数学七年级上册2.1 整式教案

这是一份数学七年级上册2.1 整式教案，共7页。教案主要包含了情境导入，合作探究，板书设计等内容，欢迎下载使用。

教学目标
1.知道现实情境中字母表示数的意义，形成初步符号感；
2．会用字母表示一些简单问题情境中的数量关系和变化规律；(重点，难点)
3．初步培养学生观察、分析、抽象、概括等思维能力和应用意识．
教学过程
一、情境导入
我们不少同学都是唱着儿歌长大的，朗朗上口、童趣横生的儿歌有的至今难以忘怀．其中有一首名叫《数蛤蟆》的儿歌，你想起来了吗？
一只青蛙一张嘴，两只眼睛四条腿，一声扑通跳下水；两只青蛙两张嘴，四只眼睛八条腿，两声扑通跳下水；三只青蛙三张嘴，六只眼睛……，a只青蛙a张嘴，2a只眼睛4a条腿，由此看出a是一个字母，它代表“很多只”的数量，用字母a可以清楚地表示出青蛙、嘴、眼睛、腿和跳水声之间的数量关系．
今天我们就学习用字母表示数．
二、合作探究
探究点一：含字母式子的书写要求
例1 下列各式中，符合代数式书写要求的是( )
(1)1eq \f(3,4)x2y； (2)a×3；
(3)ab÷2； (4)eq \f(a2－b2,3).
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
解析：(1)正确的书写格式是eq \f(7,4)x2y，不符合要求；(2)正确的书写格式是3a，不符合要求；(3)正确的书写格式是eq \f(1,2)ab，不符合要求；(4)符合要求．符合代数式书写要求的共1个．故选D.
方法总结：代数式的书写要求：(1)在代数式中出现的乘号，通常简写成“·”或者省略不写；(2)数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；(3)在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．
探究点二：用含字母的式子表示数量关系
【类型一】 用字母表示代数型的数量关系
例2 用字母表示下列问题中的数量关系：
(1)为落实“阳光体育”工程，某校计划购买m个篮球和n个排球，已知篮球每个80元，排球每个60元，购买这些篮球和排球的总费用为__________元．
(2)在运动会中，一班总成绩为m分，二班比一班总成绩的eq \f(2,3)还多5分，则二班的总成绩为________．
(3)某商店压了一批商品，为尽快售出，该商店采取如下销售方案：将原来每件m元，加价50%，再做两次降价处理，第一次降价30%，第二次降价10%.经过两次降价后的价格为______________元．
解析：(1)用购买m个篮球的总价加上n个排球的总价表示．所以购买这些篮球和排球的总费用为(80m＋60n)元．
(2)二班的总成绩＝eq \f(2,3)m＋5.
(3)根据题意得
m(1＋50%)(1－30%)(1－10%)＝0.945m(元)．
方法总结：像这样的实际问题要先找出各个量之间的关系．要抓住关键词语，明确它们之间的意义及它们之间的关系，如和、差、积、商、大、小、多、少、倍、分等，注意数量关系的运算顺序，正确使用运算符号及括号．
【类型二】 用字母表示几何图形中的数量关系
例3 用字母表示图中阴影部分的面积：

(1) (2)
解析：(1)图中阴影部分的面积是正方形中挖去一个圆后剩下的部分，且正方形的边长是a，圆的直径也是a，圆的半径是eq \f(a,2)；(2)图中阴影部分是长方形中挖去4个小正方形后剩下的部分，且长方形的长为a，宽为b，小正方形的边长为x.
解：(1)S＝a2－π·(eq \f(a,2))2；(2)S＝ab－4x2.
