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数学必修 第三册7.2.3 同角三角函数的基本关系式学案设计
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这是一份数学必修 第三册7.2.3 同角三角函数的基本关系式学案设计，共8页。学案主要包含了学习目标，学习重难点，学习过程等内容，欢迎下载使用。
【学习目标】
借助单位圆，理解同角三角函数的基本关系式：，掌握已知一个角的三角函数值求其他三角函数值的方法；
2．会运用同角三角函数之间的关系求三角函数值、化简三角式或证明三角恒等式。
【学习重难点】
公式的灵活运用
【学习过程】
一、自主学习
要点一：同角三角函数的基本关系式
（1）平方关系：
（2）商数关系：
（3）倒数关系：，，
要点诠释：
（1）这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角（使得函数有意义的前提下）关系式都成立；
（2）是的简写；
（3）在应用平方关系时，常用到平方根，算术平方根和绝对值的概念，应注意“”的选取。
要点二：同角三角函数基本关系式的变形
1．平方关系式的变形：
，
2．商数关系式的变形
。
二、合作学习
典型例题
类型一：已知某个三角函数值求其余的三角函数值
例1．已知tan=－2，求sin，cs的值。
思路点拨：先利用，求出sin=－2cs，然后结合sin2+cS2=1，求出sin，cs。
解析： 解法一：∵tan=－2，∴sin=－2cs。 ①
又sin2+cS2=1， ②
由①②消去sin得（－2cs）2+cS2=1，即。
当为第二象限角时，，代入①得。
当为第四象限角时，，代入①得。
解法二：∵tan=－2＜0，∴为第二或第四象限角。
又由，平方得。
∴，即。
当为第二象限角时，。
。
当为第四象限角时，。
。
总结升华：解答此类题目的关键在于充分借助已知角的三角函数值，缩小角的范围。在解答过程中如果角所在象限已知，则另两个三角函数值结果唯一；若角所在象限不确定，则应分类讨论，有两种结果，需特别注意：若已知三角函数值以字母a给出，应就所在象限讨论。
举一反三：
变式1：已知是的一个内角，且，求
思路点拨：根据可得的范围：再结合同角三角函数的关系式求解。
解析：为钝角，
由平方整理得
例2．已知cs=m（－1≤m≤1），求sin的值。
解析：（1）当m=0时，角的终边在y轴上，
①当角的终边在y轴的正半轴上时，sin=1；
②当角的终边在y轴的负半轴上时，sin=－1．
（2）当m=±1时，角的终边在x轴上，此时，sin=0.
（3）当|m|＜1且m≠0时，
∵sin2=1―cs2=1―m²，
∴①当角为第一象限角或第二象限角时，，
②当角为第三象限角或第四象限角时，。
总结升华： 当角的范围不确定时，要对角的范围进行讨论，切记不要遗漏终边落在坐标轴上的情况。
类型二：利用同角关系求值
例3．已知：求：
（1）的值；（2）的值；
（3）的值；（4）及的值
思路点拨：同角三角函数基本关系是反映了各种三角函数之间的内在联系，为三角函数式的恒等变形提供了工具与方法。
答案：（1）（2）（3）0（4）或
解析：（1）由已知
（2）
（3）
（4）由，解得或
总结升华：本题给出了及三者之间的关系，三者知一求二，在求解的过程中关键是利用了这个隐含条件。
举一反三：
变式1：已知，求下列各式的值：
（1）；（2）sin3+cS3。
解析： 因为，
所以，
所以。
（1）
（2）。
总结升华： 对于已知sin±cs=m型的问题，常有两种解法：一是两边平方，得±2sincs= m²－1，联立以上两个式子解出sin，cs的值，从而使问题得以解决；二是对所求式子进行变形，化为sin±cs，sin·cs的形式代入求解，解题时注意正、负号的讨论与确定。
例4．已知tan=3，求下列各式的值。
（1）；（2）；（3）。
思路点拨：由已知可以求出，进而代入得解，但过程繁琐。在关于“齐次”式中可以使用“弦化切”，转化成关于tan的式子，然后利用已知求解。
解析：（1）原式的分子分母同除以cs（cs≠0）得，
原式。
（2）原式的分子分母同除以cS2（cs2≠0）得，
原式。
（3）用“1”来代换，
原式。
