四川省遂宁市2022届高三下学期三诊考试数学（理）试题及解析

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本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．总分150分．考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上．并检查条形码粘贴是否正确．
2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．
3．考试结束后，将答题卡收回．
第Ⅰ卷（选择题，满分60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 复数，则在复平面内对应的点是（ ）
A. B. C. D.
3. 游戏《王者荣耀》对青少年的不良影响巨大，被戏称为“王者农药”．某市青少年健康管理委员会对该市下学年度青少年上网打《王者荣耀》的情况进行统计，作出如下人数变化的走势图．
根据该走势图，下列结论正确的是（ ）
A. 这半年中，青少年上网打《王者荣耀》的人数呈周期性变化
B. 这半年中，青少年上网打《王者荣耀》的人数不断减弱
C. 从青少年上网打《王者荣耀》人数来看，10月份的方差小于11月份的方差
D. 从青少年上网打《王者荣耀》人数来看，12月份的平均值大于1月份的平均值
4. 下列说法正确的是（ ）
A. 命题“若，则”的否命题为：“若，则”
B. 若是上的奇函数，则的图象的对称中心是
C. 已知，为实数，则的充要条件是
D. 命题“存在，使得”否定是：“对任意，均有”
5. 若的展开式中的系数为，则（ ）
A. 2B. C. D.
6. 若变量、满足约束条件，则取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A B.
C. D.
8. 等差数列的公差为正数，记前项和为，若，，则（ ）
A. B.
C. D.
9. 已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，直线与的两条渐近线的左、右交点分别为，，若四边形的面积为，则的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
11. 下图中，小方格是边长为1的正方形，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
12. 已知满足，（其中是自然对数的底数），则（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．
13. 已知平面向量，，若，则________.
14. 正方体中，点为的中点，则与所成角的正弦值是_______.
15. 德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学届的王子，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》，在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法，现有函数，设数列满足，若存在使不等式成立，则的取值范围是______.
16. 已知抛物线：（）的焦点F与圆的圆心重合，直线与C交于、两点，且满足：（其中为坐标原点且A，均不与重合），对于下列命题：
①，；
②直线恒过定点；
③A，中点轨迹方程：；
④面积的最小值为16.
以上说法中正确的有______.
三、解答题：共70分．第17题至第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
17. 2022年3月“两会”在北京召开，会议吸引了全球的目光，对我国以后的社会经济发展有巨大的历史意义，遂宁市某媒体为调查市民对“两会”了解情况，进行了一次“两会”知识问卷调查（每位市民只能参加一次），随机抽取年龄在15~75岁之间的100人进行调查，并按年龄绘制的频率分布直方图如下图所示，其分组区间为：，，，，，，把年龄落在区间和内的人分别称为“青少年人”和“中老年人”．
（1）若“青少年人”中有15人在关注两会，根据已知条件完成下面的列联表，根据列联表，判定是否有99%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加关注两会？
（2）由（1）结果，从“青少年人”关注两会和不关注两会的人数按比例抽取6人，从这6人中选3人进行专访，这3人关注两会人数为，求的分布列和期望.
附：．
19. 已知函数，且图象的相邻两条对称轴之间的距离为，请从条件①、条件②、条件③中任意选择两个作为已知条件作答．
条件①：的最小值为；
条件②：的图象的一个对称中心为；
条件③：的图象经过点．
（1）求的解析式；
（2）在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，，，求周长的最大值.
21. 如图1所示，四边形为梯形且 ，，为中点，，，现将平面沿折起，沿折起，使平面平面，且重合为点（如图2所示）．
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的余弦值.
23. 已知椭圆：的左、右焦点分别为、，左顶点、下顶点分别为A、，离心率，坐标原点到直线的距离为，过且斜率为的直线与交于，两点.
（1）求的标准方程；
（2）令、的中点为，若存在点()，使得，求的取值范围．
25. 已知函数（为的导函数）.
（1）讨论单调性；
（2）设是的两个极值点，证明：.
选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
选修4-4：坐标系与参数方程
27. 在直角坐标系中，曲线的参数方程：（为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程：，点极坐标为且在上.
（1）求普通方程和的直角坐标方程；
（2）若与交于A，B两点，求.
选修4-5：不等式选讲
29. 已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若在上恒成立，求的取值范围.关注
不关注
合计
青少年人
15
中老年人
合计
50
50
100
0.05
0.010
0.001
3.841
6.635
10828