方法总结：将不规则图形的面积转化为规则图形(如长方形、圆、三角形等)的面积的和或差是解决求阴影部分面积问题的关键．
探究点三：探求规律性问题
例4 观察下列图形：
它们是按一定规律排列的．
(1)依照此规律，第20个图形共有几个五角星？
(2)摆成第n个图案需要几个五角星？
(3)摆成第2015个图案需要几个五角星？
解析：通过观察已知图形可得每个图形都比其前一个图形多3个五角星，根据此规律即可解答．
解：(1)根据题意得∵第1个图中，五角星有3个(3×1)；第2个图中，有五角星6个(3×2)；第3个图中，有五角星9个(3×3)；第4个图中，有五角星12个(3×4)；∴第n个图中有五角星3n个．∴第20个图中五角星有3×20＝60个．
(2)由(1)可知，摆成第n个图案需要3n个五角星．
(3)摆成第2015个图案需要五角星2015×3＝6045(个)．
方法总结：此题首先要结合图形具体数出几个值．注意由特殊到一般的分析方法．此题的规律为摆成第n个图案需要3n枚五角星．
三、板书设计
1．用字母表示数：
字母和数一样，可以参与运算，可以用式子把数量关系简明地表示出来．
2．列式的注意事项：
①数与字母、字母和字母相乘省略乘号；
②数与字母相乘时数字写在前面．
教学反思
通过本课时的教学要让学生经历从实际问题中用字母表示数，初步理解用字母表示数的意义及目的，可以先用数，后用字母来表示．让学生循序渐进的学习本部分内容，让学生在现实情境中去理解、感悟、体会字母能够代替数，发展学生的符号感．在数学教学中，让学生逐步学会用代数的思想方法分析和解决问题．
第2课时 单项式
教学目标
1．理解单项式及单项式系数、次数的概念；(重点)
2．会准确迅速地确定一个单项式的系数和次数；
3．能用单项式表示具体问题中的数量关系．(难点)
教学过程
一、情境导入
青藏铁路线上，在格尔木到拉萨之间有一段很长的冻土地段．列车在冻土地段的行驶速度是100千米/时，在非冻土地段的行驶速度可以达到120千米/时，请根据这些数据回答下列问题：列车在冻土地段行驶时，2小时能行驶多少千米？3小时呢？t小时呢？
1．思考：(1)若正方形的边长为a，则正方形的面积是________；体积是________．
(2)设n表示一个数，则它的相反数是________；
(3)铅笔的单价是x元，钢笔的单价是铅笔单价的2.5倍，则钢笔的单价是________元．
(4)一辆汽车的速度是v千米/时，行驶t小时所走过的路程为________千米．
2．观察所列式子包含哪些运算，有何共同的运算特征．
二、合作探究
探究点一：单项式的相关概念
【类型一】 单项式的判断
例1 下列代数式2x，－eq \f(1,3)ab2c，eq \f(x＋1,2)，πr2，eq \f(4,x)，a2＋2a，0，eq \f(m,n)中，单项式有( )
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
解析：2x，－eq \f(1,3)ab2c，πr2，0，都符合单项式的定义，共4个．故选A.
方法总结：数与字母的积的形式的代数式是单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．分母中含字母的不是单项式，分子中含加、减运算的式子也不是单项式．
【类型二】 确定单项式的系数和次数
例2 分别写出下列单项式的系数和次数．
(1)－ab2； (2)eq \f(5ab3c2,7)； (3)eq \f(2πxy2,3).
解析：单项式的系数就是单项式中的数字因数；单项式的次数就是单项式中所有字母指数的和，只要将这些字母的指数相加即可．
解：(1)单项式的系数是－1，次数是3；
(2)单项式的系数是eq \f(5,7)，次数是6；
(3)单项式的系数是eq \f(2π,3)，次数是3.
方法总结：(1)当单项式的系数是1或－1时，“1”通常省略不写；单项式的系数是带分数时，通常写成假分数．单项式的系数包括前面的符号．(2)我们把常数项的次数看做0.确定单项式的次数时，单项式中单独一个字母的指数1不能忽略，如－3x3y，它的指数是4而不是3.(3)π是圆周率，是一个确定的数，不是字母．
探究点二：单项式的应用
例3 用单项式表示下列各式，并指出其系数和次数．
(1)王明同学买2本练习册花了n元，那么买m本练习册要花多少元？
(2)正方体的棱长为a，那么它的表面积是多少？体积呢？
解析：(1)根据买2本练习册花了n元，得出买1本练习册花eq \f(n,2)元，再根据买了m本练习册，即可列出算式，再根据系数、次数的定义进行解答即可；
(2)根据正方体的棱长为a和表面积公式、体积公式列出式子，再根据系数、次数的定义进行解答．
解：(1)∵买2本练习册花了n元，
∴买1本练习册花eq \f(n,2)元，∴买m本练习册要花eq \f(1,2)mn元，∴它的系数是eq \f(1,2)，次数是2；
(2)∵正方体的棱长为a，
∴它的表面积是6a2，系数是6，次数是2；
它的体积是a3，系数是1，次数是3.
