2022年河北省衡水市景县三中中考数学模拟试卷（含解析）

2022年河北省衡水市景县三中中考数学模拟试卷

副标题

一、选择题（本大题共16小题，共42.0分）

1. 如图，已知直线和直线外一点，下列说法不正确的是

A. 过点有且只有一条直线与直线平行
B. 过点有且只有一条直线与直线垂直
C. 在连接点和直线上各点的线段中，与直线垂直的线段最短
D. 过点作直线的垂直平分线，只能作一条
 

2. 数轴上点表示的数是，将点在数轴上向右平移五个单位长度得到点，则点表示的数是

A.  B.  C.  D.

3. 下列一定相等的一组是

A.  B.
C.  D.

4. 若，则下列不等式一定成立的是

A.  B.  C.  D.

5. 下列立体图形中，左视图与主视图不同的是

A. 正方体 B. 圆柱
C. 圆锥 D. 球

6. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为

A.  B.  C.  D.

7. 下列命题是假命题的是

A. 平行四边形是中心对称图形
B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 矩形的对角线相等
D. 正方形的对角线相等，且互相垂直平分

8. 如图，点，，在上，，连接并延长，交于点，连接，若，下列结论不正确的是

A.
B. 直线垂直平分
C.
D.
 

9. 若一次函数的图象经过第一、二、三象限，则函数的图象不经过

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

10. 从小华、小琪、小明、小伟四人中随机抽出人参加学校举行的乒乓球比赛，恰好抽到小华和小明的概率是

A.  B.  C.  D.

11. 如图，在中，，，按以下步骤作图．若，则的长是
    以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点，；
    分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点；
    作射线，交于点；
    以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点，；
    分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，连接交于点

A.  B.  C.  D.

12. 一根米长的小棒，第一次截去它的，第二次截去剩下的，第三次再截去剩下的，如此截下去，第五次后剩下的小棒的长度是

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

13. 关于式子，下列说法正确的是

A. 当时，其值为 B. 当时，其值为
C. 当时，其值为正数 D. 当时，其值为正数

14. 如图，某渔船正在海上处捕鱼，先向北偏东的方向航行到处，然后右转再航行到处．在点的正南方向，点的正东方向的处有一条船，也计划驶往处，那么它的航向是

A. 北偏东 B. 北偏东 C. 北偏东 D. 北偏东

15. 如图，在正六边形中，点，分别在对角线和上，且：：：，则：的值为

A.
B.
C.
D.

16. 如图，，点到的距离是，到的距离是，，分别是，上的动点，则周长的最小值是

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共3小题，共12.0分）

17. 已知的整数部分为，小数部分为．
    ______；
    ______．
18. 定义新运算：，如，．
    ______；
    若，则的取值范围是______．
19. 如图，在正方形中，是对角线点与点，不重合上的一个动点，过点作于点，于点，连接．
    当，时，______；
    若，则当矩形的面积最大时，的内心到边的距离是______．
     

三、解答题（本大题共7小题，共66.0分）

20. 如图，把圆分成四个区域，现在按Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ的顺序分别在四个区域内写一个数，要求后面的数是它前面那个数的．
    若在第Ⅰ区写的数是，求在第Ⅳ区写的数是多少？请用科学记数法表示
    若在第Ⅳ区写的数是．
    计算：第Ⅱ区与第Ⅲ区的差；
    当时，比较第Ⅱ区与第Ⅲ区两数的大小．
    
    
    
    
    
    
     
21. 某中学八年级棋类兴趣小组最近新买了副围棋与副中国象棋，共用了元，九年级的棋类兴趣小组，在上学期购买了同款的副围棋与副中国象棋，共用了元．已知围棋和中国象棋的单价不变．
    若购买副围棋与副中国象棋，需要多少元？
    如果购买围棋与中国象棋共副，且总价钱不超过元，那么至少需要购买多少副中国象棋？
    
    
    
    
    
    
     
22. 在国家“双减”政策实施后，学生的课外活动时间明显增多，实验学校九年级课间跳绳活动开展的如火如茶，学生的跳绳能力也在快速提高．为了解学生们的现有水平，学校随机从九年级的学生中抽取了名学生进行检测，将他们的成绩秒的跳绳次数，单位：分分成六组绘制成如图所示的频数分布直方图每组数据含最小值，不含最大值
    若这组数据为：，，，，，，，则这组数据的众数是______，中位数是______，平均数是______；
    若九年级参与跳绳活动的学生有名，估计成绩在的总人数；
    若将此直方图绘制成扇形统计图，求成绩在这一组所在扇形的圆心角的度数；
    若用每组数据的中间值如的中间值是来代表该组同学的平均成绩，求这名同学的平均成绩大约是多少？结果保留整数

