2021中考数学真题知识点分类汇编-圆解答题3圆综合题（含答案）

这是一份2021中考数学真题知识点分类汇编-圆解答题3圆综合题（含答案），共103页。试卷主要包含了问题提出，求BC+CD的值，德国著名的天文学家开普勒说过，，垂足为H等内容，欢迎下载使用。

2021中考数学真题知识点分类汇编-圆解答题3圆综合题（含答案）

一．圆的综合题（共42小题）
1．（2021•陕西）问题提出：
（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD＝3，AC＝4．求BC+CD的值．
问题解决：
（2）有一个直径为30cm的圆形配件⊙O，如图2所示．现需在该配件上切割出一个四边形孔洞OABC，要求∠O＝∠B＝60°，并使切割出的四边形孔洞OABC的面积尽可能小，试问，请求出四边形OABC面积的最小值，及此时OA的长，请说明理由．


2．（2021•内江）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，且，交AB的延长线于点F，连结AD、OE交于点G．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积；
（3）连结BE，在（2）的条件下，求BE的长．

3．（2021•德州）已知⊙O为△ACD的外接圆，AD＝CD．
（1）如图1，延长AD至点B，使BD＝AD
①求证：△ABC为直角三角形；
②若⊙O的半径为4，AD＝5，求BC的值；
（2）如图2，若∠ADC＝90°，E为⊙O上的一点，E位于AC两侧，作△ADE关于AD对称的图形△ADQ，试猜想QA，QC

4．（2021•绵阳）如图，四边形ABCD是⊙O的内接矩形，过点A的切线与CD的延长线交于点M，AD＞1，CD＝1．
（1）求证：△DBC∽△AMD；
（2）设AD＝x，求△COM的面积（用x的式子表示）；
（3）若∠AOE＝∠COD，求OE的长．

5．（2021•潍坊）如图，半圆形薄铁皮的直径AB＝8，点O为圆心（不与A，B重合），连接AC并延长到点D，使AC＝CD，CB，AB于点E，F，H，记∠ABC＝θ，θ随点C的移动而变化．
（1）移动点C，当点H，O重合时；
（2）当θ＜45°时，求证：BH•AH＝DH•FH；
（3）当θ＝45°时，将扇形OAC剪下并卷成一个圆锥的侧面，求该圆锥的底面半径和高．

6．（2021•湘潭）德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话
如图①，点C把线段AB分成两部分，如果＝，那么称点C为线段AB的黄金分割点．

（1）特例感知：在图①中，若AB＝100，求AC的长；
（2）知识探究：如图②，作⊙O的内接正五边形；
①作两条相互垂直的直径MN、AI；
②作ON的中点P，以P为圆心，PA为半径画弧交OM于点Q；
③以点A为圆心，AQ为半径，在⊙O上连续截取等弧，连接AE；
则五边形ABCDE为正五边形．
在该正五边形作法中，点Q是否为线段OM的黄金分割点？请说明理由；
（3）拓展应用：国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，是一个非常优美的几何图形，与黄金分割有着密切的联系．
延长题（2）中的正五边形ABCDE的每条边，相交可得到五角星，点E是线段PD的黄金分割点，请利用题中的条件
7．（2021•遵义）点A是半径为2的⊙O上一动点，点B是⊙O外一定点，AB．
（1）【阅读感知】如图①，当△ABC是等边三角形时，连接OC；
将下列解答过程补充完整．
解：将线段OB绕点B顺时针旋转60°到O′B，连接OO′，CO′．
由旋转的性质知：∠OBO′＝60°，BO′＝BO＝6，即△OBO′是等边三角形．
∴OO′＝BO＝6
又∵△ABC是等边三角形
∴∠ABC＝60°，AB＝BC
∴∠OBO′＝∠ABC＝60°
∴∠OBA＝∠O′BC
在△OBA和△O′BC中，

∴　 　（SAS）
∴OA＝O′C
在△OO′C中，OC＜OO′+O′C
当O，O′，C三点共线，OC＝OO′+O′C
即OC≤OO′+O′C
∴当O，O′，C三点共线，OC取最大值，最大值是 　 　．
（2）【类比探究】如图②，当四边形ABCD是正方形时，连接OC；
（3）【理解运用】如图③，当△ABC是以AB为腰，顶角为120°的等腰三角形时，求OC的最小值，并直接写出此时△ABC的周长．

8．（2021•桂林）如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AE⊥DE于点E．点O是线段AE上的点，以点O为圆心，交BC于点F，连接OG．
（1）求证：△ECD∽△ABE；
（2）求证：⊙O与AD相切；
（3）若BC＝6，AB＝3，求⊙O的半径和阴影部分的面积．

9．（2021•广州）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝，y轴相交于A、B两点，点P（x，y）
（1）求A、B两点的坐标；
（2）设△PAO的面积为S，求S关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）作△PAO的外接圆⊙C，延长PC交⊙C于点Q，当△POQ的面积最小时

10．（2021•泰州）如图，在⊙O中，AB为直径，PA＝1，PB＝m（m为常数，且m＞0），Q为上一动点（与点B不重合），垂足为H．连接AD、BQ．
（1）若m＝3．
①求证：∠OAD＝60°；
②求的值；
（2）用含m的代数式表示，请直接写出结果；
（3）存在一个大小确定的⊙O，对于点Q的任意位置，都有BQ2﹣2DH2+PB2的值是一个定值，求此时∠Q的度数．

11．（2021•哈尔滨）已知⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，点N为AC的中点，连接BE，BE交AC于点D．
（1）如图1，求证：∠CDE+∠BAC＝135°；
（2）如图2，过点D作DG⊥BE，DG交AB于点F，连接OG，OD，求证：OG∥AC；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AG，求AG的长．

12．（2021•益阳）如图，在等腰锐角三角形ABC中，AB＝AC，延长BD交△ABC的外接圆于点E，过点A作AF⊥CE于F，BC的延长线交于点G．
（1）判断EA是否平分∠DEF，并说明理由；
（2）求证：①BD＝CF；
②BD2＝DE2+AE•EG．

13．（2021•烟台）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）请按如下要求完成尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）．
①作∠BAC的角平分线AD，交BC于点D；
②作线段AD的垂直平分线EF与AB相交于点O；
③以点O为圆心，以OD长为半径画圆，交边AB于点M．
（2）在（1）的条件下，求证：BC是⊙O的切线；
（3）若AM＝4BM，AC＝10，求⊙O的半径．

14．（2021•黄石）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，连接OP，交⊙O于点D
（1）求证：BC∥OP；
（2）若E恰好是OD的中点，且四边形OAPB的面积是16，求阴影部分的面积；
（3）若sin∠BAC＝，且AD＝2，求切线PA的长．

15．（2021•枣庄）如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，连接BD，CD
（1）求证：DP∥BC；
（2）求证：△ABD∽△DCP；
（3）当AB＝5cm，AC＝12cm时，求线段PC的长．

16．（2021•呼和浩特）已知AB是⊙O的任意一条直径．
（1）用图1，求证：⊙O是以直径AB所在直线为对称轴的轴对称图形；
（2）已知⊙O的面积为4π，直线CD与⊙O相切于点C，过点B作BD⊥CD，如图2．
求证：①BC2＝2BD；
②改变图2中切点C的位置，使得线段OD⊥BC时，OD＝2．

17．（2021•大庆）如图，已知AB是⊙O的直径．BC是⊙O的弦，弦ED垂直AB于点F
（1）求证：PC＝PG；
（2）判断PG2＝PD•PE是否成立？若成立，请证明该结论；
（3）若G为BC中点，OG＝，sinB＝

18．（2021•永州）如图1，AB是⊙O的直径，点E是⊙O上一动点，B两点重合，∠EAB的平分线交⊙O于点C，交AE的延长线于点D．

（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求证：AC2＝2AD•AO；
（3）如图2，原有条件不变，连接BE，延长AB至点M，∠EBM的平分线交AC的延长线于点P，总有∠P＝∠Q．
19．（2021•包头）如图，已知△ABC是等边三角形，P是△ABC内部的一点，CP．
（1）如图1，以BC为直径的半圆O交AB于点Q，交AC于点R上时，连接AP，CD＝AP，连接DP；
（2）如图2，E是BC边上一点，且EC＝3BE，连接EP并延长，交AC于点F，若，求证：4EF＝3AB；
（3）如图3，M是AC边上一点，当AM＝2MC时，AB＝6a，MP＝a1，△BCP的面积为S2，求S1﹣S2的值（用含a的代数式表示）．

20．（2021•绥化）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若弦MN垂直于AB，垂足为G，，MN＝；
（3）在（2）的条件下，当∠BAC＝36°时

21．（2021•广东）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，点E、F分别在线段BC、AD上，AB＝AF，CD＝DF．
（1）求证：CF⊥FB；
（2）求证：以AD为直径的圆与BC相切；
（3）若EF＝2，∠DFE＝120°，求△ADE的面积．

22．（2021•柳州）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝1，DC＝，AD为半径作圆，延长CD交⊙A于点F，连结BF，交DE于点G．
（1）求证：BC为⊙A的切线；
（2）求cos∠EDF的值；
（3）求线段BG的长．

23．（2021•宜宾）如图1，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若tan∠ADC＝，AC＝2，求⊙O的半径；
（3）如图2，在（2）的条件下，∠ADB的平分线DE交⊙O于点E，连结BE．求sin∠DBE的值．

24．（2021•广西）如图，已知AD，EF是⊙O的直径，⊙O与▱OABC的边AB，OC分别交于点E，M，与AF的延长线交于点G，∠AFE＝∠OCD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若GF＝1，求cos∠AEF的值；
（3）在（2）的条件下，若∠ABC的平分线BH交CO于点H，求的值．

25．（2021•北京）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于点A和线段BC，给出如下定义：若将线段BC绕点A旋转可以得到⊙O的弦B′C′（B′，C′分别是B，C的对应点）
（1）如图，点A，B1，C1，B2，C2，B3，C3的横、纵坐标都是整数．在线段B1C1，B2C2，B3C3中，⊙O的以点A为中心的“关联线段”是 　 　；
（2）△ABC是边长为1的等边三角形，点A（0，t），其中t≠0．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”；
（3）在△ABC中，AB＝1，AC＝2．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，以及相应的BC长．

26．（2021•南京）在几何体表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？
（1）如图①，圆锥的母线长为12cm，B为母线OC的中点，的长为4πcm．在图②所示的圆锥的侧面展开图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径，并标出它的长（结果保留根号）．

（2）图③中的几何体由底面半径相同的圆锥和圆柱组成．O是圆锥的顶点，点A在圆柱的底面圆周上，设圆锥的母线长为l
①蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径的长为 　 　（用含l，h的代数式表示）．
②设的长为a，点B在母线OC上，在图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径的示意图，并写出求最短路径的长的思路．

27．（2021•衢州）如图1，点C是半圆O的直径AB上一动点（不包括端点），AB＝6cm，连结AD，过点C作CE∥AD交半圆于点E，记AC＝xcm，EC＝y1cm，EB＝y2cm．请你一起参与探究函数y1、y2随自变量x变化的规律．
通过几何画板取点、画图、测量，得出如下几组对应值，并在图2中描出了以各对对应值为坐标的点
x
…
0.30
0.80
1.60
2.40
3.20
4.00
4.80
5.60
…
y1
…
2.01
2.98
3.46
3.33
2.83
2.11
1.27
0.38
…
y2
…
5.60
4.95
3.95
2.96
2.06
1.24
0.57
0.10
…
（1）当x＝3时，y1＝　 　．
（2）在图2中画出函数y2的图象，并结合图象判断函数值y1与y2的大小关系．
（3）由（2）知“AC取某值时，有EC＝EB”．如图3，尝试通过计算EC，EB的长来验证这一结论

28．（2021•随州）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．它是利用“同一个图形的面积相等”、“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形面积相等”等性质解决有关数学问题，在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，解题过程简便快捷．
（1）在直角三角形中，两直角边长分别为3和4，则该直角三角形斜边上的高的长为 　 　，其内切圆的半径长为 　 　；
（2）①如图1，P是边长为a的正△ABC内任意一点，点O为△ABC的中心1，h2，h3，连接AP，BP，CP，易知a（h1+h2+h3）＝S△ABC＝3S△OAB，可得h1+h2+h3＝　 　；（结果用含a的式子表示）