方法总结：此题考查了列代数式，用到的知识点是系数、次数、正方形的表面积公式、体积公式，根据题意列出式子是本题的关键．
三、板书设计
单项式概念：由数或字母的积组成的代数式叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．
单项式的系数概念：单项式中的数字因数，叫做这个单项式的系数．
单项式的次数概念：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．
教学反思
本节课是研究整式的起始课，它是进一步学习多项式的基础，因此对单项式有关概念的理解和掌握情况，将直接影响到后续学习．为突出重点，突破难点，教学中要加强直观性，即为学生提供足够的感知材料，丰富学生的感性认识，帮助学生认识概念，同时也要注重分析，抓住概念易混淆处和判断易出错处，强化认识，帮助学生理解单项式系数、次数，为进一步学习新知做好铺垫．
第3课时 多项式
教学目标
1．理解多项式的概念；(重点)
2．能准确迅速地确定一个多项式的项数和次数；
3．能正确区分单项式和多项式．(重点)
教学过程
一、情境导入
列代数式：
(1)长方形的长与宽分别为a、b，则长方形的周长是________；
(2)图中阴影部分的面积为________；
(3)某班有男生x人，女生21人，则这个班的学生一共有________人．
观察我们所列出的代数式，是我们所学过的单项式吗？若不是，它又是什么代数式？
二、合作探究
探究点一：多项式的相关概念
【类型一】 单项式、多项式与整式的识别
例1 指出下列各式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？x2＋y2，－x，eq \f(a＋b,3)，10，6xy＋1，eq \f(1,x)，eq \f(1,7)m2n，2x2－x－5，eq \f(2,x2＋x)，a7.
解析：根据整式、单项式、多项式的概念和区别来进行判断．
解：eq \f(2,x2＋x)，eq \f(1,x)的分母中含有字母，既不是单项式，也不是多项式，更不是整式．
单项式有：－x，10，eq \f(1,7)m2n，a7；
多项式有：x2＋y2，eq \f(a＋b,3)，6xy＋1，2x2－x－5；
整式有：x2＋y2，－x，eq \f(a＋b,3)，10，6xy＋1，eq \f(1,7)m2n，2x2－x－5，a7.
方法总结：(1)分母中含有字母(π除外)的式子不是整式；(2)单项式和多项式都是整式；(3)单项式不含加、减运算，多项式必含加、减运算．
【类型二】 确定多项式的项数和次数
例2 写出下列各多项式的项数和次数，并指出是几次几项式．
(1)eq \f(2,3)x2－3x＋5；
(2)a＋b＋c－d；
(3)－a2＋a2b＋2a2b2.
解析：根据多项式的项数是多项式中单项式的个数，多项式的次数是多项式中次数最高的单项式的次数，可得答案．
解：(1)eq \f(2,3)x2－3x＋5的项数为3，次数为2，二次三项式；
(2)a＋b＋c－d的项数为4，次数为1，一次四项式；
(3)－a2＋a2b＋2a2b2的项数为3，次数为4，四次三项式．
方法总结：(1)多项式的项一定包括它的符号；(2)多项式的次数是多项式里次数最高项的次数，而不是各项次数的和；(3)几次项是指多项式中次数是几的项．
【类型三】 根据多项式的概念求字母的取值
例3 已知－5xm＋104xm－4xmy2是关于x、y的六次多项式，求m的值，并写出该多项式．
解析：根据多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数可得m＋2＝6，解得m＝4，进而可得此多项式．
解：由题意得m＋2＝6，
解得m＝4，
此多项式是－5x4＋104x4－4x4y2.
方法总结：此题考查了多项式，解题的关键是弄清多项式次数是多项式中次数最高的项的次数．
【类型四】 与多项式有关的探究性问题
例4 若关于x的多项式－5x3－mx2＋(n－1)x－1不含二次项和一次项，求m、n的值．
解析：多项式不含二次项和一次项，则二次项和一次项系数为0.
解：∵关于x的多项式－5x3－mx2＋(n－1)x－1不含二次项和一次项，
∴m＝0，n－1＝0，则m＝0，n＝1.
方法总结：多项式不含哪一项，则哪一项的系数为0.
探究点二：多项式的应用
例5 如图，某居民小区有一块宽为2a米，长为b米的长方形空地，为了美化环境，准备在此空地的四个顶点处各修建一个半径为a米的扇形花台，在花台内种花，其余种草．如果建造花台及种花费用每平方米为100元，种草费用每平方米为50元．那么美化这块空地共需多少元？
解析：四个角围成一个半径为a米的圆，阴影部分面积是长方形面积减去一个圆面积．
解：花台面积和为πa2平方米，草地面积为(2ab－πa2)平方米．所以需资金为[100πa2＋50(2ab－πa2)]元．
方法总结：用式子表示实际问题的数量关系时，首先要分清语言叙述中关键词的含义，理清它们之间的数量关系和运算顺序．
三、板书设计
多项式：几个单项式的和叫做多项式．
多项式的项：多项式中的每个单项式叫做多项式的项．
常数项：不含字母的项叫做常数项．
多项式的次数：多项式里次数最高项的次数叫做多项式的次数．
整式：单项式与多项式统称整式．
教学反思
这节课的教学内容并不难，如果采用讲授的方式，很快90%以上的学生都可以理解、掌握．虽然单纯地从学生接受知识的角度，讲授法应该效果更好，但同时学生的自主学习的习惯和能力也不知不觉地被忽略了．事实证明，学生没有养成一个良好的自主学习的习惯，不会自己阅读、分析题意，他们今后的学习会受到很大的制约．