人教B版 (2019)第一章　空间向量与立体几何1.1 空间向量及其运算1.1.2 空间向量基本定理学案

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“道生一，一生二，二生三，三生万物”这句话出自老子《道德经》第四十二章．《说文解字》有对这句话的注释．首先确认“一”是地平线，然后进一步确定：“一生二”是指由地平线延伸出天和地两个平面；“二生三”是指天、地分开后，形成中间的“空”；“三生万物”则是指万物生长于天地之间的“空”．因此，古人观察地平线、天地和万物的存在状态，最后总结成“一生二，二生三，三生万物”这句话．联系一下我们学过的平面向量基本定理，可以概括为给出一组二维的基底可以生成平面中所有的向量；推广到三维空间，仍然为给出一组三维的基底，可以生成空间中的所有向量．
[问题] (1)零向量能不能作为一个基向量？
(2)当基底确定后，空间向量基本定理中实数组(x，y，z)是否唯一？




知识点一 共面向量定理
1．共线向量基本定理
空间中，若a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa．
2．共面向量定理
如果两个向量a，b不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是，存在唯一的实数对(x，y)，使c＝xa＋yb．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若A，B，C三点共线，则eq \(AB,\s\up7(―→))与eq \(AC,\s\up7(―→))共线．( )
(2)向量eq \(AB,\s\up7(―→))与向量eq \(CD,\s\up7(―→))是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上．( )
(3)若向量a，b，c共面，则表示这三个向量的有向线段所在的直线共面．( )
答案：(1)√ (2)× (3)×
2．若a与b不共线，且m＝a＋b，n＝a－b，p＝a，则( )
A．m，n，p共线 B．m与p共线
C．n与p共线 D．m，n，p共面
解析：选D 由于(a＋b)＋(a－b)＝2a，即m＋n＝2p，即p＝ eq \f(1,2) m＋ eq \f(1,2) n，又知m与n不共线，所以m，n，p共面．
3．非零向量e1，e2不共线，使ke1＋e2与e1＋ke2共线的k的值是________．
解析：若ke1＋e2，e1＋ke2共线，则ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝λ，,λk＝1，)) 所以k＝±1.
答案：±1
知识点二 空间向量基本定理
如果空间中的三个向量a，b，c不共面，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc．其中{a，b，c}叫作空间的一个基底，a，b，c都叫作基向量．若p＝xa＋yb＋zc，则称xa＋yb＋zc为p在基底{a，b，c}下的分解式．
共线向量基本定理、共面向量定理、空间向量基本定理的比较
eq \a\vs4\al()
1．构成基底的三个向量中，可以有零向量吗？
提示：不可以．
2．在四棱锥O­ABCD中，eq \(OA,\s\up7(―→))可表示为xeq \(OB,\s\up7(―→))＋yeq \(OC,\s\up7(―→))＋zeq \(OD,\s\up7(―→))且唯一，这种说法对吗？
提示：对．
1．已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是( )
A．3a，a－b，a＋2b B．2b，b－2a，b＋2a
C．a，2b，b－c D．c，a＋c，a－c
答案：C
2.如图，已知四面体ABCD的三条棱eq \(AB,\s\up7(―→))＝b，eq \(AC,\s\up7(―→))＝c，eq \(AD,\s\up7(―→))＝d，M为BC的中点，试用基向量b，c，d表示向量eq \(DM,\s\up7(―→))．
解：∵M为BC的中点，
∴eq \(DM,\s\up7(―→))＝ eq \f(1,2) (eq \(DB,\s\up7(―→))＋eq \(DC,\s\up7(―→)))＝ eq \f(1,2) [(eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \(AD,\s\up7(―→)))＋(eq \(AC,\s\up7(―→))－eq \(AD,\s\up7(―→)))]＝ eq \f(1,2) [(b－d)＋(c－d)]＝ eq \f(1,2) (b＋c－2d).