②如图2，P是边长为a的正五边形ABCDE内任意一点，设点P到五边形ABCDE各边距离分别为h1，h2，h3，h4，h5，参照①的探索过程，试用含a的式子表示h1+h2+h3+h4+h5的值．（参考数据：tan36°≈，tan54°≈）
（3）①如图3，已知⊙O的半径为2，点A为⊙O外一点，AB切⊙O于点B，弦BC∥OA，则图中阴影部分的面积为 　 　；（结果保留π）
②如图4，现有六边形花坛ABCDEF，由于修路等原因需将花坛进行改造，其中点G在AF的延长线上，且要保证改造前后花坛的面积不变，并说明理由
29．（2021•宜昌）如图，在菱形ABCD中，O是对角线BD上一点（BO＞DO），垂足为E，以OE为半径的⊙O分别交DC于点H，EF与DC交于点G．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若G是OF的中点，OG＝2，DG＝1．
①求的长；
②求AD的长．

30．（2021•长沙）如图，点O为以AB为直径的半圆的圆心，点M，点P，Q在上，点C在上运动（点C与点P，Q不重合），连接AC交MQ于点E，连接OQ．
（1）求sin∠AOQ的值；
（2）求的值；
（3）令ME＝x，QD＝y，直径AB＝2R（R＞0，R是常数），并指明自变量x的取值范围．

31．（2021•株洲）如图所示，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上不同的两点，若OC＝3CE，且9（EF2﹣CF2）＝OC2．
（1）求证：直线CF是⊙O的切线；
（2）连接OD、AD、AC、DC，若∠COD＝2∠BOC．
①求证：△ACD∽△OBE；
②过点E作EG∥AB，交线段AC于点G，点M为线段AC的中点，求线段MG的长度．

32．（2021•上海）如图，在圆O中，弦AB等于弦CD，其中E、F为AB、CD中点．
（1）证明：OP⊥EF；
（2）连接AF、AC、CE，若AF∥OP，证明：四边形AFEC为矩形．

33．（2021•宁波）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，BD为直径，，满足＝，连结BE并延长交CD的延长线于点F
（1）若∠DBC＝α，请用含α的代数式表示∠AGB．
（2）如图2，连结CE，CE＝BG．求证：EF＝DG．
（3）如图3，在（2）的条件下，连结CG
①若tan∠ADB＝，求△FGD的周长．
②求CG的最小值．

34．（2021•台州）如图，BD是半径为3的⊙O的一条弦，BD＝4（不与点B，D重合），以A，B，D为顶点作▱ABCD．
（1）如图2，若点A是劣弧BD的中点．
①求证：▱ABCD是菱形；
②求▱ABCD的面积．
（2）若点A运动到优弧BD上，且▱ABCD有一边与⊙O相切．
①求AB的长；
②直接写出▱ABCD对角线所夹锐角的正切值．

35．（2021•江西）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AD为直径，连接AC．
（1）求证：∠CAD＝∠ECB；
（2）若CE是⊙O的切线，∠CAD＝30°，连接OC
①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由；
②当AB＝2时，求AD，AC与

36．（2021•扬州）在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：
已知线段BC＝2，使用作图工具作∠BAC＝30°，尝试操作后思考：
（1）这样的点A唯一吗？
（2）点A的位置有什么特征？你有什么感悟？
“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以BC为弦的圆弧上（点B、C除外），…．小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）．
（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决．
①该弧所在圆的半径长为 　 　；
②△ABC面积的最大值为 　 　；
（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，请你利用图1证明∠BA′C＞30°．
（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，BC＝3，点P在直线CD的左侧．
①线段PB长的最小值为 　 　；
②若S△PCD＝S△PAD，则线段PD长为 　 　．

37．（2021•温州）如图，在平面直角坐标系中，⊙M经过原点O（2，0），B（0，8），连结AB．直线CM分别交⊙M于点D，E（点D在左侧），交x轴于点C（17，0）
（1）求⊙M的半径和直线CM的函数表达式；
（2）求点D，E的坐标；
（3）点P在线段AC上，连结PE．当∠AEP与△OBD的一个内角相等时，求所有满足条件的OP的长．

38．（2021•泰安）如图1，O为半圆的圆心，C、D为半圆上的两点，且＝，与BD的延长线相交于点E．
（1）求证：CD＝ED；
（2）AD与OC，BC分别交于点F，H．
①若CF＝CH，如图2，求证：CF•AF＝FO•AH；
②若圆的半径为2，BD＝1，如图3

39．（2021•金华）在扇形AOB中，半径OA＝6，点P在OA上，将△OBP沿PB折叠得到△O′BP．
（1）如图1，若∠O＝75°，且BO′与
①求∠APO′的度数．
②求AP的长．
（2）如图2，BO′与相交于点D的中点，且PD∥OB，求

40．（2021•成都）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，BC，D为AB延长线上一点，且∠BCD＝∠A．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为，△ABC的面积为2，求CD的长；
（3）在（2）的条件下，E为⊙O上一点，若＝，求BF的长．

41．（2021•遂宁）如图，⊙O的半径为1，点A是⊙O的直径BD延长线上的一点，AD＝CD，∠A＝30°．
（1）求证：直线AC是⊙O的切线；
（2）求△ABC的面积；
（3）点E在上运动（不与B、D重合），过点C作CE的垂线
①当点E运动到与点C关于直径BD对称时，求CF的长；
②当点E运动到什么位置时，CF取到最大值，并求出此时CF的长．

42．（2021•自贡）如图，点D在以AB为直径的⊙O上，过D作⊙O的切线交AB延长线于点C，交⊙O于点F，连接AD
（1）求证：∠DAE＝∠DAC；
（2）求证：DF•AC＝AD•DC；
（3）若sin∠C＝，AD＝4，求EF的长．


参考答案与试题解析
一．圆的综合题（共42小题）
1．（2021•陕西）问题提出：
（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD＝3，AC＝4．求BC+CD的值．
问题解决：
（2）有一个直径为30cm的圆形配件⊙O，如图2所示．现需在该配件上切割出一个四边形孔洞OABC，要求∠O＝∠B＝60°，并使切割出的四边形孔洞OABC的面积尽可能小，试问，请求出四边形OABC面积的最小值，及此时OA的长，请说明理由．


【解析】解：（1）如图1，

∵∠BCD＝∠BAD＝90°，AD＝AB，
∴∠B+∠ADC＝180°，
∴可以将△ABC绕A点逆时针旋转90°得△ADE，
∴∠ADE＝∠B，AE＝AC，
∴∠ADE+∠ADC＝180°，
∴C、D、E在同一条直线上，
∴CD+DE＝CE＝＝7；
（2）如图2，

连接OB，
∵∠AOC＝60°，OA＝OC，
∴将△AOB绕O点顺时针旋转60°至△COE，连接BE，
∴∠BOE＝60°，OE＝OB，
∴△BOE是等边三角形，
∴BE＝OB＝15，∠BEO＝60°，
∴∠CBE+∠CEB＝60°，
∴∠BCE＝120°，
∵S四边形OABC＝S△AOB+S△BCO＝S△COE+S△BCO
＝S△BOE﹣S△BCE
＝﹣S△BCE，
∴要使四边形OABC的面积最小，就要使△BCE的面积最大，
作正△BEF，作它的外接圆⊙I，
当C与C′重合时，S△BCE最大，
S△BCE最大＝×15×（，
∴S四边形OABC最小＝，
此时OA＝OC＝＝＝5．
2．（2021•内江）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，且，交AB的延长线于点F，连结AD、OE交于点G．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积；
（3）连结BE，在（2）的条件下，求BE的长．

【解析】（1）证明：如图，连接OD，

∵＝，
∴∠CAD＝∠DAB，
∵OA＝OD，
∴∠DAB＝∠ODA，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴OD∥AE，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵OD∥AE，
∴△OGD∽△EGA，
∴＝，
∵＝，⊙O的半径为5，
∴＝，
∴AE＝3，
如图，连接BD，

∵AB是⊙O的直径，DE⊥AE，
∴∠AED＝∠ADB＝90°，
∵∠CAD＝∠DAB，
∴△AED∽△ADB，
∴＝，
即＝，
∴AD＝2，
在Rt△ADB中，cos∠DAB＝＝，
∴∠DAB＝30°，
∴∠EAF＝60°，∠DOB＝60°，
∴∠F＝30°，
∵OD＝2，
∴DF＝＝＝2，
∴S阴影＝S△DOF﹣S扇形DOB＝×2×8﹣﹣；
（3）如图，过点E作EM⊥AB于点M，

在Rt△AEM中，AM＝AE•cos60°＝3×＝，
∴MB＝AB﹣AM＝7﹣＝，
∴BE＝＝＝．
3．（2021•德州）已知⊙O为△ACD的外接圆，AD＝CD．
（1）如图1，延长AD至点B，使BD＝AD
①求证：△ABC为直角三角形；
②若⊙O的半径为4，AD＝5，求BC的值；
（2）如图2，若∠ADC＝90°，E为⊙O上的一点，E位于AC两侧，作△ADE关于AD对称的图形△ADQ，试猜想QA，QC

【解析】证明：（1）①∵AD＝CD，BD＝AD，
∴DB＝DC．
∴DC＝AB．
∴△ABC为直角三角形；
解：②连接OA，OD，

∵AD＝CD，
∴，
∴OD⊥AC且AH＝CH．
∵⊙O的半径为3，
∴OA＝OD＝4．
设DH＝x，则OH＝4﹣x，
∵AH8＝OA2﹣OH2，
AH7＝AD2﹣DH2，
∴22﹣x2＝62﹣（4﹣x）7．
解得：x＝．
∴DH＝．
由①知：BC⊥AC，
∵OD⊥AC，
∴OD∥BC．
∵AH＝CH，
∴BC＝2DH＝．
（2）QA，QC2＝5QD2+QA2．理由：
延长QA交⊙O于点F，连接DF，如图，

∵∠ADC＝90°，AD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA＝45°．
∴∠DFA＝∠E＝∠DCA＝45°，∠DFC＝∠DAC＝45°．
∴∠QFC＝∠AFD+∠DFC＝90°．
∴QC2＝QF2+CF2．
∵△ADQ与△ADE关于AD对称，
∴∠DQA＝∠E＝45°，
∴∠DQA＝∠DFA＝45°，
∴DQ＝DF．
∴∠QDF＝180°﹣∠DQA﹣∠QFD＝90°．
∴DQ5+DF2＝QF2．
即QF2＝2DQ2．
∵∠QDF＝∠ADC＝90°，
∴∠QDA＝∠CDF．
在△QDA和△FDC中，
，
∴△QDA≌△FDC（AAS）．
∴QA＝FC．
∴QC4＝2QD2+QA4．
4．（2021•绵阳）如图，四边形ABCD是⊙O的内接矩形，过点A的切线与CD的延长线交于点M，AD＞1，CD＝1．
（1）求证：△DBC∽△AMD；
（2）设AD＝x，求△COM的面积（用x的式子表示）；
（3）若∠AOE＝∠COD，求OE的长．

【解析】解：如图1，

（1）∵AM是⊙O的切线，
∴OA⊥AM，
∴∠CAM＝90°，
∴∠MAD+∠DAC＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，
∴∠BAC+∠DAC＝90°，
∴∠MAD＝∠BAC，
对于：
∠BAC＝∠BDC，
∴∠MAD＝∠BDC，
又∠MDA＝∠BCD＝90°，
∴△DBC∽△AMD；
（2）如图2，

取CD的中点N，连接ON，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝CO，
∴ON∥AD，ON＝，
∴∠CNO＝∠ADC＝90°，
∴ON⊥CM，
由（1）知：△DBC∽△AMD，
∴＝，
∴DM＝＝x2，
∴CM＝DM+CD＝x3+1，
∴S△COM＝CM•ON＝2+1）•
＝；
（3）如图7，