总结升华： ①已知tan的值，求关于sin、cs的齐次式的值问题①如（1）、（2）题，∵cs≠0，所以可用csn（n∈N*）除之，将被求式转化为关于tan的表示式，可整体代入tan=m的值，从而完成被求式的求值；②在（3）题中，求形如a sin2+b sincs+c cs2的值，注意将分母的1化为1=sin2+cS2代入，转化为关于tan的表达式后再求值。
举一反三：
变式1（1）已知tan=3，求sin2－3sincs+1的值；
（2）已知，求的值。
解析（1）∵tan=3，1=sin2+cS2，
∴原式
。
（2）由，得，解得：
∴
。
类型三：利用同角关系化简三角函数式
例5．化简：。
解析 解法一：原式
。
解法二：原式
。
解法三：原式
。
总结升华：以上三种解法虽然思路不同，但是主要都是应用公式sin2+cS2=1，解法二和解法三都是顺用公式，而解法一则是逆用公式，三种解法中，解法一最为简单。这里，所谓逆用公式sin2+cs2=1，实质上就是“1”的一种三角代换：“1=sin2+cS2”，1的三角代换在三角函数式的恒等变形过程中有着广泛的应用。
举一反三：
变式1化简
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
答案（1）－1（2）（3）略（4）略
解析（1）原式=
（2）原式=
（3）原式=
（4）原式=
=
=，
类型四：利用同角关系证明三角恒等式
例6．求证：。
思路点拨：利用同角三角函数关系式对式子的左边或右边进行化简，使之与式子的另一边相同。
解析 证法一：右边
=左边。
证法二：左边，
右边，
所以左边=右边，原等式成立。
证法三：左边，
右边，
所以左边=右边，原等式成立。
总结升华： 本题主要考查三角恒等式的证明方法。就一般情况而言，证明三角恒等式时，可以从左边推到右边，也可以从右边推到左边，本着化繁就简的原则，即从较繁的一边推向较简的一边；还可以将左、右两边同时推向一个中间结果；有时候改证其等价命题更为方便。但是，不管采取哪一种方式，证明时都要“盯住目标，据果变形”。化简证明过程中常用的技巧有：弦切互化，运用分式的基本性质变形，分解因式，回归定义等。
举一反三：
变式1求证：。
解析：证法一：由题意知，所以。
∴左边=右边。
∴原式成立。
证法二：由题意知，所以。
又∵，
∴。
证法三：由题意知，所以。
，
∴。
变式2：已知，求证：。
证明： ∵，∴，
∵，∴。
∴。
【学习目标】
借助单位圆，理解同角三角函数的基本关系式：，掌握已知一个角的三角函数值求其他三角函数值的方法；
2．会运用同角三角函数之间的关系求三角函数值、化简三角式或证明三角恒等式。
【学习重难点】
公式的灵活运用
【学习过程】
一、自主学习
要点一：同角三角函数的基本关系式
（1）平方关系：
（2）商数关系：
（3）倒数关系：，，
要点诠释：
（1）这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角（使得函数有意义的前提下）关系式都成立；
（2）是的简写；
（3）在应用平方关系时，常用到平方根，算术平方根和绝对值的概念，应注意“”的选取。
要点二：同角三角函数基本关系式的变形
1．平方关系式的变形：
，
2．商数关系式的变形
。
二、合作学习
典型例题
类型一：已知某个三角函数值求其余的三角函数值
例1．已知tan=－2，求sin，cs的值。
思路点拨：先利用，求出sin=－2cs，然后结合sin2+cS2=1，求出sin，cs。
解析： 解法一：∵tan=－2，∴sin=－2cs。 ①
又sin2+cS2=1， ②
由①②消去sin得（－2cs）2+cS2=1，即。
当为第二象限角时，，代入①得。
当为第四象限角时，，代入①得。
解法二：∵tan=－2＜0，∴为第二或第四象限角。
又由，平方得。
∴，即。
当为第二象限角时，。
。
当为第四象限角时，。
。
总结升华：解答此类题目的关键在于充分借助已知角的三角函数值，缩小角的范围。在解答过程中如果角所在象限已知，则另两个三角函数值结果唯一；若角所在象限不确定，则应分类讨论，有两种结果，需特别注意：若已知三角函数值以字母a给出，应就所在象限讨论。
举一反三：
变式1：已知是的一个内角，且，求
思路点拨：根据可得的范围：再结合同角三角函数的关系式求解。
解析：为钝角，
由平方整理得
例2．已知cs=m（－1≤m≤1），求sin的值。
解析：（1）当m=0时，角的终边在y轴上，
①当角的终边在y轴的正半轴上时，sin=1；
②当角的终边在y轴的负半轴上时，sin=－1．
（2）当m=±1时，角的终边在x轴上，此时，sin=0.