[例1] (链接教科书第16页练习A组2题)如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，O为A1C上一点，且eq \(A1O,\s\up7(―→))＝ eq \f(2,3) eq \(A1C,\s\up7(―→))，BD与AC交于点M.求证：C1，O，M三点共线．
[证明] 如图，连接AO，AC1，A1C1.∵eq \(A1O,\s\up7(―→))＝ eq \f(2,3) eq \(A1C,\s\up7(―→))，
∴eq \(AO,\s\up7(―→))＝eq \(AA1,\s\up7(―→))＋eq \(A1O,\s\up7(―→))＝eq \(AA1,\s\up7(―→))＋ eq \f(2,3) eq \(A1C,\s\up7(―→))＝eq \(AA1,\s\up7(―→))＋ eq \f(2,3) (eq \(A1A,\s\up7(―→))＋eq \(AC,\s\up7(―→)))＝ eq \f(1,3) eq \(AA1,\s\up7(―→))＋ eq \f(2,3) eq \(AC,\s\up7(―→))．
∵eq \(AC,\s\up7(―→))＝2eq \(AM,\s\up7(―→))，eq \(AA1,\s\up7(―→))＝eq \(AC1,\s\up7(―→))＋eq \(C1A1,\s\up7(――→))＝eq \(AC1,\s\up7(―→))－eq \(AC,\s\up7(―→))＝eq \(AC1,\s\up7(―→))－2eq \(AM,\s\up7(―→))，
∴eq \(AO,\s\up7(―→))＝ eq \f(1,3) (eq \(AC1,\s\up7(―→))－2eq \(AM,\s\up7(―→)))＋ eq \f(4,3) eq \(AM,\s\up7(―→))＝ eq \f(1,3) eq \(AC1,\s\up7(―→))＋ eq \f(2,3) eq \(AM,\s\up7(―→))．
∵ eq \f(1,3) ＋ eq \f(2,3) ＝1，∴C1，O，M三点共线．
eq \a\vs4\al()
1．要判定空间图形中的两向量共线，往往寻找图形中的三角形或平行四边形，并利用向量运算法则进行转化，从而使其中一个向量表示为另一个向量的倍数关系，即可证得这两向量共线．
2．证明空间三点P，A，B共线的方法
(1)eq \(PA,\s\up7(―→))＝λeq \(PB,\s\up7(―→))(λ∈R)；
(2)对空间任一点O，eq \(OP,\s\up7(―→))＝eq \(OA,\s\up7(―→))＋teq \(AB,\s\up7(―→)) (t∈R)；
(3)对空间任一点O，eq \(OP,\s\up7(―→))＝xeq \(OA,\s\up7(―→))＋yeq \(OB,\s\up7(―→)) (x＋y＝1).
[跟踪训练]
如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E在A1D1上，且eq \(A1E,\s\up7(―→))＝2eq \(ED1,\s\up7(―→))，F在对角线A1C上，且eq \(A1F,\s\up7(―→))＝ eq \f(2,3) eq \(FC,\s\up7(―→))．求证：E，F，B三点共线．
证明：设eq \(AB,\s\up7(―→))＝a，eq \(AD,\s\up7(―→))＝b，eq \(AA1,\s\up7(―→))＝c.
∵eq \(A1E,\s\up7(―→))＝2eq \(ED1,\s\up7(―→))，eq \(A1F,\s\up7(―→))＝ eq \f(2,3) eq \(FC,\s\up7(―→))，
∴eq \(A1E,\s\up7(―→))＝ eq \f(2,3) eq \(A1D1,\s\up7(――→))，eq \(A1F,\s\up7(―→))＝ eq \f(2,5) eq \(A1C,\s\up7(―→))，
∴eq \(A1E,\s\up7(―→))＝ eq \f(2,3) eq \(AD,\s\up7(―→))＝ eq \f(2,3) b，eq \(A1F,\s\up7(―→))＝ eq \f(2,5) (eq \(AC,\s\up7(―→))－eq \(AA1,\s\up7(―→)))
＝ eq \f(2,5) (eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(AD,\s\up7(―→))－eq \(AA1,\s\up7(―→)))
＝ eq \f(2,5) a＋ eq \f(2,5) b－ eq \f(2,5) c.
∴eq \(EF,\s\up7(―→))＝eq \(A1F,\s\up7(―→))－eq \(A1E,\s\up7(―→))＝ eq \f(2,5) a－ eq \f(4,15) b－ eq \f(2,5) c＝ eq \f(2,5) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(2,3)b－c)) .
又eq \(EB,\s\up7(―→))＝eq \(EA1,\s\up7(―→))＋eq \(A1A,\s\up7(―→))＋eq \(AB,\s\up7(―→))＝－ eq \f(2,3) b－c＋a＝a－ eq \f(2,3) b－c，
∴eq \(EF,\s\up7(―→))＝ eq \f(2,5) eq \(EB,\s\up7(―→))．∴E，F，B三点共线．
[例2] (链接教科书第13页例1)如图所示，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证：eq \(B1C,\s\up7(―→))，eq \(OD,\s\up7(―→))，eq \(OC1,\s\up7(―→))是共面向量．
[证明] 设eq \(C1B1,\s\up7(―→))＝a，eq \(C1D1,\s\up7(―→))＝b，eq \(C1C,\s\up7(―→))＝c，
∵四边形B1BCC1为平行四边形，
∴eq \(B1C,\s\up7(―→))＝c－a.