作DF⊥AC于F，延长DB交MA的延长线于G
在Rt△ADC中，AD＝x，
∴AC＝，
∴OD＝OC＝AC＝
DF＝，
CF＝＝，
∴OF＝OC﹣CF＝，
∵DF∥AG，
∴△DOF∽△GOA，
∴＝，
∴AG＝＝＝
＝，
∴AG2＝，
在Rt△ACM中，由射影定理得，
AM2＝DM•MC＝x7（x2+1），
∵∠AOE＝∠COD，
∠AOG＝∠COD，
∴∠AOE＝∠AOG，
∵OA＝OA，
∠OAM＝∠OAG，
∴△AOM≌△AOG（ASA），
∴AG＝AM，
∴＝x2（x2+1），
∴x5＝，x2＝﹣（舍去），
∴AD＝，OD＝，
DF＝＝，
OF＝，
作EH⊥OA于H，设OE＝a，
∴EH＝OE•sin∠AOE＝a•sin∠DOF
＝a•＝a，
∴OH＝a，
AH＝＝＝a•＝a，
由AH+OH＝OA得，
a+＝，
∴a＝，
即：OE＝．
5．（2021•潍坊）如图，半圆形薄铁皮的直径AB＝8，点O为圆心（不与A，B重合），连接AC并延长到点D，使AC＝CD，CB，AB于点E，F，H，记∠ABC＝θ，θ随点C的移动而变化．
（1）移动点C，当点H，O重合时；
（2）当θ＜45°时，求证：BH•AH＝DH•FH；
（3）当θ＝45°时，将扇形OAC剪下并卷成一个圆锥的侧面，求该圆锥的底面半径和高．

【解析】解：（1）当点H，O重合时，连接OC，

∵AC＝CD，
∴OC是直角三角形斜边上的中线，
∴OC＝AD，
又∵OC＝OA，
即OA＝AD，
∴∠D＝30°，
又∵∠D+∠DAO＝90°，∠ABC+∠DAO＝90°，
∴∠ABC＝∠D＝30°，
∴sinθ＝；
（2）∵∠DCB＝∠DHB＝∠ACB＝90°，
由（1）知∠ABC＝∠D，
∴△BHF∽△DCF∽△DHA，
∴BH：DC：DH＝HF：CF：HA，
∴BH•AH＝DH•FH；
（3）当θ＝45°时，∠AOC＝90°，
∴的长＝，
即圆锥的底面周长为3π，
∴圆锥的底面半径r＝＝8，
∵圆锥的母线＝OA＝4，
∴圆锥的高h＝＝＝，
即圆锥的底面半径和高分别为1和．
6．（2021•湘潭）德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话
如图①，点C把线段AB分成两部分，如果＝，那么称点C为线段AB的黄金分割点．

（1）特例感知：在图①中，若AB＝100，求AC的长；
（2）知识探究：如图②，作⊙O的内接正五边形；
①作两条相互垂直的直径MN、AI；
②作ON的中点P，以P为圆心，PA为半径画弧交OM于点Q；
③以点A为圆心，AQ为半径，在⊙O上连续截取等弧，连接AE；
则五边形ABCDE为正五边形．
在该正五边形作法中，点Q是否为线段OM的黄金分割点？请说明理由；
（3）拓展应用：国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，是一个非常优美的几何图形，与黄金分割有着密切的联系．
延长题（2）中的正五边形ABCDE的每条边，相交可得到五角星，点E是线段PD的黄金分割点，请利用题中的条件
【解析】解：（1）根据黄金分割点的意义，
得＝，
∵AB＝100，
∴AC＝50﹣50；
（2）Q是线段OM的黄金分割点，理由如下：
设⊙O的半径为r，则OP＝r，
∴PQ＝AP＝＝r，
∴OQ＝QP﹣OP＝r﹣r，MQ＝OM﹣OQ＝r﹣r，
∴＝＝＝＝，
即Q是线段OM的黄金分割点；
（3）如图③，作PH⊥AE于H，
由题可知，AH＝HE，
∵正五边形的每个内角都为（5﹣2）×180°÷5＝108°，
∴∠PEH＝180°﹣108°＝72°，
即cos∠PEH＝cos72°＝，
∵点E是线段PD的黄金分割点，
∴＝，
又∵DE＝AE，HE＝AH＝，
∴cos72°＝＝＝×＝×＝．

7．（2021•遵义）点A是半径为2的⊙O上一动点，点B是⊙O外一定点，AB．
（1）【阅读感知】如图①，当△ABC是等边三角形时，连接OC；
将下列解答过程补充完整．
解：将线段OB绕点B顺时针旋转60°到O′B，连接OO′，CO′．
由旋转的性质知：∠OBO′＝60°，BO′＝BO＝6，即△OBO′是等边三角形．
∴OO′＝BO＝6
又∵△ABC是等边三角形
∴∠ABC＝60°，AB＝BC
∴∠OBO′＝∠ABC＝60°
∴∠OBA＝∠O′BC
在△OBA和△O′BC中，

∴　△OBA≌△O′BC　（SAS）
∴OA＝O′C
在△OO′C中，OC＜OO′+O′C
当O，O′，C三点共线，OC＝OO′+O′C
即OC≤OO′+O′C
∴当O，O′，C三点共线，OC取最大值，最大值是 　　．
（2）【类比探究】如图②，当四边形ABCD是正方形时，连接OC；
（3）【理解运用】如图③，当△ABC是以AB为腰，顶角为120°的等腰三角形时，求OC的最小值，并直接写出此时△ABC的周长．

【解析】解：（1）将线段OB绕点B顺时针旋转60°到O′B，连接OO′．
由旋转的性质知：∠OBO′＝60°，BO′＝BO＝6，
∴OO′＝BO＝6，
又∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，AB＝BC，
∴∠OBO′＝∠ABC＝60°，
∴∠OBA＝∠O′BC，
在△OBA和△O′BC中，
，
∴△OBA≌△O′BC（SAS），
∴OA＝O′C，
在△OO′C中，OC＜OO′+O′C，
当O，O′，且点C在OO′的延长线上时，
即OC≤OO′+O′C，
∴当O，O′，且点C在OO′的延长线上时，OC的最大值为．
故答案为：△OBA≌△O′BC，．

（2）如图②﹣8中，作以OB为边的正方形OBC1D1，连接OC2，C1C，

∵四边形OBC1D7是正方形，
∴OB＝BC1＝6，∠OBC4＝90°，
∴，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BA＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠OBC1＝∠ABC，
∴∠OBA＝∠C6BC，
在△OBA和△C1BC中，
，
∴△OBA≌△C1BC（SAS），
∴，
在△OCC1中，根据“三角形两边之差小于第三边”，得，
当O，C4，C三点共线，且点C1在OC的延长线上时，，
即OC1﹣CC3≤OC，
∴当O，C1，C三点共线，且点C1在OC的延长线上时，OC取最小值．
OC取最小值的图象如下所示：

（3）如下图，作以OB为腰，顶角为120°的等腰△OBC2，连接OC2，C7C，过点B作BB2⊥OC2于点B6，

∵OB＝BC2＝6，∠OBC8＝120°，
∴∠BOC2＝∠OC2B＝30°，
∵BB2⊥OC2，
∴，OB2＝B2C2，
在Rt△C7BB2中，，
∴，
∵∠ABC＝∠OBC2＝120°，
∴∠OBA＝∠C6BC，
在△OBA和△C2BC中，
，
∴△OBA≌△C2BC（SAS），
∴，
在△OCC2中，根据“三角形两边之差小于第三边”，得，即，
当O，C2，C三点共线，且点C5在OC的延长线上时，即OC5﹣CC2≤OC，
∴当O，C2，C三点共线，且点C3在OC的延长线上时，OC取最小值，
当OC取最小值时的图象如如图③﹣2中，此时过点B作BB3⊥AC于点B2，且延长OA于点O3，使得BO3⊥OO7，

∵∠BOC2＝∠OC2B＝30°，
又∵△OBA≌△C7BC，
∴∠AOB＝∠CC2B＝∠OC2B＝30°，
在Rt△OBO4中，OB＝63OB＝∠AOB＝30°，
∴BO5＝OB•sin30°＝6×＝33＝OB•cos30°＝3×＝4，
∵，
∴，
在Rt△ABO3中，，
∵BA＝BC，∠ABC＝120°，
∴，
∵BB4⊥AC，
∴以及AB7＝B3C，
在Rt△ABB3中，，
∴AC＝AB3+B3C＝AB3+AB7＝6，
∴△ABC的周长为．
8．（2021•桂林）如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AE⊥DE于点E．点O是线段AE上的点，以点O为圆心，交BC于点F，连接OG．
（1）求证：△ECD∽△ABE；
（2）求证：⊙O与AD相切；
（3）若BC＝6，AB＝3，求⊙O的半径和阴影部分的面积．

【解析】证明：（1）∵AE⊥DE，
∴∠AED＝90°，
∴∠DEC+∠AEB＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠CDE+∠DEC＝90°，
∴∠AEB＝∠CDE，
∵∠B＝∠C，
∴△ECD∽△ABE；
（2）延长DE、AB交于点P，

∵E为BC的中点，
∴CE＝BE，
在△DCE和△PBE中，
，
∴△DCE≌△PBE（ASA），
∴DE＝PE，
∵AE⊥DP，
∴AE垂直平分DP，
∴AD＝AP，
∴∠DAO＝∠GAO，
∵OH⊥AD，OG⊥AB，
∴OH＝OG，
∴⊙O与AD相切；
（3）如图，连接OF，

在Rt△ABE中，∵BC＝6，
∴tan∠AEB＝，
∴∠AEB＝60°，
∴△OEF是等边三角形，
∴AE＝2BE＝6，
设半径为r，
∴AO＝6OG，
∴6﹣r＝2r，
∴r＝4，
∵∠GOF＝180°﹣∠EOF﹣∠AOG＝60°，
∴S阴影＝＝．
9．（2021•广州）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝，y轴相交于A、B两点，点P（x，y）
（1）求A、B两点的坐标；
（2）设△PAO的面积为S，求S关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）作△PAO的外接圆⊙C，延长PC交⊙C于点Q，当△POQ的面积最小时

【解析】解：（1）∵直线y＝x+8分别与x轴、B两点，
∴当x＝0时，y＝4；
当y＝6时，x＝﹣8，
∴A（﹣8，6），4）；
（2）∵点P（x，y）为直线l在第二象限的点，
∴P（x，），
∴S△APO＝＝2x+16（﹣4＜x＜0）；
∴S＝2x+16（﹣4＜x＜0）；
（3）∵A（﹣8，6），4），
∴OA＝8，OB＝7，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
AB＝，
在⊙C中，∵PQ是直径，
∴∠POQ＝90°，
∵∠BAO＝∠Q，
∴tanQ＝tan∠BAO＝，
∴，
∴OQ＝2OP，
∴S△POQ＝，
∴当S△POQ最小时，则OP最小，
∵点P在线段AB上运动，
∴当OP⊥AB时，OP最小，
∴S△AOB＝，
∴，
∵sinQ＝sin∠BAO，
∴，
∴，
∴PQ＝8，
∴⊙C半径为4．
10．（2021•泰州）如图，在⊙O中，AB为直径，PA＝1，PB＝m（m为常数，且m＞0），Q为上一动点（与点B不重合），垂足为H．连接AD、BQ．
（1）若m＝3．
①求证：∠OAD＝60°；
②求的值；
（2）用含m的代数式表示，请直接写出结果；
（3）存在一个大小确定的⊙O，对于点Q的任意位置，都有BQ2﹣2DH2+PB2的值是一个定值，求此时∠Q的度数．

【解析】解：（1）①连接OD，如图：

∵m＝3即PB＝3，AP＝2，
∴AB＝AP+PB＝4，
∴OA＝OD＝AB＝2，
∴OP＝OA﹣AP＝1＝AP，
∴P是OA中点，
又CD⊥AB，
∴CD是OA的垂直平分线，
∴AD＝OD＝OA＝4，即△AOD是等边三角形，
∴∠OAD＝60°；
②连接AQ，如图：

