数学必修 第二册第十章 概率10.3 频率与概率教案

频率与概率

【教学目标】

1．了解基本事件、等可能性事件的概念；

2．理解等可能性事件的概率的定义，并能求简单的等可能性事件的概率，初步掌握等可能性事件的概率计算公式 ．

【教学重点】

等可能性事件的概率计算公式．

【教学难点】

等可能性事件的概率计算公式．

【教学过程】

问题提出

1．两个集合之间存在着包含与相等的关系，集合可以进行交、并、补运算，你还记得子集、等集、交集、并集和补集的含义及其符号表示吗？

2．我们可以把一次试验可能出现的结果看成一个集合（如连续抛掷两枚硬币），那么必然事件对应全集，随机事件对应子集，不可能事件对应空集，从而可以类比集合的关系与运算，分析事件之间的关系与运算，使我们对概率有进一步的理解和认识。

知识探究

一、事件的关系与运算

在掷骰子试验中，我们用集合形式定义如下事件：

C1＝｛出现1点｝，C2＝｛出现2点｝，

C3＝｛出现3点｝，C4＝｛出现4点｝，

C5＝｛出现5点｝，C6＝｛出现6点｝，

D1＝｛出现的点数不大于1｝，

D2＝｛出现的点数大于4｝，

D3＝｛出现的点数小于6｝，

E＝｛出现的点数小于7｝，

F＝｛出现的点数大于6｝，

G＝｛出现的点数为偶数｝，

H＝｛出现的点数为奇数｝，等等。

思考1：上述事件中哪些是必然事件？哪些是随机事件？哪些是不可能事件？

思考2：如果事件C1发生，则一定有哪些事件发生？在集合中，集合C1与这些集合之间的关系怎样描述？

一般地，对于事件A与事件B，如果当事件A发生时，事件B一定发生，称事件B包含事件A（或事件A包含于事件B）记为： BA（或AB）

特别地，不可能事件用Ф表示，它与任何事件的关系约定为：

任何事件都包含不可能事件。

思考3：分析事件C1与事件D1之间的包含关系，按集合观点这两个事件之间的关系应怎样描述？

一般地，当两个事件A、B满足：

若B  A，且A B，则称事件A与事件B相等，记作A=B．

思考4：如果事件C5发生或C6发生，就意味着哪个事件发生？反之成立吗？

事件D2一定发生， 反之也成立。

事件D2为事件C5与事件C6的并事件（或和事件）

一般地，当且仅当事件A发生或事件B发生时，事件C发生，则称事件C为事件A与事件B的并事件（或和事件），记作

C=A∪B（或A+B）。

思考5：类似地，当且仅当事件A发生且事件B发生时，事件C发生，则称事件C为事件A与事件B的交事件（或积事件），记作C=A∩B（或AB），在上述事件中能找出这样的例子吗？

思考6：两个集合的交可能为空集，两个事件的交事件也可能为不可能事件，即A∩B＝，此时，称事件A与事件B互斥，那么在一次试验中，事件A与事件B互斥的含义怎样理解？在上述事件中能找出这样的例子吗？

思考7：若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，则称事件A与事件B互为对立事件，那么在一次试验中，事件A与事件B互为对立事件的含义怎样理解？在上述事件中能找出这样的例子吗？

事件A与事件B有且只有一个发生。

思考8：事件A与事件B的和事件、积事件，分别对应两个集合的并、交，那么事件A与事件B互为对立事件，对应的集合A、B是什么关系？

集合A与集合B互为补集。

思考9：若事件A与事件B相互对立，那么事件A与事件B互斥吗？反之，若事件A与事件B互斥，那么事件A与事件B相互对立吗？

知识迁移

例1 某射手进行一次射击，试判断下列事件哪些是互斥事件？哪些是对立事件？

事件A：命中环数大于7环；

事件B：命中环数为10环；

事件C：命中环数小于6环； 

事件D：命中环数为6．7．8．9．10环。

事件A与事件C互斥，事件B与事件C互斥，事件C与事件D互斥且对立。

例2  一个人打靶时连续射击两次事件“至少有一次中靶”的互斥事件是      （ D  ）

A．至多有一次中靶    B．两次都中靶       C．只有一次中靶      D．两次都不中靶

例3 把红、蓝、黑、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁四人，每人分得一张，那么事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是     （  B  ）

   A． 对立事件           B． 互斥但不对立事件

   C． 必然事件           D． 不可能事件

知识探究

二、概率的几个基本性质 

思考1：概率的取值范围是什么？必然事件、不可能事件的概率分别是多少？

思考2：如果事件A与事件B互斥，则事件A∪B发生的频数与事件A、B发生的频数有什么关系？fn（A∪B）与fn（A）、fn（B）有什么关系？进一步得到P（A∪B）与P（A）、P（B）有什么关系？

若事件A与事件B互斥，则A∪B发生的频数等于事件A发生的频数与事件B发生的频数之和，且 P（A∪B）＝P（A）＋P（B），这就是概率的加法公式。

思考3：如果事件A与事件B互为对立事件，

则P（A∪B）的值为多少？P（A∪B）与P（A）、

P（B）有什么关系？由此可得什么结论？

若事件A与事件B互为对立事件，则：     P（A）＋P（B）＝1．

思考4：如果事件A与事件B互斥，那么P（A）＋P（B）与1的大小关系如何？

P（A）＋P（B）≤1．

思考5：如果事件A1，A2，…，An中任何两个都互斥，那么事件（A1+A2+…+An）的含义如何？P（A1+A2+…+An）与P（A1），P（A2），…，P（An）有什么关系？

事件（A1 + A2 +…+ An）表示事件A1， A2，…，An中有一个发生；P（A1 + A2 +…+ An）= P（A1）+P（A2）+…+P（An）。

例4 如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心（事件A）的概率是       ，取到方片（事件B）的概率是    　，问：

（l）取到红色牌（事件C）的概率是多少？

（2）取到黑色牌（事件D）的概率是多少？

P（C）=P（A∪B）= P（A）＋P（B）=0.5，

P（D）=1- P（C）=0.5．

课堂小结

1．事件的各种关系与运算，可以类比集合的关系与运算；

2．在一次试验中，两个互斥事件不能同时发生，它包括一个事件发生而另一个事件不发生，或者两个事件都不发生，两个对立  事件有且仅有一个发生；

3．事件（A+B）或（A∪B），表示事件A与事件B至少有一个发生，事件（AB）或A∩B，表事件A与事件B同时发生。

4．概率加法公式是对互斥事件而言的，一般地，P（A∪B）≤P（A）＋P（B）。