∵O是B1D1的中点，
∴eq \(C1O,\s\up7(―→))＝ eq \f(1,2) (a＋b)，
∴eq \(OC1,\s\up7(―→))＝－ eq \f(1,2) (a＋b)，
eq \(OD1,\s\up7(―→))＝eq \(C1D1,\s\up7(―→))－eq \(C1O,\s\up7(―→))＝b－ eq \f(1,2) (a＋b)＝ eq \f(1,2) (b－a).
∵eq \(D1D,\s\up7(―→))＝eq \(C1C,\s\up7(―→))，∴eq \(D1D,\s\up7(―→))＝c，
∴eq \(OD,\s\up7(―→))＝eq \(OD1,\s\up7(―→))＋eq \(D1D,\s\up7(―→))
＝ eq \f(1,2) (b－a)＋c.
若存在实数x，y，使eq \(B1C,\s\up7(―→))＝xeq \(OD,\s\up7(―→))＋yeq \(OC1,\s\up7(―→)) (x，y∈R)成立，则c－a＝x eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)（b－a）＋c)) ＋y eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)（a＋b）))
＝－ eq \f(1,2) (x＋y)a＋ eq \f(1,2) (x－y)b＋xc.
∵a，b，c不共线，
∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)（x＋y）＝－1，,\f(1,2)（x－y）＝0，,x＝1，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1，))
∴eq \(B1C,\s\up7(―→))＝eq \(OD,\s\up7(―→))＋eq \(OC1,\s\up7(―→))，
∴eq \(B1C,\s\up7(―→))，eq \(OD,\s\up7(―→))，eq \(OC1,\s\up7(―→))是共面向量．
1．解决向量共面的策略
(1)若已知点P在平面ABC内，则有eq \(AP,\s\up7(―→))＝xeq \(AB,\s\up7(―→))＋yeq \(AC,\s\up7(―→))或eq \(OP,\s\up7(―→))＝xeq \(OA,\s\up7(―→))＋yeq \(OB,\s\up7(―→))＋zeq \(OC,\s\up7(―→)) (x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数；
(2)证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示．
2．证明空间四点P，M，A，B共面的等价结论
(1)eq \(MP,\s\up7(―→))＝xeq \(MA,\s\up7(―→))＋yeq \(MB,\s\up7(―→))eq \(MB,\s\up7(―→))；
(2)对空间任一点O，eq \(OP,\s\up7(―→))＝eq \(OM,\s\up7(―→))＋xeq \(MA,\s\up7(―→))＋yeq \(MB,\s\up7(―→))；
(3)对空间任一点O，eq \(OP,\s\up7(―→))＝xeq \(OA,\s\up7(―→))＋yeq \(OB,\s\up7(―→))＋zeq \(OM,\s\up7(―→)) (x＋y＋z＝1)；
(4)eq \(PM,\s\up7(―→))∥eq \(AB,\s\up7(―→)) (或eq \(PA,\s\up7(―→))∥eq \(MB,\s\up7(―→))或eq \(PB,\s\up7(―→))∥eq \(AM,\s\up7(―→))). eq \a\vs4\al()
[跟踪训练]
如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，M为DD1的中点，N为AC上一点，且AN∶NC＝2，求证：A1，B，N，M四点共面．
证明：设eq \(AA1,\s\up7(―→))＝a，eq \(AB,\s\up7(―→))＝b，eq \(AD,\s\up7(―→))＝c，则eq \(A1B,\s\up7(―→))＝b－a，
∵M为eq \(DD1,\s\up7(―→))的中点，∴eq \(A1M,\s\up7(―→))＝c－ eq \f(1,2) a，
又∵AN∶NC＝2，∴eq \(AN,\s\up7(―→))＝ eq \f(2,3) eq \(AC,\s\up7(―→))＝ eq \f(2,3) (b＋c)，
∴eq \(A1N,\s\up7(―→))＝eq \(AN,\s\up7(―→))－eq \(AA1,\s\up7(―→))＝ eq \f(2,3) (b＋c)－a
＝ eq \f(2,3) (b－a)＋ eq \f(2,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c－\f(1,2)a)) ＝ eq \f(2,3) eq \(A1B,\s\up7(―→))＋ eq \f(2,3) eq \(A1M,\s\up7(―→))．