∵AB是⊙O直径，
∴∠AQB＝90°，
∵AH⊥DQ，
∴∠AHD＝90°，
∴∠AQB＝∠AHD，
∵＝，
∴∠ADH＝∠ABQ，
∴△ADH∽△ABQ，
∴＝，
由①知：AB＝4，AD＝2，
∴＝7；
（2）连接AQ、BD

∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADB＝∠APD，
又∠PAD＝∠DAB，
∴△APD∽△ADB，
∴＝，
∵AP＝1，PB＝m，
∴AB＝1+m，＝，
∴AD＝，
与（1）中②同理，可得：＝，
∴＝＝；
（3）由（2）得＝，
∴BQ＝•DH2＝（4+m）•DH2，
∴BQ2﹣2DH2+PB2＝（5+m）•DH2﹣2DH8+m2＝（m﹣1）•DH7+m2，
若BQ2﹣8DH2+PB2是定值，则（m﹣3）•DH2+m2的值与DH无关，
∴当m＝6时，BQ2﹣2DH5+PB2的定值为1，此时P与O重合

∵AB⊥CD，OA＝OD＝3，
∴△AOD是等腰直角三角形，
∴∠OAD＝45°，
∵＝，
∴∠BQD＝45°，
故存在半径为1的⊙O，对Q的任意位置2﹣5DH2+PB2是定值7，此时∠BQD为45°．
11．（2021•哈尔滨）已知⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，点N为AC的中点，连接BE，BE交AC于点D．
（1）如图1，求证：∠CDE+∠BAC＝135°；
（2）如图2，过点D作DG⊥BE，DG交AB于点F，连接OG，OD，求证：OG∥AC；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AG，求AG的长．

【解析】（1）证明：如图1，过点O作OP⊥BC，连接AP交BE于Q，

∴＝，
∴∠BAP＝∠CAP，
∵点N为AC的中点，
∴＝，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∴∠BAC+∠ABC＝90°，
∴∠QAB+∠QBA＝×90°＝45°，
∴∠AQB＝∠EQP＝135°，
△AQD中，∠EQP＝∠CAP+∠ADQ＝135°，
∴∠CDE+∠BAC＝135°；
（2）证明：在△DGO和△DBO中，
，
∴△DGO≌△DBO（SSS），
∴∠ABD＝∠DGO，
∵DG⊥BE，
∴∠GDB＝90°，
∴∠ADG+∠BDC＝90°，
∵∠BDC+∠CBE＝90°，
∴∠ADG＝∠CBE＝∠ABD＝∠DGO，
∴OG∥AD；
（3）解：如图2，过点G作GK⊥AC于K，

由（2）知：OG∥AC，
∴GH∥AC，
∴∠OHB＝∠C＝90°，
∴OH⊥BC，
∴BH＝CH，
∵∠K＝∠C＝∠OHC＝90°，
∴四边形GHCK是矩形，
∴CH＝GK，
设GK＝y，则BC＝2y，
由（2）知：∠ADG＝∠DBC，
在△GKD和△DCB中，
，
∴△GKD≌△DCB（AAS），
∴GK＝DC＝y，
∵OE∥BC，
∴∠E＝∠DBC，
∴tan∠DBC＝tanE，
∴，即＝，
∴EN＝，
∴AN＝CN＝y+，ON＝y，
由勾股定理得：AO8＝ON2+AN2，
∴（y+）3＝y2+（y+）2，
解得：y4＝﹣（舍），y2＝，
∴AG＝＝＝8．
12．（2021•益阳）如图，在等腰锐角三角形ABC中，AB＝AC，延长BD交△ABC的外接圆于点E，过点A作AF⊥CE于F，BC的延长线交于点G．
（1）判断EA是否平分∠DEF，并说明理由；
（2）求证：①BD＝CF；
②BD2＝DE2+AE•EG．

【解析】解：（1）EA平分∠DEF，理由如下：
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
又∵∠ACB＝∠AEB，
∴∠ABC＝∠AEB
∵∠ABC+∠AEC＝180°，∠AEF+∠AEC＝180°，
∴∠ABC＝∠AEF，
∴∠AEB＝∠AEF，
∴EA平分∠DEF，
（2）①由（1）知：EA平分∠DEF，
∵BD⊥AC，AF⊥CE，
∴AD＝AF，
在Rt△ABD和Rt△ACF中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△ACF（HL），
∴BD＝CF，

②由（1）知，∠AEB＝∠AEF，
∵∠AEF＝∠CEG，
∴∠AEB＝∠CEG，
∵∠BAE+∠BCE＝180°，∠BCE+∠ECG＝180°，
∴∠BAE＝∠ECG，
∴△AEB∽△CEG，
∴，
∴BE•CE＝AE•EG，
∴BD2﹣DE2＝（BD+DE）（BD﹣DE）＝BE（CF﹣EF）＝BE•CE，
∴BD7﹣DE2＝AE•EG，
即BD2＝DE8+AE•EG．

13．（2021•烟台）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）请按如下要求完成尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）．
①作∠BAC的角平分线AD，交BC于点D；
②作线段AD的垂直平分线EF与AB相交于点O；
③以点O为圆心，以OD长为半径画圆，交边AB于点M．
（2）在（1）的条件下，求证：BC是⊙O的切线；
（3）若AM＝4BM，AC＝10，求⊙O的半径．

【解析】解：（1）如图所示，

①以A为圆心，以任意长度为半径画弧、AB相交，以大于两点之间距离的一半为半径画弧相交于∠BAC内部一点，与BC交于点D；
②分别以点A、点D为圆心AD长度为半径画圆，则EF为AD的垂直平分线；
③如图，⊙O与AB交于点M；
（2）证明：∵EF是AD的垂直平分线，且点O在EF上，
∴OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠OAD＝∠CAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC，
∵AC⊥BC，
∴OD⊥BC，
故BC是⊙O的切线．
（3）根据题意可知OM＝OA＝OD＝AM，
∴OM＝2BM，BO＝5BM，
∴＝＝，
由（2）可知Rt△BOD与Rt△BAC有公共角∠B，
∴Rt△BOD∽Rt△BAC，
∴＝，即＝，解得DO＝6，
故⊙O的半径为6．
14．（2021•黄石）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，连接OP，交⊙O于点D
（1）求证：BC∥OP；
（2）若E恰好是OD的中点，且四边形OAPB的面积是16，求阴影部分的面积；
（3）若sin∠BAC＝，且AD＝2，求切线PA的长．

【解析】（1）证明：∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，
∵OA＝OB，
∴OP⊥AB，
∵AC是直径，
∴∠ABC＝90°，
∴BC⊥AB，
∴BC∥OP.

（2）解：∵OE＝DE，AB⊥OD，
∴AO＝AD，
∵OA＝OD，
∴AD＝OA＝OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠AOD＝60°，
设OE＝m，则AE＝BE＝m，OP＝4m，
∵四边形OAPB的面积是16，
∴•OP•AB＝16，
∴×2m×2，
∴m＝2或﹣2（舍弃），
∴OE＝2，AB＝4，
∵OD⊥AB，
∴＝，
∴∠AOD＝∠BOD＝60°，
∴∠AOB＝2∠AOD＝120°，
∴S阴＝S扇形OAB﹣S△AOB＝﹣×4﹣4．

（3）解：在Rt△AOE中，sin∠CAB＝＝，
∴可以假设OE＝x，则OA＝OD＝2x，AE＝＝x，
在Rt△ADE中，AD2＝AE2+DE2，
∴（2）7＝（2x）4+（2x）2，
∴x＝5或﹣1（舍弃），
∴OE＝1，OA＝3，
∵PA是切线，
∴PA⊥OA，
∴∠OAP＝90°，
∴∠CAB+∠BAP＝90°，∠APO+∠PAE＝90°，
∴∠CAB＝∠APO，
∴sin∠APE＝sin∠CAB＝＝，
∴PA＝3AE＝6．

15．（2021•枣庄）如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，连接BD，CD
（1）求证：DP∥BC；
（2）求证：△ABD∽△DCP；
（3）当AB＝5cm，AC＝12cm时，求线段PC的长．

【解析】解：（1）连接OD，
∵DP是⊙O的切线，
∴DO⊥DP，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴＝，
∵BC是圆的直径，
∴∠BAC＝90°，
∴∠BAD＝45°，
∴∠BOD＝90°，
∴OD⊥BC，
∴DP∥BC；
（2）∵DP∥BC，
∴∠ACB＝∠P，
∵＝，
∴∠ACB＝∠ADB，
∴∠P＝∠ADB，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝45°，
∴∠CDP＝45°，
∴△ABD∽△DCP；
（3）∵AB＝5cm，AC＝12cm，
∴BC＝13cm，
在Rt△COD中，CD＝，
在Rt△BOD中，BD＝，
∵△ABD∽△DCP，
∴＝，
∴＝，
∴CP＝．

16．（2021•呼和浩特）已知AB是⊙O的任意一条直径．
（1）用图1，求证：⊙O是以直径AB所在直线为对称轴的轴对称图形；
（2）已知⊙O的面积为4π，直线CD与⊙O相切于点C，过点B作BD⊥CD，如图2．
求证：①BC2＝2BD；
②改变图2中切点C的位置，使得线段OD⊥BC时，OD＝2．

【解析】（1）证明：如图，设P是⊙O上点A，
过点P作PP′⊥AB，交⊙O于点P′，
若M与圆心O不重合，
连接OP，OP′，
在△OPP'中，
∵OP＝OP′，
∴△OPP'是等腰三角形，
又PP′⊥AB，
∴PM＝MP′，
则AB是PP'的垂直平分线，
若M与圆心O重合，显然AB是PP'的垂直平分线，
这就是说，对于圆上任意一点P，因此⊙O是以直径AB所在直线为对称轴的轴对称图形；

（2）①证明：设⊙O半径为r，
由πr2＝4π可得r＝7，
∴AB＝4，
连接AC，则∠BCA＝90°，

∵C是切点，连接OC，
∴OC⊥CD，
∵BD⊥CD，
∴OC∥BD，
∴∠OCB＝∠DBC，
而∠OCB＝∠OBC，
∴∠DBE＝∠OBC，
又∵∠BCA＝∠BDC＝90°，
∴△ACB∽△CDB，
∴，
∴BC2＝AB•BD＝7BD，
∴；
②证明：由①证明可知∠CBD＝∠OBC，与切点C的位置无关，

又OD⊥BC，
∴BD＝OB，
又∵△OCB是等腰三角形，
∴BC与OD互相垂直平分，
又∠BDC＝90°，
∴四边形BOCD是边长为2的正方形，
∴．
17．（2021•大庆）如图，已知AB是⊙O的直径．BC是⊙O的弦，弦ED垂直AB于点F
（1）求证：PC＝PG；
（2）判断PG2＝PD•PE是否成立？若成立，请证明该结论；
（3）若G为BC中点，OG＝，sinB＝

【解析】解：（1）连接OC，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵CP是⊙O的切线，
∴∠OCP＝90°，
∵弦ED垂直AB于点F，AB是⊙O的直径，
∴∠GFB＝90°，
∵∠FGB+∠FBG＝90°，∠OCB+∠BCP＝90°，
∴∠FGB＝∠PCG，
∵∠FGB＝∠PGC，
∴∠PCG＝∠PGC，
∴PC＝PG；
（2）如图1，连接EC，
∵ED⊥AB，AB是圆O的直径，
∴＝，
∴∠ECB＝∠BCD，
∵PG＝PC，
∴∠PCG＝∠PGC，
∵∠CGP＝∠E+∠ECB，∠GCP＝∠PCD+∠BCD，
∴∠PCD＝∠E，
∴△PCD∽△PEC，
∴＝，
∴PC2＝PE•PD，
∵PC＝PG，
∴PG7＝PD•PE；
（3）如图2，连接OG，
∵G为BC中点，
∴OG⊥BC，
在Rt△BOG中，OG＝，
∴OB＝5，BG＝6，
∵GF⊥OB，
∴∠B+∠FGB＝90°，∠B+∠BOG＝90°，
∴∠GOF＝∠FGB，
∴△FGB∽△GOB，
∴，
∴＝，
∴FB＝4，
∴OF＝1，
在Rt△EOF中，OF＝4，
∴EF＝2，
∴ED＝2．