23. 如图，是的直径，是上一点，，过点作的平行线，连接交于点，交于点．
    判断与的位置关系，并证明；
    若，，求图中阴影部分的面积．

24. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，连接，已知四边形是平行四边形，且其面积是．
    求点的坐标及和的值；
    求一次函数图象与反比例函数图象的另一个交点坐标；
    若直线与四边形和反比例函数图象均无公共点，直接写出的取值范围．

25. 如图，已知抛物线与轴分别交于点，点在点的左侧，与轴交于点．
    求抛物线的函数解析式；
    当时，的值随的增大而减小，求的取值范围；
    动点在上方的抛物线上，过点作轴于点，交于点，求的最大值及此时点的坐标；
    如图，已知图象的函数解析式为，动直线与图象的交点从左到右依次为点，，，点，能否三等分线段？若能，请直接写出的长度；若不能，请说明理由．

26. 如图，是的高，，，是边上一动点，过点作的平行线，交于点，交于点，是直线上一动点，点从点出发，沿匀速运动，点从点出发沿直线向右匀速运动，当点运动到点时，，同时停止．设点与点在同一时刻开始运动，且运动速度相同，点的运动距离是．
    求运动过程中，点与点之间的最短距离；
    当直线平分的面积时，求的值；
    求点与边的距离用含的代数式表示；
    当点与点之间的距离小于时，直接写出的取值范围．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：过点有且只有一条直线与直线平行，故正确，不符合题意；
B.过点有且只有一条直线与直线垂直，故正确，不符合题意；
C.在连接点和直线上各点的线段中，与直线垂直的线段最短，故正确，不符合题意；
D.直线没有垂直平分线，故错误，符合题意．
故选：．
根据垂线的定义和垂线的性质及平行线的判定对各小题分析判断即可得解．
此题主要考查了命题与定理，正确把握相关定义是解题关键．
 

2.【答案】
 

【解析】解：表示的数是，将点在数轴上向右平移五个单位长度得到点，
点表示的数是，
故选：．
向右平移后表示的数变大，右移个单位就比原来的点表示的数大．
本题考查数轴上点表示的数，掌握向右平移后表示的数变大时解题的关键．
 

3.【答案】
 

【解析】解：，故此选项不合题意；
B.，故此选项不合题意；
C.，故此选项符合题意；
D.，故此选项不合题意；
故选：．
直接利用整式的加减运算法则以及单项式乘单项式分别化简，进而判断得出答案．
此题主要考查了合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

4.【答案】
 

【解析】解：：不等式两边都乘，即，原变形错误，故此选项不符合题意；
：不等式两边都减去，即，也即，原变形正确，故此选项符合题意；
：不等式两边都乘，即，原变形错误，故此选项不符合题意；
：当，时，，，即，原变形错误，故此选项不符合题意；
故选：．
根据不等式的性质解答即可．
本题考查了不等式的性质．解题的关键是掌握不等式的性质．不等式的性质：不等式两边加或减同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式两边乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
 

5.【答案】
 

【解析】解：左视图与主视图都是正方形，故选项A不合题意；
B.左视图是圆，主视图都是矩形，故选项B符合题意；
C.左视图与主视图都是三角形；故选项C不合题意；
D.左视图与主视图都是圆，故选项D不合题意；
故选：．
从正面看所得到的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，进而分别判断得出答案．
此题主要考查了三视图，关键是把握好三视图所看的方向．属于基础题，中考常考题型．
 

6.【答案】
 

【解析】解：把代入方程得，
即，
所以．
故选：．
先把把代入方程得，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 

7.【答案】
 

【解析】解：、平行四边形是中心对称图形是真命题，不符合题意；
B、对角线互相垂直的四边形是菱形是假命题，符合题意；
C、矩形的对角线相等是真命题，不符合题意；
D、正方形的对角线相等，且互相垂直平分是真命题，不符合题意；
故选：．
根据平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质逐项判断即可．
本题考查命题与定理，解题的关键是掌握平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质定理．
 

8.【答案】
 

【解析】解：如图，延长交于点，

是的直径，
，
，
故A选项正确；
，
设，则，

，
，
故D选项不正确；
，
；
故C选项正确；
根据对顶角相等可得：，
，
，
是圆心，
，
直线垂直平分；
故B选项正确．
故选：．
根据圆周角定理可得，从而根据三角形内角和求出，选项即可判断；根据平行的性质及圆周角定理设，则，根据三角形内角和即可求出的值，从而求出，，，从而可判断、选项；延长交于点，根据对顶角相等可得到，从而求出，再结合垂径定理可判断出与的关系，即可判断出选项B．
本题考查圆周角定理及垂径定理，涉及到垂直平分线的定义、三角形内角和等，解题关键是熟练运用圆周角定理和垂径定理．
 