∴eq \(A1N,\s\up7(―→))，eq \(A1B,\s\up7(―→))，eq \(A1M,\s\up7(―→))为共面向量．
又∵三向量有相同的起点A1，
∴A1，B，N，M四点共面．
角度一 基底的判断
[例3] (链接教科书第15页例2)已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且eq \(OA,\s\up7(―→))＝e1＋2e2－e3，eq \(OB,\s\up7(―→))＝－3e1＋e2＋2e3，eq \(OC,\s\up7(―→))＝e1＋e2－e3，试判断{eq \(OA,\s\up7(―→))，eq \(OB,\s\up7(―→))，eq \(OC,\s\up7(―→))}能否作为空间的一个基底？
[解] 假设eq \(OA,\s\up7(―→))，eq \(OB,\s\up7(―→))，eq \(OC,\s\up7(―→))共面，由向量共面的充要条件知存在实数x，y，使eq \(OA,\s\up7(―→))＝xeq \(OB,\s\up7(―→))＋yeq \(OC,\s\up7(―→))成立．
∴e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)
＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3.
∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底，
∴e1，e2，e3不共面，∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－3x＋y＝1，,x＋y＝2，,2x－y＝－1)) 此方程组无解，
即不存在实数x，y，使eq \(OA,\s\up7(―→))＝xeq \(OB,\s\up7(―→))＋yeq \(OC,\s\up7(―→))成立．
∴eq \(OA,\s\up7(―→))，eq \(OB,\s\up7(―→))，eq \(OC,\s\up7(―→))不共面．
故{eq \(OA,\s\up7(―→))，eq \(OB,\s\up7(―→))，eq \(OC,\s\up7(―→))}能作为空间的一个基底．
eq \a\vs4\al()
基底判断的基本思路及方法
(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底；
(2)方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底；②假设a＝λb＋μc，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底．

角度二 空间向量基本定理的应用
[例4] 如图，在三棱柱ABC­A′B′C′中，已知eq \(AA′,\s\up7(―→))＝a，eq \(AB,\s\up7(―→))＝b，eq \(AC,\s\up7(―→))＝c，点M，N分别是BC′，B′C′的中点，试用基底{a，b，c}表示向量eq \(AM,\s\up7(―→))，eq \(AN,\s\up7(―→))．
[解] eq \(AM,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(BM,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))＋ eq \f(1,2) eq \(BC′,\s\up7(―→))
＝eq \(AB,\s\up7(―→))＋ eq \f(1,2) (eq \(BB′,\s\up7(―→))＋eq \(eq \(BC,\s\up7(―→)),\s\up7(―→)))＝eq \(AB,\s\up7(―→))＋ eq \f(1,2) eq \(BB′,\s\up7(―→))＋ eq \f(1,2) (eq \(AC,\s\up7(―→))－eq \(AB,\s\up7(―→)))
＝b＋ eq \f(1,2) a＋ eq \f(1,2) (c－b)
＝b＋ eq \f(1,2) a＋ eq \f(1,2) c－ eq \f(1,2) b
＝ eq \f(1,2) a＋ eq \f(1,2) b＋ eq \f(1,2) c.
eq \(AN,\s\up7(―→))＝eq \(AA′,\s\up7(―→))＋eq \(A′B′,\s\up7(――→))＋eq \(B′N,\s\up7(―→))
＝eq \(AA′,\s\up7(―→))＋eq \(A′B′,\s\up7(――→))＋ eq \f(1,2) eq \(B′C′,\s\up7(――→))
＝a＋b＋ eq \f(1,2) (eq \(A′C′,\s\up7(――→))－eq \(A′B′,\s\up7(――→)))
＝a＋b＋ eq \f(1,2) (c－b)
＝a＋ eq \f(1,2) b＋ eq \f(1,2) c.