18．（2021•永州）如图1，AB是⊙O的直径，点E是⊙O上一动点，B两点重合，∠EAB的平分线交⊙O于点C，交AE的延长线于点D．

（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求证：AC2＝2AD•AO；
（3）如图2，原有条件不变，连接BE，延长AB至点M，∠EBM的平分线交AC的延长线于点P，总有∠P＝∠Q．
【解析】证明：（1）连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠BOC＝2∠OAC，
∵AC平分∠BAE，
∴∠BAE＝2∠OAC，
∴∠BAE＝∠BOC，
∴CO∥AD，
∵CD⊥AE，
∴∠D＝90°，
∴∠DCO＝90°，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线．
（2）连接BC，
∵AC平分∠BAE，
∴∠BAC＝∠CAD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BCA＝90°，
∵∠D＝90°，
∴∠D＝∠BCA，
∴△BAC∽△CAD，
∴，
∴AC3＝AB•AD，
∵AB＝2AO，
∴AC2＝7AD•AO．
（3）∵∠CAB、∠CBM的角平分线交于点Q，
∴∠QAM＝∠CAB∠CBM，
∵∠QBM是△QAB的一个外角，∠CBM是△ABC的一个外角，
∴∠Q＝∠QBM﹣∠QAM＝（∠CBM﹣∠CAM），
∵∠ACB＝∠CBM﹣∠CAM，
∴∠Q＝∠ACB，
∵∠ACB＝90°，
∴∠Q＝45°，
同理可证：∠P＝＝＝45°，
∴∠P＝∠Q．

19．（2021•包头）如图，已知△ABC是等边三角形，P是△ABC内部的一点，CP．
（1）如图1，以BC为直径的半圆O交AB于点Q，交AC于点R上时，连接AP，CD＝AP，连接DP；
（2）如图2，E是BC边上一点，且EC＝3BE，连接EP并延长，交AC于点F，若，求证：4EF＝3AB；
（3）如图3，M是AC边上一点，当AM＝2MC时，AB＝6a，MP＝a1，△BCP的面积为S2，求S1﹣S2的值（用含a的代数式表示）．

【解析】解：（1）如图1，连接BD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝60°，
在△BAP和△BCD中，
，
∴△BAP≌△BCD（SAS），
∴BP＝BD，∠ABP＝∠CBD，
∵∠ABP+∠PBC＝60°，
∴∠CBD+∠PBC＝60°，
即∠PBD＝60°，
∴△BDP是等边三角形，
∴∠BPD＝60°，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BPC＝90°，
∴∠CPD＝∠BPC﹣∠BPD＝90°﹣60°＝30°；
（2）如图2，连接AP交BC于D，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵BP＝CP，
∴AD⊥BC，BD＝CD＝AB，
∴AD＝AB•sin∠ABC＝AB•sin60°＝AB，
∵AB＝4BP，
∴BP＝AB，
∴PD＝＝＝AB，
∴PD＝AD，
∵EC＝3BE，
∴BE＝BC，
∵BD＝BC，
∴BE＝BD，
∴EP是△ABD的中位线，
∴EF∥AB，
∴△CEF∽△CBA，
∴＝＝＝，
∴5EF＝3AB；
（3）如图3，过点A作AD⊥BC于点D，交AC于点F，
由（2）得：AD＝AB＝3a，BC＝AC＝AB＝6a，
∵∠CMP＝150°，
∴∠PMF＝180°﹣∠CMP＝180°﹣150°＝30°，
∵∠CHP＝90°，
∴PH＝PM•sin∠PMF＝a•sin30°＝a，
MH＝PM•cos∠PMF＝a•cos30°＝a，
∵EF⊥BC，
∴∠CEF＝90°，
∴∠CFE＝90°﹣∠ACB＝90°﹣60°＝30°，
∴∠CFE＝∠PMF，
∴PF＝PM＝a，
∴FH＝PF•cos∠PFH＝a•cos30°＝a，
∵AM＝8MC，
∴CM＝AC＝，
∴CF＝CM+MH+HF＝5a，
∴EF＝CF•sin∠ACB＝5a•sin60°＝a，
∴PE＝EF﹣PF＝a﹣a，
∴S1﹣S3＝S△ABC﹣S△BCP＝BC•AD﹣BC•（AD﹣PE）＝a﹣a2．



20．（2021•绥化）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若弦MN垂直于AB，垂足为G，，MN＝；
（3）在（2）的条件下，当∠BAC＝36°时

【解析】（1）证明：如图1，连接OD，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ODB＝∠ACB，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；

（2）解：如图2，连接OM，
∵AB⊥MN，且AB为⊙O的直径，
∴MG＝MN＝，
设⊙O的半径为r，则OM＝r，
∵，
∴AG＝AB＝r，
∴OG＝OA﹣AG＝r，
在Rt△OGM中，根据勾股定理得2+MG2＝OM7，
∴（r）3+（）5＝r2，
∴r＝1，
即⊙O的半径为5；

（3）如图3，作∠ABC的平分线交AC于F，
在△ABC中，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝72°，
∴∠ABF＝∠CBF＝∠ABC＝36°＝∠BAC，
∴AF＝BF，
设AF＝BF＝x，
在△BCF中，∠CBF＝36°，
∴∠BFC＝180°﹣36°﹣72°＝72°＝∠C，
∴BC＝BF＝x，
由（2）知，⊙O的半径为6，
∴AB＝AC＝2，
∴CF＝AC﹣AF＝2﹣x，
∵∠CBF＝∠CAB，
∴∠C＝∠C，
∴△BCF∽△ACB，
∴，
∴，
∴x＝﹣5或x＝﹣，
∴BC＝﹣6，
连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝AC，
∴CD＝BC＝，
∵DE⊥AC，
∴∠DEC＝90°＝∠ADC，
∵∠C＝∠C，
∴△DEC∽△ADC，
∴，
∴，
∴CE＝．



21．（2021•广东）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，点E、F分别在线段BC、AD上，AB＝AF，CD＝DF．
（1）求证：CF⊥FB；
（2）求证：以AD为直径的圆与BC相切；
（3）若EF＝2，∠DFE＝120°，求△ADE的面积．

【解析】（1）证明：∵CD＝DF，
∴∠DCF＝∠DFC，
∵EF∥CD，
∴∠DCF＝∠EFC，
∴∠DFC＝∠EFC，
∴∠DFE＝2∠EFC，
∵AB＝AF，
∴∠ABF＝∠AFB，
∵CD∥EF，CD∥AB，
∴AB∥EF，
∴∠EFB＝∠AFB，
∴∠AFE＝2∠BFE，
∵∠AFE+∠DFE＝180°，
∴2∠BFE+2∠EFC＝180°，
∴∠BFE+∠EFC＝90°，
∴∠BFC＝90°，
∴CF⊥BF；

（2）证明：如图1，取AD的中点O，
∴∠OHC＝90°＝∠ABC，
∴OH∥AB，
∵AB∥CD，
∴OH∥AB∥CD，
∵AB∥CD，AB≠CD，
∴四边形ABCD是梯形，
∴点H是BC的中点，
∴OH＝（AB+CD），
连接并延长交BA的延长线于G，
∴∠G＝∠DCO，
∵∠AOG＝∠DOC，OA＝OD，
∴△AOG≌△DOC（AAS），
∴AG＝CD，OC＝OG，
∴OH是△BCG的中位线，
∴OH＝BG＝（AF+DF）＝，
∵OH⊥BC，
∴以AD为直径的圆与BC相切；

（3）如图2，
由（1）知，∠DFE＝2∠EFC，
∵∠DFE＝120°，
∴∠CFE＝60°，
在Rt△CEF中，EF＝3，
∴CF＝2EF＝4，
∴CE＝＝2，
∵AB∥EF∥CD，∠ABC＝90°，
∴∠ECD＝∠CEF＝90°，
过点D作DM⊥EF，交EF的延长线于M，
∴∠M＝90°，
∴∠M＝∠ECD＝∠CEF＝90°，
∴四边形CEMD是矩形，
∴DM＝CE＝2，
过点A作AN⊥EF于N，
∴四边形ABEN是矩形，
∴AN＝BE，
由（1）知，∠CFB＝90°，
∵∠CFE＝60°，
∴∠BFE＝30°，
在Rt△BEF中，EF＝2，
∴BE＝EF•tan30°＝，
∴AN＝，
∴S△ADE＝S△AEF+S△DEF
＝EF•AN+
＝EF（AN+DM）
＝×4×（）
＝．


22．（2021•柳州）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝1，DC＝，AD为半径作圆，延长CD交⊙A于点F，连结BF，交DE于点G．
（1）求证：BC为⊙A的切线；
（2）求cos∠EDF的值；
（3）求线段BG的长．

【解析】（1）证明：∵AD⊥AB，
∴∠BAD＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAD＝90°，
∵AB＝AD，
∴BC为⊙A的切线；

（2）解：如图1，过点D作DH⊥BC于H，
∴∠DHB＝90°，
由（1）知，∠BAD＝∠ABC＝90°，
∴∠ABC＝∠BAD＝∠BHD＝90°，
∴四边形ABHD为矩形，
∵AB＝AD＝1，
∴矩形ABHD是正方形，
∴BH＝DH＝AB＝7，
在Rt△DHC中，CD＝，CH＝，
∴cosC＝＝＝，
∵AD∥BC，
∴∠EDF＝∠C，
∴cos∠EDF＝cosC＝；

（3）如图4，
过点A作AM⊥DF于M，则DF＝2DM，
在Rt△AMD中，AD＝1，
∴DM＝AD•cos∠EDF＝7×＝，
∴DF＝2DM＝，
∴CF＝DF+CD＝+＝，
∵AD∥BC，
∴△DFG∽△CFB，
∴，
由（2）知，BC＝8+2＝3，
∴＝，
∴DG＝，
∴AG＝DG﹣AD＝，
在Rt△BAG中，BG＝＝＝．


23．（2021•宜宾）如图1，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若tan∠ADC＝，AC＝2，求⊙O的半径；
（3）如图2，在（2）的条件下，∠ADB的平分线DE交⊙O于点E，连结BE．求sin∠DBE的值．

【解析】解：（1）CD与⊙O相切，理由：
如图1，连接OD，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠CBD，
∵∠CDA＝∠CBD，
∴∠CDA＝∠ODB，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠ADO+∠ODB＝90°，
∴∠CDA+∠ADO＝90°，
∴∠CDO＝90°，
∴OD⊥CD，
∴CD与⊙O相切；

（2）由（1）知，∠CBD＝∠ADC，
∵tan∠ADC＝，
∴tan∠CBD＝，
在Rt△ADB中，tan∠CBD＝＝，
∵∠C＝∠C，∠ADC＝∠CBD，
∴△CAD∽△CDB，
∴，
∴CD＝2CA＝4，
∴CB＝7CD＝8，
∴AB＝CB﹣CA＝8﹣5＝6，
∴OA＝OB＝AB＝3，
∴⊙O的半径为3；

（3）如图7，连接OE，过点E作EG⊥BD于G，
∵DE平分∠ADB，
∴∠ADE＝∠BDE＝45°，
∴∠BOE＝2∠BDE＝90°，
∴BE＝＝3，
在Rt△ABD中，AD4+BD2＝AB2＝42，
∵，
∴AD＝，BD＝，
∵EG⊥BD，∠BDE＝45°，
∴∠DEG＝∠BDE＝45°，
∴DG＝EG，
设DG＝EG＝x，则BG＝BD﹣DG＝，
在Rt△BEG中，EG2+BG2＝BE2＝（3）2＝18，
∴x2+（﹣x）2＝18，
∴x＝或x＝，
∴EG＝，
∴sin∠DBE＝＝．


