【精校版】2018年高考北京卷文数试题（word版含答案）

2018年普通高等学校招生全国统一考试

数学（文）（北京卷）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.已知集合 ,则 (   )

A.
B.
C.
D.

2、在复平面内,复数 的共轭复数对应的点位于(   )

A.第一象限     B.第二象限     C.第三象限     D.第四象限

3.执行如图所示的程序框图,输出的值为(   )

A.
B.
C.
D.

4.设是非零实数,则“”是“成等比数列”的()

A.充分而不必要条件    B.必要而不充分条件
C.充分必要条件    D.既不充分也不必要条件

5.“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献,十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 ,若第一个单音的频率为,则第八个单音的频率为(   )

A.
B.
C.
D.

6.某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为(   )

A.1           B.2           C.3           D.4

7.在平面直角坐标系中,半弧 是圆上的四段弧(如图),点在其中一段上,角以为始边,为终边.若,则所在的圆弧是(   )

A.半弧
B.半弧
C.半弧
D.半弧

8.设集合 ,则(   )

A.对任意实数
B.对任意实数
C.当且仅当时,
D.当且仅当时,

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9.设向量.若向量,则__________.

10.已知直线过点且垂直于轴 ,若被抛物线截得的线段长为,抛物线的焦点坐标为__________.

11.能说明“若 则”为假命题的一组的值依次为___________.

12.若双曲线 的离心率为,则__________.

13.若 满足,则的最小值是__________.

14.若 的面积为,且为钝角,则______________.的取值范围是_____________________。

三、解答题

15.设 是等差数列,且

1.求 的通项公式;

2.求 .

16.已知函数 .

1.求 的最小正周期;

2.若 在区间上的最大值为,求的最小值.

17.电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:

好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值

(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率;
(2)随机选取1部电影,估计这部电影没有获得好评的概率;
(3)电影公司为增加投资回报,拟改变投资策略,这将导致不同类型电影的好评率发生变化。假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化,那么哪类电影的好评率增加0.1,哪类电影的好评率减少0.1,使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大?(只需写出结论)

18.设函数 .

1.若曲线 在点处的切线斜率为,求.

2.若 在处取得极小值,求的取值范围。

19.已知椭圆 的离心率为,焦距为,斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点 

1.求椭圆 的方程;
2.若 ,求的最大值;

3.设 ,直线与椭圆的另一个交点为,直线与椭圆的另一个交点为,若和点共线,求.

四、证明题

20.如图,在四棱锥 中,底面为矩形,平面平面,分别为的中点。

1.求证:

2.求证:平面 平面
3.求证: 平面

参考答案

1．A 2．D 3．B 4．B 5．D 6．C 7．C 8．D

9．      10．

11．（答案不唯一）  12．4

13．3       14．

15．（共13分）

解：（I）设等差数列的公差为，

∵，

∴，

又，∴.

∴.

（II）由（I）知，

∵，

∴是以2为首项，2为公比的等比数列.

∴

.

∴.

16.（共13分）

【解析】（Ⅰ），

所以的最小正周期为.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知.

因为，所以.

要使得在上的最大值为，即在上的最大值为1.

所以，即.

所以的最小值为.

17.（共13分）

（Ⅰ）由题意知，样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000.

第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50，

故所求概率为.

（Ⅱ）方法一：由题意知，样本中获得好评的电影部数是

140×0.4+50×0.2+300×0.15+200×0.25+800×0.2+510×0.1

=56+10+45+50+160+51

=372.

故所求概率估计为.

方法二：设“随机选取1部电影,这部电影没有获得好评”为事件B.

没有获得好评的电影共有140×0.6+50×0.8+300×0.85+200×0.75+800×0.8+510×0.9=1628部.

由古典概型概率公式得.

（Ⅲ）增加第五类电影的好评率,减少第二类电影的好评率.

18.（共14分）

【解析】（Ⅰ）∵，且为的中点，∴.

∵底面为矩形，∴，

∴.

（Ⅱ）∵底面为矩形，∴.

∵平面平面，∴平面.

∴.又,

∵平面，∴平面平面.

（Ⅲ）如图，取中点，连接.

∵分别为和的中点，∴，且.

∵四边形为矩形，且为的中点，

∴，

∴，且，∴四边形为平行四边形，

∴.

又平面，平面，

∴平面.

19.（13分）

解：（Ⅰ）因为，

所以.

，

由题设知，即，解得.

（Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）得.

若a>1，则当时，；

当时，.

所以在x=1处取得极小值.

若，则当时，，

所以.

所以1不是的极小值点.

综上可知，a的取值范围是.

方法二：.

（1）当a=0时，令得x=1.

随x的变化情况如下表：

∴在x=1处取得极大值，不合题意.

（2）当a>0时，令得.

①当，即a=1时，，

∴在上单调递增，

∴无极值，不合题意.

②当，即0<a<1时，随x的变化情况如下表：

∴在x=1处取得极大值，不合题意.

③当，即a>1时，随x的变化情况如下表：

∴在x=1处取得极小值，即a>1满足题意.

（3）当a<0时，令得.

随x的变化情况如下表：

∴在x=1处取得极大值，不合题意.

综上所述，a的取值范围为.

20．（共14分）

【解析】（Ⅰ）由题意得，所以，

又，所以，所以，

所以椭圆的标准方程为．

（Ⅱ）设直线的方程为，

由消去可得，

则，即，

设，，则，，

则，

易得当时，，故的最大值为．

（Ⅲ）设，，，，

则①，②，

又，所以可设，直线的方程为，

由消去可得，

则，即，

又，代入①式可得，所以，

所以，同理可得．

故，，

因为三点共线，所以，

将点的坐标代入化简可得，即．