2022年江苏省苏州市四市中考数学适应性试卷（含解析）

2022年江苏省苏州市四市中考数学适应性试卷

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 的倒数是

A.  B.  C.  D.

2. 下面这个几何体的主视图是

A.
B.
C.
D.

3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是

A.  B.  C.  D.

4. 已知，则的值是

A.  B.  C.  D.

5. 年初，新型冠状病毒侵袭全国．某中学举行“我为抗疫献爱心”的捐赠活动，某班位同学捐款金额统计如表：

则在这次活动中，该班同学捐款金额的众数和中位数分别是

A. ， B. ， C. ， D. ，

6. 已知函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为

A.  B.  C.  D.

7. 九章算术是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只两，燕每只两，则可列出方程组为

A.  B.
C.  D.

8. 如图，在中，是边上的中线，将沿着翻折，点的对称点为已知，，那么点与点之间的距离为

A.  B.  C.  D.

9. 在平面直角坐标系中，若点的横坐标与纵坐标的和为零，则称点为“零和点”已知二次函数的图象上有且只有一个“零和点”，则下列结论正确的是

A.  B.  C.  D.

10. 如图，在矩形中，，，如果动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿运动到点，同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿运动到点，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止．设的面积为，运动时间为秒，则关于的函数图象大致为

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

11. 年月日，国家统计局、国务院第七次全国人口普查领导小组办公室对外发布：截至年月日零时，全国人口共约人数据用科学记数法表示为______ ．
12. 因式分解：___          ___．
13. 小华在如图所示的正方形网格纸板上玩飞镖游戏每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等，则飞镖落在阴影区域的概率是______．
     

14. 不等式组的最大整数解为______．
15. 若，则______．
16. 如图，中，，分别是，的中点，是延长线上的一点，且，若，，则的长为______．

17. 如图，在▱中，的平分线与交于点，为的中点，且平分若，，则______．
    
     

18. 如图，在中，，，，点是边上的一动点．≌，将绕点按逆时针方向旋转，点是边的中点，则长度的最小值为______．

三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）

19. 计算：．
    
    
    
    
    
    
     

四、解答题（本大题共9小题，共71.0分）

20. 解方程组：
    
    
    
    
    
    
     
21. 先化简再求值：，其中．
    
    
    
    
    
    
     
22. 为评估九年级学生在“新冠肺炎”疫情期间居家在线学习数学的效果，某中学组织了一次调研测试，并随机抽取了部分学生的数学成绩进行统计，把这些成绩分为优、良、及格、待及格四类，绘制成了如下两幅不完整的统计图．
    请根据图中提供的信息解答下列问题：
    一共抽取了______名学生的数学成绩，补全条形统计图画图并标注相应数据；
    在扇形统计图中，“优”的圆心角度数为______；
    若该校九年级共有人参加了这次调研测试，请估算该校九年级共有多少名学生的数学成绩为优？

23. 现有，两个不透明的袋子，分别装有个小球每个袋中的小球除颜色外，其他完全相同袋装有个白球，个红球；袋装有个红球，个白球．
    将袋摇匀，然后从袋中随机摸出一个球，则摸出的小球是红球的概率为______；
    甲、乙两人玩摸球游戏，并设计了如下规则：甲从袋中随机摸出一个小球，乙从袋中随机摸出一个小球．若甲、乙两人摸到的小球颜色相同，则甲获胜；若颜色不同，则乙获胜．这个游戏规则公平吗？为什么？请用画树状图或列表的方法说明理由
    
    
    
    
    
    
     
24. 如图，在矩形中，点在上，，，垂足为．
    求证：≌；
    若，，求的长．
     

25. 如图，在平面直角坐标系中，与是等边三角形，边，在轴上，点，在第一象限．反比例函数的图象经过边的中点与边的中点，已知等边的边长为．
    求反比例函数的表达式；
    求等边的边长．
     