24．（2021•广西）如图，已知AD，EF是⊙O的直径，⊙O与▱OABC的边AB，OC分别交于点E，M，与AF的延长线交于点G，∠AFE＝∠OCD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若GF＝1，求cos∠AEF的值；
（3）在（2）的条件下，若∠ABC的平分线BH交CO于点H，求的值．

【解析】（1）证明：∵四边形OABC是平行四边形，
∴OC∥AB，
∴∠DOC＝∠OAE，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠AEF，
∴∠DOC＝∠AEF，
∵EF是⊙O的直径，
∴∠EAF＝90°，
∴∠AFE+∠AEF＝90°，
∴∠AFE+∠DOC＝90°，
∵∠AFE＝∠OCD，
∴∠OCD+∠DOC＝90°，
∴∠ODC＝90°，
∴OD⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）连接DF，如图：

∵AD是⊙O的直径，
∴∠ADF+∠DAF＝90°，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠G+∠DAF＝90°，
∴∠ADF＝∠G，
又∠DAF＝∠GAD，
∴△ADF∽△AGD，
∴＝，
∵AD＝6，GF＝6，
∴＝，
解得AF＝8或AF＝﹣9（舍去），
在Rt△AEF中，AE＝＝，
∴cos∠AEF＝＝；
（3）延长CO交AF于K，连接MN，如图：

∵EF是⊙O直径，
∴∠EAF＝90°，
∵OC∥AB，
∴∠CKA＝90°，即OK⊥AF，
∵EF＝AD＝6，AF＝8，
∴FO＝8，FK＝AK＝4，
Rt△OKF中，OK＝＝，
∵∠G+∠OAF＝90°，∠OFA+∠AEF＝90°，
且∠OAF＝∠OFA，
∴∠G＝∠AEF，
∴tanG＝tan∠AEF，
即＝，
∴＝，即＝，
解得CK＝10，
∵BH平分∠ABC，OC∥AB，
∴∠CBH＝∠ABH＝∠CHB，
∴CH＝BC＝OA＝3，
∴MH＝CK﹣OK﹣OM﹣CH＝10﹣﹣4＝2，
∴KH＝OK+OM+MH＝7，
在Rt△AKH中，AH＝＝＝，
而∠MNH＝∠MFA＝∠MOA＝，
且∠MHN＝∠HAB，
∴△MNH∽△HBA，
∴＝＝＝．
25．（2021•北京）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于点A和线段BC，给出如下定义：若将线段BC绕点A旋转可以得到⊙O的弦B′C′（B′，C′分别是B，C的对应点）
（1）如图，点A，B1，C1，B2，C2，B3，C3的横、纵坐标都是整数．在线段B1C1，B2C2，B3C3中，⊙O的以点A为中心的“关联线段”是 　B2C2　；
（2）△ABC是边长为1的等边三角形，点A（0，t），其中t≠0．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”；
（3）在△ABC中，AB＝1，AC＝2．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，以及相应的BC长．

【解析】解：（1）由旋转的性质可知：AB＝AB′，AC＝AC′，
由图可知点A到圆上一点的距离d的范围为﹣1≤d≤，
∵AC1＝3＞d，
∴点 C3′不可能在圆上，
∴B1C1不是⊙O的以A为中心的“关联线段”，
∵AC7＝1，AB2＝，
∴C2′（0，5），B2′（1，6），
∴B2C2是⊙O的以A为中心的“关联线段”，
∵AC3＝2，AB3＝，
当B3′在圆上时，B3′（4，0）或（0，
由图可知此时C4′不在圆上，
∴B3C3不是⊙O的以A为中心的“关联线段”．
故答案为：B8C2．

（2）∵△ABC是边长为1的等边三角形，
根据旋转的性质可知△AB′C′也是边长为4的等边三角形，
∵A（0，t），
∴B′C′⊥y轴，且B′C′＝1，
∴AO为B′C′边上的高的8倍，且此高的长为，
∴t＝或﹣．

（3）OA的最小值为1时，此时BC的长为，此时BC的长为．
理由：由旋转的性质和“关联线段”的定义，
可知AB′＝AB＝OB′＝OC′＝2，AC′＝AC＝2，

利用四边形的不稳定性可知，
当A，O，C′在同一直线上时，最小值为1，

此时OA＝OB′＝OC′，
∴∠AB′C＝90°，
∴B′C′＝＝＝．
当A，B′，OA最大，

此时OA＝2，过点A作AE⊥OC′于E．
∵AO＝AC′＝2，AE⊥OC′，
∴OE＝EC′＝，
∴AE＝＝＝，
∵S△AOC′＝•AO•C′F＝，
∴C′F＝，
∴OF＝＝＝，
∴FB′＝OB′﹣OF＝，
∴B′C′＝＝＝．
综上OA的最小值为1，此时BC的长为，此时BC的长为．

26．（2021•南京）在几何体表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？
（1）如图①，圆锥的母线长为12cm，B为母线OC的中点，的长为4πcm．在图②所示的圆锥的侧面展开图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径，并标出它的长（结果保留根号）．

（2）图③中的几何体由底面半径相同的圆锥和圆柱组成．O是圆锥的顶点，点A在圆柱的底面圆周上，设圆锥的母线长为l
①蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径的长为 　l+h　（用含l，h的代数式表示）．
②设的长为a，点B在母线OC上，在图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径的示意图，并写出求最短路径的长的思路．

【解析】解：（1）如图②中连接AO，AC．设∠AOC＝n．

∵的长＝4π，
∴＝4π，
∴n＝60°，
∴∠COA＝60°，
∵OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∵OB＝BC＝7，
∴AB⊥OC，
∴AB＝＝＝6．
最短的路径是线段AB，最短路径的长为6．

（2）①蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径的长为母线的长加圆柱的高，即为h+l．
故答案为：h+l．

②蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径的示意图如图④，最短路径为AB，
思路：
Ⅰ、过点O作OF⊥AD于F，此时，
Ⅱ、连接AB，路径最短；
Ⅲ、设CG＝x，则，进而求出∠BOG的度数，
Ⅳ、再过点B作BE⊥OF于E，BE，即可求出AH，
Ⅴ、求出EF，
Ⅵ、在Rt△ABH中，求解最小值．

27．（2021•衢州）如图1，点C是半圆O的直径AB上一动点（不包括端点），AB＝6cm，连结AD，过点C作CE∥AD交半圆于点E，记AC＝xcm，EC＝y1cm，EB＝y2cm．请你一起参与探究函数y1、y2随自变量x变化的规律．
通过几何画板取点、画图、测量，得出如下几组对应值，并在图2中描出了以各对对应值为坐标的点
x
…
0.30
0.80
1.60
2.40
3.20
4.00
4.80
5.60
…
y1
…
2.01
2.98
3.46
3.33
2.83
2.11
1.27
0.38
…
y2
…
5.60
4.95
3.95
2.96
2.06
1.24
0.57
0.10
…
（1）当x＝3时，y1＝　3　．
（2）在图2中画出函数y2的图象，并结合图象判断函数值y1与y2的大小关系．
（3）由（2）知“AC取某值时，有EC＝EB”．如图3，尝试通过计算EC，EB的长来验证这一结论

【解析】解：（1）当x＝3时，点C和圆心O重合，

∵AB＝6cm，
∴EC＝y5cm＝3cm，
∴y1＝4，
故答案为：3；
（2）函数y2的图象如图：

由图象得：
当5＜x＜2时，y1＜y4，
当x＝2时，y1＝y5，
当2＜x＜6时，y5＞y2；
（3）连接OD，作EH⊥AB于H，

由（2）知AC＝2时，有EC＝EB，
∵AC＝4cm，AB＝6cm，
∴OA＝OD＝OE＝OB＝3cm，OC＝3cm，
∵CD⊥AB，
∴CD＝＝8，
设OH＝mcm，则CH＝（1+m）cm，
∵EH⊥AB，
∴EH＝＝，
∵CE∥AD，
∴∠DAC＝∠ECH，
∵∠DCA＝∠EHC＝90°，
∴△DAC∽△ECH，
∴，即，
∴m1＝5，m2＝﹣（不合题意，
∴HB＝3﹣1＝2cm，EH＝cm，
∴EC＝＝2，EB＝cm，
∴EC＝EB．
28．（2021•随州）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．它是利用“同一个图形的面积相等”、“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形面积相等”等性质解决有关数学问题，在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，解题过程简便快捷．
（1）在直角三角形中，两直角边长分别为3和4，则该直角三角形斜边上的高的长为 　　，其内切圆的半径长为 　1　；
（2）①如图1，P是边长为a的正△ABC内任意一点，点O为△ABC的中心1，h2，h3，连接AP，BP，CP，易知a（h1+h2+h3）＝S△ABC＝3S△OAB，可得h1+h2+h3＝　　；（结果用含a的式子表示）

②如图2，P是边长为a的正五边形ABCDE内任意一点，设点P到五边形ABCDE各边距离分别为h1，h2，h3，h4，h5，参照①的探索过程，试用含a的式子表示h1+h2+h3+h4+h5的值．（参考数据：tan36°≈，tan54°≈）
（3）①如图3，已知⊙O的半径为2，点A为⊙O外一点，AB切⊙O于点B，弦BC∥OA，则图中阴影部分的面积为 　　；（结果保留π）
②如图4，现有六边形花坛ABCDEF，由于修路等原因需将花坛进行改造，其中点G在AF的延长线上，且要保证改造前后花坛的面积不变，并说明理由
【解析】解：（1）如图所示，AC＝3，∠ACB＝90°，
∴AB＝＝3，由等面积法可知：
AC•BC＝h•AB，
＝．
设其内切圆半径为r，利用分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积可得：
S△ABC＝S△ACO+S△BCO+S△ABO．
即3×2÷2＝AC•r+AB•r，
即＝6，
∴r＝＝＝1．
故答案为：，1；
（2）①：由已知中图可知，△ABC的面积为＝，
由等面积法，易知1+h5+h3）＝S△ABC＝，
解得：h1+h3+h3＝．
故答案为：．
②：类比①中方法可知（h1+h3+h3+h4+h5）＝S五边形ABCDE，
设点O为正五边形ABCDE的中心，连接OA，如图2．
易知S五边形ABCDE＝5S△OAB，
过O作OQ⊥AB于点Q，∠EAB＝，
故∠OAQ＝54°，OQ＝AQ•tan54°＝，
故（h1+h5+h3+h4+h5）＝5××，从而得到：
h2+h2+h3+h3+h5＝tan54°≈．
（3）①：若以BC作为△OCB和△ACB的底，则△OCB和△ACB等高，
∴S△OCB＝S△ACB．
∴图中阴影部分的面积即为扇形OCB的面积．
∵AB切⊙O于点B，
∴∠OBA＝90°，
又OB＝2，OA＝4，
∴∠OAB＝30°，∠AOB＝60°，
∵BC∥OA，
∴∠OBC＝∠AOB＝60°，
∴△OCB为等边三角形．
∴∠COB＝60°，
∴S扇形OCB＝＝．
故阴影部分面积为．
故答案为：．
②如图3，连接DF，则点G即为所求．
连接DG，
∵S六边形ABCDEF＝S五边形ABCDF+S△DEF，
∵EG∥DF，
∴S△DEF＝S△DGF，
∴S六边形ABCDEF＝S五边形ABCDF+S△DGF＝S五边形ABCDG．



29．（2021•宜昌）如图，在菱形ABCD中，O是对角线BD上一点（BO＞DO），垂足为E，以OE为半径的⊙O分别交DC于点H，EF与DC交于点G．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若G是OF的中点，OG＝2，DG＝1．
①求的长；
②求AD的长．

【解析】解：（1）证明：如图1，过点O作OM⊥BC于点M，
∵BD是菱形ABCD的对角线，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵OM⊥BC，OE⊥AB，
∴OE＝OM，
∴BC是⊙O的切线．

