:利用同角三角函数关系式对式子的左边或右边进行化简，使之与式子的另一边相同。

证明（1）左边

               =右边，

∴原等式成立。

（2）左边

         =右边，

∴原等式成立。

总结升华:（1）在三角式的化简中，常常“化切为弦”，以减少函数种类。

（2）三角恒等式的证明方法灵活多变，因题而异，要细心观察两边的差异，灵活运用所学知识，本题也可从右到左证明。

举一反三：

变式:求证：。

解析:证法一：由题意知，所以。

∴左边=右边。

∴原式成立。

证法二：由题意知，所以。

又∵，

∴。

证法三：由题意知，所以。

，

∴。