26. 定义：若一个三角形一边长的平方等于另两边长的乘积的倍，我们把这个三角形叫做有趣三角形．
    若是有趣三角形，，，则______；
    已知等腰的周长为，若是有趣三角形，求的腰长；
    如图，在中，，点，在边上，且是以为斜边的等腰直角三角形．求证：由三条线段，，组成的三角形是有趣三角形．

27. 如图，在中，为直径，点在圆上，，，是上一动点与点、不重合，平分交边于点，，垂足为点．
    当点与圆心重合时，如图所示，则______；
    当与相似时，求的值；
    若的面积是面积的倍，求证：，求的长．

28. 如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点点是线段上的动点点不与点，重合，连结并延长，交抛物线于点，过点作轴的平行线交于点．
    求点、的坐标；
    在点的运动过程中，若的最大值为，求抛物线对应的函数表达式；
    在的条件下，当为等腰三角形时，直接写出线段的长．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：的倒数是，
故选：．
根据倒数的定义即可得出答案．
本题考查了倒数，掌握乘积为的两个数互为倒数是解题的关键．
 

2.【答案】
 

【解析】解：从正面看，可得图形如下，

故选：．
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图．解题的关键是理解简单组合体的三视图的定义，明确从正面看得到的图形是主视图．
 

3.【答案】
 

【解析】解：不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
C.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

4.【答案】
 

【解析】解：，
，
．
故选：．
根据条件得到，从而得到．
本题考查了分式的值，掌握是解题的关键．
 

5.【答案】
 

【解析】解：由统计表可知：统计表中是按从小到大的顺序排列的，最中间两个人同学捐款金额分别是元，元，故中位数是．
元出现了次，出现的次数最多，则众数是；
故选：．
根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．
此题考查了中位数和众数，将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数或最中间两个数的平均数叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数．
 

6.【答案】
 

【解析】解：函数的图象经过点，
，
关于的不等式为，
解不等式得，
故选：．
利用函数的解析式求得，进而得出不等式为，解得．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解一元一次不等式，求得的值是解题的关键．
 

7.【答案】
 

【解析】解：设雀每只两，燕每只两，则可列出方程组为：
．
故选：．
直接利用“五只雀、六只燕，共重两、互换其中一只，恰好一样重”，进而分别得出等式求出答案．
此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确表示出“互换一只恰好一样重”的等式是解题关键．
 

8.【答案】
 

【解析】解：把沿对折，点落在点，
≌，
，，
，
．
为的中线，，
．
，
三角形为等腰三角形，
，
如图，过点作于点，

，
在中，，，
，
，
．
故选：．
根据折叠前后角相等可知，从而得，然后根据含度角的直角三角形即可解决问题．
本题考查图形的翻折变换以及勾股定理的运用，解题本题的关键是掌握折叠的性质，
 

9.【答案】
 

【解析】解：由题意得点在直线上，
的图象上有且只有一个“零和点”时，方程有两个相同的解，
，
解得，
故选：．
由“零和点”的定义可得点在直线上，令，根据求解．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是理解题意，掌握二次函数与方程的关系．
 

10.【答案】
 

【解析】解：，，
，
点在线段上的运动时间为，点在线段上的运动时间为，点从的运动时间为，点从的运动时间为，
点与点同时出发，同时分别到达点与点，
如图，当点在线段上，点在线段上，即时，，，
过点作于点，则，
，故选项D错误，不符合题意；
如图，当点在线段上，点在线段上，即时，，，
过点作于点，则，
，故选项A、B错误，不符合题意；
故选：．
分类讨论，点在线段上，点在线段上；点在线段上，点在线段上，分别过点作于点，过点作于点，再利用解直角三角形求出和的长度，最后求出的面积，从而得到对应的函数图象．
本题考查了三角形的面积、解直角三角形、函数与图象，解题的关键是通过解直角三角形求出的高．
 

11.【答案】
 

【解析】解：，
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要确定的值以及的值．
 

12.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题考查了提公因式与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
原式提取，再利用平方差公式分解即可．