（2）①如图2，

∵G是OF的中点，OF＝OH，
∴OG＝OH，
∵AB∥CD，OE⊥AB，
∴OF⊥CD，
∴∠OGH＝90°，
∴sin∠GHO＝，
∴∠GHO＝30°，
∴∠GOH＝60°，
∴∠HOE＝120°，
∵OG＝2，
∴OH＝4，
∴由弧长公式得到的长：＝．
②如图7，过A作AN⊥BD于点N，
∵DG＝1，OG＝2，
∴OD＝，OB＝2，
∴△DOG∽△DAN，
∴，
∴，
∴AD＝．

30．（2021•长沙）如图，点O为以AB为直径的半圆的圆心，点M，点P，Q在上，点C在上运动（点C与点P，Q不重合），连接AC交MQ于点E，连接OQ．
（1）求sin∠AOQ的值；
（2）求的值；
（3）令ME＝x，QD＝y，直径AB＝2R（R＞0，R是常数），并指明自变量x的取值范围．

【解析】解：（1）如图，连接OP．
∵四边形MNPQ是正方形，
∴∠OMQ＝∠ONP＝90°，MQ＝PN，
∵OQ＝OP，
∴Rt△OMQ≌Rt△ONP（HL），
∴OM＝ON，
设OM＝ON＝m，则MQ＝2m＝m，
∴sin∠AOQ＝＝＝．

（2）由（1）可知OM＝ON＝m，OQ＝OA＝m，
∴AM＝OA﹣OM＝m﹣m，
∴＝＝．

（3）∵AB＝2R，
∴OA＝OB＝OQ＝R，
∵QM＝7MO，
∴OM＝，MQ＝，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝∠DCE＝90°，
∵∠CED＝∠AEM，
∴∠A＝∠D，
∵∠AME＝∠DMB＝90°，
∴△AME∽△DMB，
∴＝，
∴＝，
∴y＝﹣，
当点C与P重合时，＝，
∴＝，
∴x＝R，
∴R＜x＜R．

31．（2021•株洲）如图所示，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上不同的两点，若OC＝3CE，且9（EF2﹣CF2）＝OC2．
（1）求证：直线CF是⊙O的切线；
（2）连接OD、AD、AC、DC，若∠COD＝2∠BOC．
①求证：△ACD∽△OBE；
②过点E作EG∥AB，交线段AC于点G，点M为线段AC的中点，求线段MG的长度．

【解析】（1）证明：∵9（EF2﹣CF2）＝OC2，OC＝3CE，
∴7（EF2﹣CF2）＝6EC2，
∴EF2＝EC4+CF2，
∴∠ECF＝90°，
∴OC⊥CF，
∴直线CF是⊙O的切线．

（2）①证明：∵∠COD＝2∠DAC，∠COD＝6∠BOC，
∴∠DAC＝∠EOB，
∵∠DCA＝∠EBO，
∴△ACD∽△OBE．

②解：∵OB＝OC，OC＝3EC，
∴OB：OE＝3：7，
∵△ACD∽△OBE，
∴＝，
∴＝＝，
∵AD＝7，
∴AC＝6，
∵M是AC的中点，
∴CM＝MA＝3，
∵EG∥OA，
∴＝＝，
∴CG＝2，
∴MG＝CM﹣CG＝2﹣2＝1，
即线段MG的长度为6．

32．（2021•上海）如图，在圆O中，弦AB等于弦CD，其中E、F为AB、CD中点．
（1）证明：OP⊥EF；
（2）连接AF、AC、CE，若AF∥OP，证明：四边形AFEC为矩形．

【解析】（1）证明：连接OP，EF，OF．
∵AE＝EB，CF＝FD，
∴OE⊥AB，OF⊥CD，
∴∠OEB＝∠OFD＝90°，
∵OB＝OD，
∴Rt△OEB≌Rt△OFD（HL），
∴OE＝OF，
∵∠OEP＝∠OFP＝90°，OP＝OP，
∴Rt△OPE≌Rt△OPF（HL），
∴PE＝PF，
∵OE＝OF，
∴OP⊥EF．

（2）证明：连接AC，设EF交OP于J．
∵AB＝CD，AE＝EB，
∴AE＝CF，BE＝DF，
∵PE＝PF，
∴PA＝PC，
∵PE＝PF，OE＝OF，
∴OP垂直平分线段EF，
∴EJ＝JF，
∵OP∥AF，
∴EP＝PA，
∴PC＝PF，PA＝PE，
∴四边形AFEC是平行四边形，
∵EA＝CF，
∴四边形AFEC是矩形．

33．（2021•宁波）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，BD为直径，，满足＝，连结BE并延长交CD的延长线于点F
（1）若∠DBC＝α，请用含α的代数式表示∠AGB．
（2）如图2，连结CE，CE＝BG．求证：EF＝DG．
（3）如图3，在（2）的条件下，连结CG
①若tan∠ADB＝，求△FGD的周长．
②求CG的最小值．

【解析】解：（1）∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°，
∵＝，
∴∠ABG＝∠DBC＝α，
∴∠AGB＝90°﹣α；
（2）∵BD为⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
∴∠BEC＝∠BDC＝90°﹣α，
∴∠BEC＝∠AGB，
∵∠CEF＝180°﹣∠BEC，∠BGD＝180°﹣∠AGB，
∴∠CEF＝∠BGD，
又∵CE＝BG，∠ECF＝∠GBD，
∴△CFE≌△BDG（ASA），
∴EF＝DG；
（3）①如图，连接DE，

∵BD为⊙O的直径，
∴∠A＝∠BED＝90°，
在Rt△ABD中，tan∠ADB＝，
∴AB＝×AD＝，
∵＝，
∴+＝+，
即＝，
∴AD＝CE，
∵CE＝BG，
∴BG＝AD＝3，
∵在Rt△ABG中，sin∠AGB＝＝，
∴∠AGB＝60°，AG＝，
∴EF＝DG＝AD﹣AG＝1，
∵在Rt△DEG中，∠EGD＝60°，
∴EG＝DG＝DG＝，
在Rt△FED中，DF＝＝，
∴FG+DG+DF＝，
∴△FGD的周长为；
②如图，过点C作CH⊥BF于H，

∵△BDG≌△CFE，
∴BD＝CF，∠CFH＝∠BDA，
∵∠BAD＝∠CHF＝90°，
∴△BAD≌△CHF（AAS），
∴FH＝AD，
∵AD＝BG，
∴FH＝BG，
∵∠BCF＝90°，
∴∠BCH+∠HCF＝90°，
∵∠BCH+∠HBC＝90°，
∴∠HCF＝∠HBC，
∵∠BHC＝∠CHF＝90°，
∴△BHC∽△CHF，
∴＝，
设GH＝x，
∴BH＝5﹣x，
∴CH2＝2（7﹣x），
在Rt△GHC中，CG2＝GH2+CH7，
∴CG2＝x2+6（2﹣x）＝（x﹣1）6+3，
当x＝1时，CG5的最小值为3，
∴CG的最小值为．
34．（2021•台州）如图，BD是半径为3的⊙O的一条弦，BD＝4（不与点B，D重合），以A，B，D为顶点作▱ABCD．
（1）如图2，若点A是劣弧BD的中点．
①求证：▱ABCD是菱形；
②求▱ABCD的面积．
（2）若点A运动到优弧BD上，且▱ABCD有一边与⊙O相切．
①求AB的长；
②直接写出▱ABCD对角线所夹锐角的正切值．

【解析】（1）①证明：∵＝，
∴AD＝AB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形．

②解：连接OA交BD于J，连接OC．

∵＝，
∴OA⊥BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴A，O，C共线，
在Rt△OJD中，DJ＝BJ＝2，
∴OJ＝＝＝1，
∴AJ＝OA﹣OJ＝3﹣4＝2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AJ＝CJ＝2，
∴S菱形ABCD＝•AC•BD＝＝8．

（2）①解：当CD与⊙O相切时，连接AC交BD于H，OD，过点A作AJ⊥BD于J．

∵CD是⊙O的切线，
∴OD⊥CD，
∵CD∥AB，
∴DP⊥AB，
∴PA＝PB，
∴DB＝AD＝4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DH＝BH＝3，
∴OH⊥BD，
∴∠DHO＝∠DPB＝90°，
∵∠ODH＝∠BDP，
∴△DHO∽△DPB，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴DP＝，PB＝，
∴AB＝8PB＝，
当BC与⊙O相切时，同法可证AB＝BD＝4．

综上所述，AB的长为4或．
②解：如图3﹣5中，过点A作AJ⊥BD于J．
∵•AB•DP＝，
∴AJ＝，
∴BJ＝＝＝，
∴JH＝BH﹣BJ＝2﹣＝，
∴tan∠AHJ＝＝＝，
如图5﹣2中，同法可得▱ABCD对角线所夹锐角的正切值为，
综上所述，▱ABCD对角线所夹锐角的正切值为，
35．（2021•江西）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AD为直径，连接AC．
（1）求证：∠CAD＝∠ECB；
（2）若CE是⊙O的切线，∠CAD＝30°，连接OC
①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由；
②当AB＝2时，求AD，AC与

【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠CBE＝∠D，
∵AD为⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
∴∠D+∠CAD＝90°，
∴∠CBE+∠CAD＝90°，
∵CE⊥AB，
∴∠CBE+∠BCE＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE；

（2）①四边形ABCO是菱形，理由：
∵∠CAD＝30°，
∴∠COD＝2∠CAD＝60°，
∵CE是⊙O的切线，
∴OC⊥CE，
∵CE⊥AB，
∴OC∥AB，
∴∠DAB＝∠COD＝60°，
由（1）知，∠CBE+∠CAD＝90°，
∴∠CBE＝90°﹣∠CAD＝60°＝∠DAB，
∴BC∥OA，
∴四边形ABCO是平行四边形，
∵OA＝OC，
∴▱ABCO是菱形；
②由①知，四边形ABCO是菱形，
∴OA＝OC＝AB＝2，
∴AD＝6OA＝4，
由①知，∠COD＝60°，
在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，
∴CD＝2，AC＝6，
∴AD，AC与△AOC+S扇形COD
＝S△ACD+S扇形COD
＝××2×3+
＝+π．
36．（2021•扬州）在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：
已知线段BC＝2，使用作图工具作∠BAC＝30°，尝试操作后思考：
（1）这样的点A唯一吗？
（2）点A的位置有什么特征？你有什么感悟？
“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以BC为弦的圆弧上（点B、C除外），…．小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）．
（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决．
①该弧所在圆的半径长为 　2　；
②△ABC面积的最大值为 　　；
（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，请你利用图1证明∠BA′C＞30°．
（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，BC＝3，点P在直线CD的左侧．
①线段PB长的最小值为 　　；
②若S△PCD＝S△PAD，则线段PD长为 　　．

【解析】解：（1）①设O为圆心，连接BO，
∵∠BAC＝30°，
∴∠BOC＝60°，又OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB＝OC＝BC＝2，即半径为2；
②∵△ABC以BC为底边，BC＝3，
∴当点A到BC的距离最大时，△ABC的面积最大，
如图，过点O作BC的垂线，延长EO，
∴BE＝CE＝1，DO＝BO＝2，
∴OE＝，
∴DE＝，
∴△ABC的最大面积为＝；

（2）如图，延长BA′，连接CD，
∵点D在圆上，
∴∠BDC＝∠BAC，
∵∠BA′C＝∠BDC+∠A′CD，
∴∠BA′C＞∠BDC，
∴∠BA′C＞∠BAC，即∠BA′C＞30°；

（3）①如图，当点P在BC上时，
∵∠PCD＝90°，AB＝CD＝2，
∴tan∠DPC＝，为定值，
连接PD，设点Q为PD中点，PD为半径画圆，
∴当点P在优弧CPD上时，tan∠DPC＝，与圆Q交于P′，
此时BP′即为BP的最小值，过点Q作QE⊥BE，
∵点Q是PD中点，
∴点E为PC中点，即QE＝，PE＝CE＝，
∴BE＝BC﹣CE＝6﹣＝，
∴BQ＝，
∵PD＝，
∴圆Q的半径为，
∴BP′＝BQ﹣P′Q＝，即BP的最小值为；