（3）当|m|＜1且m≠0时，
∵sin2=1―cs2=1―m²，
∴①当角为第一象限角或第二象限角时，，
②当角为第三象限角或第四象限角时，。
总结升华： 当角的范围不确定时，要对角的范围进行讨论，切记不要遗漏终边落在坐标轴上的情况。
类型二：利用同角关系求值
例3．已知：求：
（1）的值；（2）的值；
（3）的值；（4）及的值
思路点拨：同角三角函数基本关系是反映了各种三角函数之间的内在联系，为三角函数式的恒等变形提供了工具与方法。
答案：（1）（2）（3）0（4）或
解析：（1）由已知
（2）
（3）
（4）由，解得或
总结升华：本题给出了及三者之间的关系，三者知一求二，在求解的过程中关键是利用了这个隐含条件。
举一反三：
变式1：已知，求下列各式的值：
（1）；（2）sin3+cS3。
解析： 因为，
所以，
所以。
（1）
（2）。
总结升华： 对于已知sin±cs=m型的问题，常有两种解法：一是两边平方，得±2sincs= m²－1，联立以上两个式子解出sin，cs的值，从而使问题得以解决；二是对所求式子进行变形，化为sin±cs，sin·cs的形式代入求解，解题时注意正、负号的讨论与确定。
例4．已知tan=3，求下列各式的值。
（1）；（2）；（3）。
思路点拨：由已知可以求出，进而代入得解，但过程繁琐。在关于“齐次”式中可以使用“弦化切”，转化成关于tan的式子，然后利用已知求解。
解析：（1）原式的分子分母同除以cs（cs≠0）得，
原式。
（2）原式的分子分母同除以cS2（cs2≠0）得，
原式。
（3）用“1”来代换，
原式。
总结升华： ①已知tan的值，求关于sin、cs的齐次式的值问题①如（1）、（2）题，∵cs≠0，所以可用csn（n∈N*）除之，将被求式转化为关于tan的表示式，可整体代入tan=m的值，从而完成被求式的求值；②在（3）题中，求形如a sin2+b sincs+c cs2的值，注意将分母的1化为1=sin2+cS2代入，转化为关于tan的表达式后再求值。
举一反三：
变式1（1）已知tan=3，求sin2－3sincs+1的值；
（2）已知，求的值。
解析（1）∵tan=3，1=sin2+cS2，
∴原式
。
（2）由，得，解得：
∴
。
类型三：利用同角关系化简三角函数式
例5．化简：。
解析 解法一：原式
。
解法二：原式
。
解法三：原式
。
总结升华：以上三种解法虽然思路不同，但是主要都是应用公式sin2+cS2=1，解法二和解法三都是顺用公式，而解法一则是逆用公式，三种解法中，解法一最为简单。这里，所谓逆用公式sin2+cs2=1，实质上就是“1”的一种三角代换：“1=sin2+cS2”，1的三角代换在三角函数式的恒等变形过程中有着广泛的应用。
举一反三：
变式1化简
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
答案（1）－1（2）（3）略（4）略
解析（1）原式=
（2）原式=
（3）原式=
（4）原式=
=
=，
类型四：利用同角关系证明三角恒等式
例6．求证：。
思路点拨：利用同角三角函数关系式对式子的左边或右边进行化简，使之与式子的另一边相同。
解析 证法一：右边
=左边。
证法二：左边，
右边，
所以左边=右边，原等式成立。
证法三：左边，
右边，
所以左边=右边，原等式成立。
总结升华： 本题主要考查三角恒等式的证明方法。就一般情况而言，证明三角恒等式时，可以从左边推到右边，也可以从右边推到左边，本着化繁就简的原则，即从较繁的一边推向较简的一边；还可以将左、右两边同时推向一个中间结果；有时候改证其等价命题更为方便。但是，不管采取哪一种方式，证明时都要“盯住目标，据果变形”。化简证明过程中常用的技巧有：弦切互化，运用分式的基本性质变形，分解因式，回归定义等。
举一反三：
变式1求证：。
解析：证法一：由题意知，所以。
∴左边=右边。
∴原式成立。
证法二：由题意知，所以。
又∵，
∴。
证法三：由题意知，所以。
，
∴。
变式2：已知，求证：。
证明： ∵，∴，
∵，∴。
∴。
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