【解答】
解：原式，
故答案为．

13.【答案】
 

【解析】解：．
故飞镖落在阴影区域的概率是．
故答案为：．
直接表示出图中阴影部分的面积所占分率，进而得出飞镖落在阴影区域的概率．
此题主要考查了几何概率，正确掌握概率公式是解题关键．
 

14.【答案】
 

【解析】解：不等式组整理得：，
解得：，
则不等式组的最大整数解为．
故答案为：．
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而求出最大的整数解即可．
此题考查了一元一次不等式组的整数解，正确求出不等式组的解集是解本题的关键．
 

15.【答案】
 

【解析】解：，
，
原式


．
故答案为：．
根据条件得：，整体代入到代数式中求值即可得出答案．
本题考查了代数式求值，考查了整体思想，整体代入到代数式中求值是解题的关键．
 

16.【答案】
 

【解析】解：在直角中，是斜边上的中线，，则．
在中，是中位线，，则．
则．
故答案是：．
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，根据三角形中位线定理求得，则．
本题考查的是三角形中位线定理、三角形的三边关系，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
 

17.【答案】
 

【解析】解：延长和，交于点，如图所示，

在▱中，的平分线与交于点，
，，，
，
，
，
，
又的平分线与交于点，
，
，
，
，
，
为的中点，
，
，，，
≌，
，
．
故答案为：．
先延长和，交于点，如图所示，根据条件判断三角形为等腰三角形，最后根据≌得出与的关系，并根据进行计算即可．
本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定，解决问题的关键是掌握平行四边形的性质．
 

18.【答案】
 

【解析】解：过点作于点，如图：

中，，
，
中，，
，
当点在上运动到点，绕点旋转，点、、共线时最小，即最小，最小值为，
故答案为：．
过点作于点，在中，根据求出的长，当在上运动至垂足点，绕点旋转，当点、、共线时最小，即最小，据此求解可得．
本题考查的是图形的旋转、锐角三角函数的定义等知识，根据题意得出点运动至点、绕点旋转到点、、共线时，最小，即最小是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式


 

【解析】利用二次根式的性质，绝对值的意义和特殊角的三角函数值解答即可．
本题主要考查了实数的运算，二次根式的性质，绝对值的意义和特殊角的三角函数值，正确利用上述法则进行解答是解题的关键．
 

20.【答案】解：，
，得，
，得，
．
代入，得，
．
方程组的解为．
 

【解析】先用加减消元法，再用代入消元法即可．
这类题目的解题关键是掌握方程组解法中的加减消元法．
 

21.【答案】解：原式

，
当时，原式．
 

【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
 

22.【答案】 
 

【解析】解：名，
“中”的人数为：名，
补全图形如下：

故答案为：；

扇形统计图中“优”的圆心角度数为：，
故答案为：；
名，
答：估计该校九年级共有名学生的成绩为优．
由良的人数除以占的百分比得到调查的总人数，乘以即可得到结果；从而补全条形统计图；
成绩类别为“优”的扇形所占的百分比成绩类别为“优”的人数被抽取的学生总数，它所对应的圆心角的度数成绩类别为“优”的扇形所占的百分比；
利用样本估计总体思想求解可得．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
 

23.【答案】
 

【解析】解：共有种等可能结果，而摸出红球的结果有种，
，
故答案为：；

这个游戏规则不公平．理由如下：
根据题意，列表如下：

由上表可知，共有种等可能结果，其中颜色不相同的结果有种，颜色相同的结果有种
则甲获胜的概率是，乙获胜的概率是，
，
这个游戏规则不公平．
由概率公式即可得出答案；
由列表可知，共有种等可能结果，其中颜色不相同的结果有种，颜色相同的结果有种，，，即可得出答案．
本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