②∵AD＝3，CD＝2，S△PCD＝S△PAD，
则，
∴△PAD中AD边上的高＝△PCD中CD边上的高，
即点P到AD的距离和点P到CD的距离相等，
则点P到AD和CD的距离相等，即点P在∠ADC的平分线上，
过点C作CF⊥PD，垂足为F，
∵PD平分∠ADC，
∴∠ADP＝∠CDP＝45°，
∴△CDF为等腰直角三角形，又CD＝2，
∴CF＝DF＝，
∵tan∠DPC＝，
∴PF＝，
∴PD＝DF+PF＝．

解法二：如图，作直径DG，

∵△CDF为等腰直角三角形，又CD＝2，
∴∠CDF＝∠CED＝45°，
∴CD＝CE＝4，
∴DE＝2，
∵∠DPC＝∠GDC，
∴tan∠DGC＝tan∠DPC＝＝，
∴CG＝1.2，EG＝0.5，
∵DG是直径，
∴∠DPG＝∠EPG＝90°，
∴PE＝EG＝，
∴PD＝DE﹣PE＝2﹣＝．
37．（2021•温州）如图，在平面直角坐标系中，⊙M经过原点O（2，0），B（0，8），连结AB．直线CM分别交⊙M于点D，E（点D在左侧），交x轴于点C（17，0）
（1）求⊙M的半径和直线CM的函数表达式；
（2）求点D，E的坐标；
（3）点P在线段AC上，连结PE．当∠AEP与△OBD的一个内角相等时，求所有满足条件的OP的长．

【解析】解：（1）∵∠AOB＝90°，
∴AB为⊙M的直径，
∵点M是AB的中点，则点M（1，
则圆的半径为AM＝＝，
设直线CM的表达式为y＝kx+b，则，解得，
故直线CM的表达式为y＝﹣x+；

（2）设点D的坐标为（x，﹣x+），
由AM＝得：（x﹣5）2+（﹣x+2＝（）7，
解得x＝5或﹣3，
故点D、E的坐标分别为（﹣8、（5；

（3）过点D作DH⊥OB于点H，则DH＝3，
故∠DBO＝45°，

由点A、E的坐标；
由点A、E、B、D的坐标得＝2，
同理可得：BD＝3，OB＝8，
①当∠AEP＝∠DBO＝45°时，
则△AEP为等腰直角三角形，EP⊥AC，
故点P的坐标为（5，2），
故OP＝5；
②∠AEP＝∠BDO时，
∵∠EAP＝∠DBO，
∴△EAP∽△DBO，
∴，即＝＝，解得AP＝8，
故PO＝10；
③∠AEP＝∠BOD时，
∵∠EAP＝∠DBO，
∴△EAP∽△OBD，
∴，即，解得AP＝，
则PO＝5+＝，
综上所述，OP为5或10或．
38．（2021•泰安）如图1，O为半圆的圆心，C、D为半圆上的两点，且＝，与BD的延长线相交于点E．
（1）求证：CD＝ED；
（2）AD与OC，BC分别交于点F，H．
①若CF＝CH，如图2，求证：CF•AF＝FO•AH；
②若圆的半径为2，BD＝1，如图3

【解析】（1）证明：如图1中，连接BC．

∵＝，
∴∠DCB＝∠DBC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝∠BCE＝90°，
∴∠E+∠DBC＝90°，∠ECD+∠DCB＝90°，
∴∠E＝∠DCE，
∴CD＝ED．

（2）①证明：如图2中，

∵CF＝CH，
∴∠CFH＝∠CHF，
∵∠AFO＝∠CFH，
∴∠AFO＝∠CHF，
∵＝，
∴∠CAD＝∠BAD，
∴△AFO∽△AHC，
∴＝，
∴＝，
∴CF•AF＝OF•AH．

②解：如图6中，连接OD交BC于G，则DG＝2﹣x．

∵＝，
∴∠COD＝∠BOD，
∵OC＝OB，
∴OD⊥BC，CG＝BG，
在Rt△OCG和Rt△BGD中，则有24﹣x2＝14﹣（2﹣x）2，
∴x＝，即OG＝，
∵OA＝OB，
∴OG是△ABC的中位线，
∴OG＝AC，
∴AC＝．
39．（2021•金华）在扇形AOB中，半径OA＝6，点P在OA上，将△OBP沿PB折叠得到△O′BP．
（1）如图1，若∠O＝75°，且BO′与
①求∠APO′的度数．
②求AP的长．
（2）如图2，BO′与相交于点D的中点，且PD∥OB，求

【解析】解：（1）①如图1中，∵BO′是⊙O的切线，
∴∠OBO′＝90°，
由翻折的性质可知，∠OBP＝∠PBO′＝45°，
∵∠AOB＝75°，
∴∠OPB＝∠BPO′＝180°﹣75°﹣45°＝60°，
∴∠OPO′＝120°，
∴∠APO′＝180°﹣∠OPO′＝180°﹣120°＝60°．

②如图1中，过点B作BH⊥OA于H，使得OF＝FB．
∵∠BHO＝90°，
∴∠OBH＝90°﹣∠BOH＝15°，
∵FO＝FB，
∴∠FOB＝∠FBO＝15°，
∴∠OFH＝∠FOB+∠FBO＝30°，
设OH＝m，则HF＝m，
∵OB2＝OH2+BH4，
∴62＝m7+（m+2m）6，
∴m＝或﹣，
∴OH＝，BH＝，
在Rt△PBH中，PH＝＝，
∴PA＝OA﹣OH﹣PH＝6﹣﹣＝6﹣4．
解法二：连接OO′交PB于T，则BP⊥′OO′，
在Rt△OBT中，OT＝OB×sin45°＝3．
在Rt△OTP中，OP＝，
∴AP＝OA﹣OP＝6﹣8．

（2）如图2中，连接AD．
∵＝，
∴AD＝BD，∠AOD＝∠BOD，
由翻折的性质可知，∠OBP＝∠PBD，
∵PD∥OB，
∴∠DPB＝∠OBP，
∴∠DPB＝∠PBD，
∴DP＝DB＝AD，
∴∠DAP＝∠APD＝∠AOB，
∵AO＝OD＝OB，AD＝DB，
∴△AOD≌△BOD，
∴∠OBD＝∠OAD＝∠AOB＝5∠BOD，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB＝2∠DOB，
∴∠DOB＝36°，
∴∠AOB＝72°，
∴的长＝＝．


40．（2021•成都）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，BC，D为AB延长线上一点，且∠BCD＝∠A．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为，△ABC的面积为2，求CD的长；
（3）在（2）的条件下，E为⊙O上一点，若＝，求BF的长．

【解析】（1）证明：连接OC，如图：

∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，∠A+∠ABC＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠ABC＝∠BCO，
又∠BCD＝∠A，
∴∠BCD+∠BCO＝90°，即∠DCO＝90°，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）过C作CM⊥AB于M，过B作BN⊥CD于N

∵⊙O的半径为，
∴AB＝2，
∵△ABC的面积为2，
∴AB•CM＝2，即•CM＝2，
∴CM＝2，
Rt△BCM中，∠BCM＝90°﹣∠CBA，
Rt△ABC中，∠A＝90°﹣∠CBA，
∴∠BCM＝∠A，
∴tan∠BCM＝tanA，即＝，
∴＝，
解得BM＝﹣4+1已舍去），
∵∠BCD＝∠A，∠BCM＝∠A，
∴∠BCD＝∠BCM，
而∠BMC＝∠BNC＝90°，BC＝BC，
∴△BCM≌△BCN（AAS），
∴CN＝CM＝8，BN＝BM＝，
∵∠DNB＝∠DMC＝90°，∠D＝∠D，
∴△DBN∽△DCM，
∴＝＝，
即＝＝，
解得DN＝2﹣2，
∴CD＝DN+CN＝2；
方法二：过C作CM⊥AB于M，连接OC

∵⊙O的半径为，
∴AB＝2，
∵△ABC的面积为2，
∴AB•CM＝2，即•CM＝2，
∴CM＝2，
Rt△MOC中，OM＝，
∵∠DMC＝∠CMO＝90°，∠CDM＝90°﹣∠DCM＝∠OCM，
∴△DCM∽△COM，
∴＝，即＝，
∴CD＝4；
（3）过C作CM⊥AB于M，过E作EH⊥AB于H，如图：

∵CM⊥AB，EH⊥AB，
∴＝＝，
∵＝，
∴＝＝，
由（2）知CM＝4，BM＝，
∴HE＝1，MF＝7HF，
Rt△OEH中，OH＝＝，
∴AH＝OA﹣OH＝﹣2，
设HF＝x，则MF＝6x，
由AB＝2可得：BM+MF+HF+AH＝8，
∴（﹣2）+2x+x+（，
解得：x＝1，
∴HF＝1，MF＝3，
∴BF＝BM+MF＝（﹣1）+6＝．
41．（2021•遂宁）如图，⊙O的半径为1，点A是⊙O的直径BD延长线上的一点，AD＝CD，∠A＝30°．
（1）求证：直线AC是⊙O的切线；
（2）求△ABC的面积；
（3）点E在上运动（不与B、D重合），过点C作CE的垂线
①当点E运动到与点C关于直径BD对称时，求CF的长；
②当点E运动到什么位置时，CF取到最大值，并求出此时CF的长．

【解析】（1）证明：连接OC，如图1，

∵AD＝CD，∠A＝30°，
∴∠ACD＝30°，
∴∠CDB＝60°，
∵OD＝OC，
∴∠OCD＝60°，
∴∠ACO＝∠ACD+∠OCD＝90°，
∵OC是半径，
∴直线AC是⊙O的切线；
（2）解：∵∠OCD＝60°，OC＝OD，
∴△DCO是等边三角形，
∴CD＝AD＝OD＝1，
作CH⊥BD于点H，则DH＝，

∴CH＝＝＝，
∵AB＝AD+BD＝3，
∴S△ABC＝＝．
（3）①当点E运动到与点C关于直径AB对称时，CE⊥AB于点K，

∵BD为⊙O的直径，CK＝，
∴CE＝2CK＝，
∵CF⊥CE，
∴∠ECF＝90°，
∵∠CDB＝∠CEB＝60°，
∴CF＝CE•tan60°＝＝3，
②∵点E在上运动过程中，
在Rt△ECF中，tan60°＝，
∴CF＝CE，
∴当CE最大时，CF取得最大值，
∴当CE为直径，即CE＝2时，最大值为2．
42．（2021•自贡）如图，点D在以AB为直径的⊙O上，过D作⊙O的切线交AB延长线于点C，交⊙O于点F，连接AD
（1）求证：∠DAE＝∠DAC；
（2）求证：DF•AC＝AD•DC；
（3）若sin∠C＝，AD＝4，求EF的长．

【解析】（1）证明：如图，连接OD．
∵CD是⊙O的切线，
∴OD⊥EC，
∵AE⊥CE，
∴AE∥OD，
∴∠EAD＝∠ADO，
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠DAO，
∴∠DAE＝∠DAC．

（2）证明：如图，连接BF．
∵AB是直径，
∴∠AFB＝90°，
∵AE⊥EC，
∴∠AFB＝∠E＝90°，
∴BF∥EC，
∴∠ABF＝∠C，
∵∠ADF＝∠ABF，
∴∠ADF＝∠C，
∵∠DAF＝∠DAC，
∴△DAF∽△CAD，
∴＝，
∴DF•AC＝AD•DC．

（3）解：过点D作DH⊥AC于H．
∵CD是⊙O的切线，
∴∠ODC＝90°，
∵sin∠C＝＝，
∴可以假设OD＝k，OC＝7k，CD＝k，
∵•OD•DC＝，
∴DH＝k，
∴OH＝＝k，
∴AH＝OA+OH＝k，
∵AD3＝AH2+DH2，
∴（8）2＝（k）2+（k）2
∴k＝8或﹣8（舍弃），
∴AC＝7k＝40，AB＝2k＝16，
∴sinC＝＝＝sin∠ABF＝，
∴AE＝10，AF＝4，
∴EF＝AE﹣AF＝10﹣4＝7．