9.【答案】
 

【解析】解：一次函数的图象经过第一、二、三象限，
，，
，
函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，
故选：．
先根据一次函数的图象求出和的符号，进一步求出函数的图象经过的象限即可．
本题考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象与系数之间的关系是解题的关键．
 

10.【答案】
 

【解析】解：把小华、小琪、小明、小伟四人分别记为、、、，画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中恰好抽到小华和小明的结果有种，
恰好抽到小华和小明的概率为，
故选：．
画树状图，共有种等可能的结果，其中恰好抽到小华和小明的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是树状图法以及概率公式．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

11.【答案】
 

【解析】解：由作法得平分，，
过点作于，如图，则，
，
，
，
．
故选：．
利用基本作图得到平分，，过点作于，如图，根据角平分线的性质得到，再计算出，然后根据含度角的直角三角形三边的关系求解．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分线的性质和含度角的直角三角形三边的关系．
 

12.【答案】
 

【解析】解：将代入即可，
第次截去后剩下的木棒长米．
故选C．
根据乘方的意义和题意可知：第次截去后剩下的木棒长米，以此类推第次截去后剩下的木棒长米．
本题考查了乘方的意义．乘方是乘法的特例，乘方的运算可以利用乘法的运算来进行．负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数；解题还要掌握乘方的运算法则．
 

13.【答案】
 

【解析】解：

，
，则或，
，
、，故A说法错误，不符合题意；
B、，故B说法错，不符合题意；
C、当时，，故C说法错误，不符合题意；
D、当时，，故D说法正确，符合题意，
故选：．
根据分式的乘除法的法则对分式进行化简，再根据分式的性质对各项进行分析即可．
本题主要考查分式的乘除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．
 

14.【答案】
 

【解析】解：如图，连接，
由题意得：，，，，，
，
，
，
，
，
即处在处的北偏东方向，
故选：．
连接，由锐角三角函数定义得，则，再由等腰三角形的性质得，即可得出结论．
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，等腰三角形的性质，锐角三角函数定义等知识，由锐角三角函数定义求出的长是解题的关键．
 

15.【答案】
 

【解析】解：在正六边形中，设，
作交于，连接，，交于点，与相交于点，

，
，
：：：，
，，
为的中位线，
，，
，
，
：的值为：，
故选：．
作交于，连接，，交于点，与相交于点，设，则，同时可说明为的中位线，得，，分别求出两个三角形的面积，可得答案．
本题主要考查了正六边形的性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，表示出两个三角形的面积是解题的关键．
 

16.【答案】
 

【解析】解：作点分别关于、的对称点、，连接，分别交、于、，
则，，，，，
，
，
此时周长最小值为，
延长，交与．
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即周长的最小值是．
故选：．
作点分别关于、的对称点、，连接，分别交、于、则，，，，，则，，此时周长最小，为，据此解答即可．
本题考查了轴对称最短路线问题：熟练掌握轴对称的性质，会利用两点之间线段最短解决路径最短问题．
 

17.【答案】 
 

【解析】解：，
，
，
，
，，
．
故答案为：；
．
估算无理数的大小即可得到，的值没代入代数式求值即可．
本题考查了无理数的估算，零指数幂，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
 

18.【答案】 
 

【解析】解：


，
故答案为：；
，
，
，
，
解得：．
故答案为：．
根据新定义的运算进行求解即可；
由等式的右边可得，再结合新定义的运算，从而可求解．
本题主要考查有理数的混合运算，函数自变量的取值范围，解答的关键是理解清楚新定义的运算．
 

19.【答案】 
 

【解析】解：四边形为正方形，
，．
在和中，
，
≌．
，
，．
，
四边形是矩形，
，
，
故答案为：；
四边形是正方形，
，
是等腰直角三角形，
，
设，则，
，
当，时，矩形的面积最大，
即，
，点为的中点，
，
是等腰直角三角形，
设的内心到边的距离为，
，
故的内心到边的距离是，
故答案为：．
根据正方形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论；
根据正方形的性质得到，推出是等腰直角三角形，求得，设，则，根据二次函数的性质得到当，时，矩形的面积最大，求得，推出是等腰直角三角形，设的内心到边的距离为，根据切线的性质即可得到结论．
本题考查了三角形的内接圆与内心，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
 