24.【答案】证明：在矩形中，，，
，
，
，
在和中，
，
≌；
解：≌，
，
，
，
，
 

【解析】由“”可证≌；
由勾股定理可求解．
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．
 

25.【答案】解：分别过点、作轴的垂线，垂足分别为、，
在中，，，则，，
故点的坐标为，
点在反比例函数的图象上，
，
故反比例函数的表达式为；

设等边三角形的边长为，则，
是等边三角形，
，
在中，，，则，，
则点的坐标为，
点在反比例函数上，故，
解得负值已舍去，
则，
故等边的边长为．
 

【解析】在中，，，则，，故点的坐标为，即可求解；
在中，，，则，，则点的坐标为，即可求解．
本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等边三角形的性质、解直角三角形等知识点，有一定的综合性，难度适中．
 

26.【答案】
 

【解析】解：由题意可知：，，
是有趣三角形，
，
，
；
由题意可知：，，
是有趣三角形，
，
，
．
，
不符合题意舍去，
；
故答案为：；
解：设等腰三角形的腰长为，则底为，
根据题意可知：，
解得舍去或；
由题意可知：，
解得，
，，
，不能构成三角形，不符合题意舍去，
的腰长为；
证明：是以为斜边的等腰直角三角形，
，，
，

，
，
，
，，
∽，
，
在中，，
，
，
，
，
线段，，三条线段组成的三角形是有趣三角形．
先求出，，即可得出结论；
分两种情况利用有趣三角形的定义建立方程求解即可；
先判断出∽，得出，再判断出，即可得出结论．
此题考查了新定义，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，得出∽是解本题的关键．
 

27.【答案】
 

【解析】解：在中，，，，
，
平分，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；

，
，
与相似，
∽或∽，
当∽时，
则，
，
，
，
，
平分，
，
；
当∽时，
则，
，
平分，
，
，
，
，
，
综上所述，的正切值为或；

如图，过点作于点，
当点与圆心重合时，则，
平分，，
，
，
≌，
，
的面积是面积的倍，
，
，
，
；

由知，，
设，则，，，
，，
平分，
，
，
，
，
，
∽，
，即，
解得：，，
．
证明≌，可得，根据，即可求得答案；
分两种情况：当∽时，可证得，再根据平分，可得，再由特殊角的三角函数值即可求得答案；当∽时，则，得出，再由平分，可得，推出，利用三角函数定义即可求得答案；
如图，过点作于点，根据角平分线性质可得出，推出，再由的面积是面积的倍，可得出，进而推出，
设，则，，，，，根据∽，得出，建立方程求解即可．
本题是几何综合题，考查了直角三角形性质，勾股定理，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，角平分线性质，三角形面积，三角函数等知识，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质等相关知识，运用分类讨论思想和方程思想解决问题．
 

28.【答案】解：由抛物线与轴交于点、，
令，整理得，
或，
，；
由抛物线与轴交于点，
令，则，
，
直线的解析式为：，
如图，过点作轴交的延长线于点，
，
，
轴，
，
，
设点的横坐标为，
则，，
，
，
当时，的最大值为，
，解得或舍，
抛物线的解析式为：．
由可知，，，
，
，直线的解析式为：，
是等腰直角三角形，．
轴，
．
若为等腰三角形，需要分三种情况：
当时，，
，
，
是等腰直角三角形，
过点作轴于点，
则，
，
；
直线的解析式为：，
令，解得，
．
当时，如图，此时，
，
，即平分，
过点作轴于点，则，是等腰直角三角形，
，
由知，是等腰直角三角形，
．
．
解得．
．
．
，
直线的解析式为：，
令，解得，
，
当时，，则，显然不存在．
综上，的值为或．
 

【解析】令，利用公式法可求出该一元二次方程的解，即可得出，的坐标；
令，可得出的值，进而可得出直线的解析式；过点作轴交的延长线于点，则，设点的横坐标为，则可表示点的坐标，依次表达和的长，根据二次函数的性质，求出的最大值，结合题中数据求出的值，进而得出结论；
由可知，，由此可得出，由平行线的性质可得，若为等腰三角形，需要分三种情况：当时，当时，当，分别进行求解即可．
本题属于二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式，平行线分线段成比例，等腰三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，角平分线的性质与判定，分类讨论思想等知识，关键是作出辅助线，将比例转化为；关键是进行正确的分类讨论．