[母题探究]
1．(变条件)若把本例中的eq \(AA′,\s\up7(―→))＝a改为eq \(AC′,\s\up7(―→))＝a，其他条件不变，则结果又是什么？
解：eq \(AM,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(BM,\s\up7(―→))
＝eq \(AB,\s\up7(―→))＋ eq \f(1,2) eq \(BC′,\s\up7(―→))
＝eq \(AB,\s\up7(―→))＋ eq \f(1,2) (eq \(AC′,\s\up7(―→))－eq \(AB,\s\up7(―→)))
＝b＋ eq \f(1,2) (a－b)
＝ eq \f(1,2) a＋ eq \f(1,2) b.
eq \(AN,\s\up7(―→))＝eq \(AC′,\s\up7(―→))＋eq \(C′N,\s\up7(―→))
＝eq \(AC′,\s\up7(―→))＋ eq \f(1,2) eq \(C′B′,\s\up7(――→))
＝eq \(AC′,\s\up7(―→))－ eq \f(1,2) eq \(B′C′,\s\up7(――→))
＝eq \(AC′,\s\up7(―→))－ eq \f(1,2) (eq \(A′C′,\s\up7(――→))－eq \(A′B′,\s\up7(――→)))
＝a－ eq \f(1,2) (c－b)
＝a＋ eq \f(1,2) b－ eq \f(1,2) c.
2.(变条件、变设问)如图所示，本例中增加条件“P在线段AA′上，且AP＝2PA′”，试用基底{a，b，c}表示向量eq \(MP,\s\up7(―→))．
解：eq \(MP,\s\up7(―→))＝eq \(MC′,\s\up7(―→))＋eq \(C′A′,\s\up7(――→))＋eq \(A′P,\s\up7(―→))
＝ eq \f(1,2) eq \(BC′,\s\up7(―→))－eq \(A′C′,\s\up7(――→))－ eq \f(1,3) eq \(AA′,\s\up7(―→))
＝ eq \f(1,2) (eq \(BB′,\s\up7(―→))＋eq \(eq \(BC,\s\up7(―→)),\s\up7(―→)))－eq \(AC,\s\up7(―→))－ eq \f(1,3) eq \(AA′,\s\up7(―→))
＝ eq \f(1,2) [eq \(AA′,\s\up7(―→))＋(eq \(AC,\s\up7(―→))－eq \(AB,\s\up7(―→)))]－eq \(AC,\s\up7(―→))－ eq \f(1,3) eq \(AA′,\s\up7(―→))
＝ eq \f(1,2) (a＋c－b)－c－ eq \f(1,3) a
＝ eq \f(1,6) a－ eq \f(1,2) b－ eq \f(1,2) c.
eq \a\vs4\al()
用基底表示向量的步骤
(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底；
(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则或平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果；
(3)下结论：利用空间向量的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量．

[跟踪训练]
设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底．给出下列向量组：
①{a，b，x}；②{x，y，z}；③{b，c，z}；④{x，y，a＋b＋c}．
其中可以作为空间的基底的向量组有________个．
解析：如图，设a＝eq \(AB,\s\up7(―→))，b＝eq \(AA1,\s\up7(―→))，c＝eq \(AD,\s\up7(―→))，则x＝eq \(AB1,\s\up7(―→))，y＝eq \(AD1,\s\up7(―→))，z＝eq \(AC,\s\up7(―→))，a＋b＋c＝eq \(AC1,\s\up7(―→))．由A，B1，D1，C四点不共面可知向量x，y，z也不共面．同理可知b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面，可以作为空间的基底．因x＝a＋b，故a，b，x共面，故不能作为基底．
答案：3
1．O，A，B，C为空间四点，且向量eq \(OA,\s\up7(―→))，eq \(OB,\s\up7(―→))，eq \(OC,\s\up7(―→))不能构成空间的一个基底，则( )
A．eq \(OA,\s\up7(―→))，eq \(OB,\s\up7(―→))，eq \(OC,\s\up7(―→))共线
B．eq \(OA,\s\up7(―→))，eq \(OB,\s\up7(―→))共线
C．eq \(OB,\s\up7(―→))，eq \(OC,\s\up7(―→))共线
D．O，A，B，C四点共面
解析：选D 由eq \(OA,\s\up7(―→))，eq \(OB,\s\up7(―→))，eq \(OC,\s\up7(―→))不能构成基底，知eq \(OA,\s\up7(―→))，eq \(OB,\s\up7(―→))，eq \(OC,\s\up7(―→))三向量共面，所以O，A，B，C四点共面．
2．给出下列命题：