20.【答案】解：在第Ⅰ区写的数是，则在第Ⅳ区写的数是，
答：在第Ⅰ区写的数是，在第Ⅳ区写的数是；
在第Ⅳ区写的数是，则在第Ⅱ区的数为，第Ⅲ区的数为，
所以第Ⅱ区与第Ⅲ区的差为；
当时，则，所以，
由于第Ⅲ区的数是第Ⅱ区数的，且两个区的数均为负数，
所以第Ⅲ区的数大．
 

【解析】根据各个区的数的关系进行计算即可；
根据各个区的数的关系列式计算即可；根据，判断的符号，进而判断的符号，再由各个区的数的关系得出答案．
本题考查科学记数法，掌握用科学记数法表示较小数的方法是解决问题的关键．
 

21.【答案】解：设每副围棋元，每副中国象棋元，
根据题意得：，
，
每副围棋元，每副中国象棋元，
则元，
答：购买副围棋与副中国象棋，需要元；

设购买围中国象棋副，则购买围棋副，
根据题意得：，
，
最多可以购买副围棋．
 

【解析】设每副围棋元，每副中国象棋元，根据副围棋与副中国象棋，共用了元，副围棋与副中国象棋，共用了元，分别得出等式，求解即可；
设购买围中国象棋副，则购买围棋副，根据题意得出不等式，即可求解．
本题考查二元一次方程组、一元一次不等式的应用；能够通过已知条件列出准确的方程组和不等式是解题的关键．
 

22.【答案】   
 

【解析】解：，，，，，，，
这组数据的众数是，中位数是，平均数是，
故答案为：，，；
人，
答：成绩在的总人数是人；
，
答：成绩在这一组所在扇形的圆心角的度数是；
分，
答：这名同学的平均成绩大约是分．
根据众数，中位数和平均数的定义解答即可；
用样本估计总体即可；
计算出人数所占的比例，再乘以即可；
按照加权平均数的计算方法计算即可．
本题考查频数分布直方图，熟练掌握平均数、众数和中位数的定义是解题关键．
 

23.【答案】解：与相切．
证明：连接，
，，
，
，
，
是的半径，
与相切；
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
在中，
，
，
图中阴影部分的面积．
 

【解析】连接，由等腰三角形的性质得到，由平行线的性质得到，可得与相切；
由相似三角形的判定证得∽，由相似三角形的性质求出，在中，由正切函数值求出，根据三角形的面积公式和扇形的面积公式即可求出图中阴影部分的面积．
本题考查了直线与圆的位置关系，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，等腰直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

24.【答案】解：令，则，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
轴，
设，
平行四边形的面积是，
，
，
，，
，
点在直线上，
，

即，，；

由知，，
直线的解析式为，
由知，，
反比例函数的解析式为，
联立解得，点的坐标或，
一次函数图象与反比例函数图象的另一个交点坐标为；

当直线过点时，，
，
当直线与第四象限的双曲线相切时，
，
，
，
舍或，
直线与四边形和反比例函数图象均无公共点时，．
 

【解析】令，则，所以，得到，利用平行四边形的性质求出，设，再利用平行四边形的面积是，列出方程得到，即可求出答案；
联立直线和双曲线的解析式求解，即可求出答案；
找出分界点，求出的值，即可得出结论．
此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的性质，直线与双曲线的交点的求法，找出分界点是解的关键．
 

25.【答案】解：将点，代入，
，
，
；
，
抛物线的对称轴为直线，
时，的值随的增大而减小，
；
设直线的解析式为，
，
，
，
设，，
，
当时，有最大值，
此时；
点，能三等分线段，理由如下：
由可得，
，
当时，的最小为，
，
时，，，
，
时，，，
，
点，三等分线段，
，
，
，
．
 

【解析】将点，代入，即可求解；
由题意可知时，的值随的增大而减小，则可求；
求出直线的解析式，设，，则，当时，有最大值，此时；
时，，，，时，，，，由，可求，则．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，灵活应用根与系数的关系是解题的关键．
 

26.【答案】解：如图中，过点作于点．

，，，
，
，
，
根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小，最小值为；

由题意，则，，，
直线平分的面积，
，
解得负根已经舍去．

如图中，过点作于点．

，，
，
直线，
，
，
，
，
，
；

如图中，，
点在射线上，
过点作于点，连接．

当时，，
，
整理得
或，
当时，点与点之间的距离小于．
 

【解析】如图中，过点作于点利用面积法求出，可得结论；
根据面积关系构建方程求解即可；
如图中，过点作于点证明，可得结论；
如图中，因为，所以点在射线上，过点作于点，连接求出时，的值，可得结论．
本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形，三角形的面积，垂线段最短等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．