①若{a，b，c}可以作为空间的一个基底，d与c共线，d≠0，则{a，b，d}也可作为空间的基底；②已知向量a∥b，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底；③A，B，M，N是空间四点，若eq \(BA,\s\up7(―→))，eq \(BM,\s\up7(―→))，eq \(BN,\s\up7(―→))不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面；④已知向量组{a，b，c}是空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一个基底．其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选D 根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底，否则就不能构成空间的一个基底，显然②正确．③中由eq \(BA,\s\up7(―→))，eq \(BM,\s\up7(―→))，eq \(BN,\s\up7(―→))共面且过相同点B，故A，B，M，N共面．
下面证明①④正确．
①假设d与a，b共面，则存在实数λ，μ，使d＝λa＋μb，
∵d与c共线，c≠0，
∴存在实数k，使d＝kc，
∵d≠0，∴k≠0，从而c＝ eq \f(λ,k) a＋ eq \f(μ,k) b，
∴c与a，b共面与条件矛盾．
∴d与a，b不共面．
同理可证④也是正确的．
3．从空间一点P引出三条射线PA，PB，PC，在PA，PB，PC上分别取eq \(PQ,\s\up7(―→))＝a，eq \(PR,\s\up7(―→))＝b，eq \(PS,\s\up7(―→))＝c，点G在PQ上，且PG＝2GQ，H为RS的中点，则eq \(GH,\s\up7(―→))＝________．(用a，b，c表示)
解析：如图，eq \(GH,\s\up7(―→))＝eq \(PH,\s\up7(―→))－eq \(PG,\s\up7(―→))＝ eq \f(1,2) (b＋c)－ eq \f(2,3) a.
答案：－ eq \f(2,3) a＋ eq \f(1,2) b＋ eq \f(1,2) c
4．设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若eq \(OG,\s\up7(―→))＝xeq \(OA,\s\up7(―→))＋yeq \(OB,\s\up7(―→))＋zeq \(OC,\s\up7(―→))，则2x＋4y＋2z＝________．
解析：如图，
由已知eq \(OG,\s\up7(―→))＝ eq \f(3,4) eq \(OG1,\s\up7(―→))＝ eq \f(3,4) (eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \(AG1,\s\up7(―→)))
＝ eq \f(3,4) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(eq \(OA,\s\up7(―→))＋\f(1,3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(AC,\s\up7(―→))))))
＝ eq \f(3,4) eq \(OA,\s\up7(―→))＋ eq \f(1,4) [(eq \(OB,\s\up7(―→))－eq \(OA,\s\up7(―→)))＋(eq \(OC,\s\up7(―→))－eq \(OA,\s\up7(―→)))]＝ eq \f(1,4) eq \(OA,\s\up7(―→))＋ eq \f(1,4) eq \(OB,\s\up7(―→))＋ eq \f(1,4) eq \(OC,\s\up7(―→))，
∴x＝y＝z＝ eq \f(1,4) ，∴2x＋4y＋2z＝2.
答案：2
5.如图所示，已知平行六面体ABCD­A1B1C1D1，设eq \(AB,\s\up7(―→))＝a，eq \(AD,\s\up7(―→))＝b，eq \(AA1,\s\up7(―→))＝c，P是CA1的中点，M是CD1的中点．用基底{a，b，c}表示以下向量：(1)eq \(AP,\s\up7(―→))；(2)eq \(AM,\s\up7(―→))．
解：在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，
连接AC，AD1(图略).
(1)eq \(AP,\s\up7(―→))＝ eq \f(1,2) (eq \(AC,\s\up7(―→))＋eq \(AA1,\s\up7(―→)))
＝ eq \f(1,2) (eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(AD,\s\up7(―→))＋eq \(AA1,\s\up7(―→)))
＝ eq \f(1,2) (a＋b＋c).
(2)eq \(AM,\s\up7(―→))＝ eq \f(1,2) (eq \(AC,\s\up7(―→))＋eq \(AD1,\s\up7(―→)))
＝ eq \f(1,2) a＋b＋ eq \f(1,2) c.
新课程标准解读
核心素养
1.理解空间向量的共线、共面基本定理，并能应用定理解决一些问题
数学抽象
2.了解空间向量的基本定理及其意义
直观想象
共线向量基本定理
共面向量定理
空间向量基本定理
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(如果a≠0,且b∥a)) ⇒存在唯一的实数λ，使得b＝λa
如果a，b不共线，则a，b，c共面⇔存在唯一实数对(x，y)，使c＝xa＋yb
如果空间中三个向量a，b，c不共面对于空间中的任意一个向量p⇒存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc
空间向量共线问题
空间向量共面问题
基底的判断及应用