高中人教B版 (2019)1.2.2 空间中的平面与空间向量学案设计

这是一份高中人教B版 (2019)1.2.2 空间中的平面与空间向量学案设计，共10页。


牌楼，与牌坊类似，是中国传统建筑之一，最早见于周朝．在园林、寺观、宫苑、陵墓和街道常有建造．旧时牌楼主要有木、石、木石、砖木、琉璃等几种，多设于要道口．牌楼中有一种柱门形结构，一般较高大．如图，牌楼的柱子与地面是垂直的，如果牌楼上部的下边线l与柱子所在的直线l1垂直，我们就能知道下边线l与地面α平行．
[问题] (1)柱子所在直线的方向向量是否可认为是地面α的法向量？
(2)能否用空间向量表示这一线面位置关系？




知识点一 平面的法向量
定义：如果α是空间中的一个平面，n是空间中的一个非零向量，且表示n的有向线段所在的直线与平面α垂直，则称n为平面α的一个法向量，记作n⊥α．
eq \a\vs4\al()
平面法向量的性质
(1)如果直线l垂直平面α，则直线l的任意一个方向向量都是平面α的一个法向量；
(2)如果n是平面α的一个法向量，则对任意的实数λ≠0，空间向量λn也是平面α的一个法向量，而且平面α的任意两个法向量都平行；
(3)如果n为平面α的一个法向量，A为平面α上一个已知的点，则对于平面α上任意一点B，向量eq \(AB,\s\up7(―→))一定与向量n垂直，即eq \(AB,\s\up7(―→))·n＝0，从而可知平面α的位置可由n和A唯一确定．
1．一个平面的法向量唯一吗？
提示：不唯一．
2．一个定点和两个定方向向量能否确定一个平面？
提示：不一定，若两个定方向向量共线时不能确定，若两个定方向向量不共线能确定．
知识点二 空间平行、垂直关系的向量表示
1．直线与平面位置关系的判断
如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，则：n∥v⇔l⊥α；
n⊥v⇔l∥α，或l⊂α．
2．平面与平面位置关系的判断
如果n1是平面α1的一个法向量，n2是平面α2的一个法向量，则：n1⊥n2⇔α1⊥α2；
n1∥n2⇔α1∥α2，或α1与α2重合．
1．设平面α的法向量为(1，2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k等于( )
A．2 B．－4 C．4 D．－2
答案：C
2．若直线l的方向向量a＝(1，0，2)，平面α的法向量为n＝(－2，0，－4)，则( )
A．l∥α B．l⊥α C．l⊂α D．l与α斜交
答案：B
知识点三 三垂线定理及其逆定理
1．三垂线定理
如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直．
2．三垂线定理的逆定理
如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直．
1．定理中的已知直线是已知平面内的直线吗？
提示：一定是．
2．若直线l是平面α外的一条直线，直线m垂直于l在平面α内的投影，l与m垂直吗？
提示：不一定．若直线m在平面α外，例如m⊥α，尽管m垂直于直线l在平面α内的投影，也不能得出m⊥l.
1.(多选)如图PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B的任一点，则下列关系正确的是( )
A．PA⊥BC
B．BC⊥平面PAC
C．AC⊥PB
D．PC⊥BC
解析：选ABD 由题意有，PA⊥平面ABC，∵BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，故A对；
∵AC⊥BC，且PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，∴BC⊥平面PAC，故B对；
由AC⊥BC，有三垂线定理可得BC⊥PC，故D对；
若AC⊥PB，因为AC⊥BC，可得AC⊥平面PBC，则AC⊥PC，与已知矛盾，故C错．
2．如图，长方体ABCD­A1B1C1D1中，BD1为体对角线，当底面ABCD满足条件________时，有BD1 ⊥ A1C1.
解析：由三垂线定理的逆定理可知：当AC ⊥ BD时结论成立．
答案：AC⊥BD
[例1] (链接教科书第39页例2)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，棱长为1，G，E，F分别为AA1，AB，BC的中点，求平面GEF的一个法向量．
[解] 如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则E eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)，0)) ，F eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1，0)) ，G eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，0，\f(1,2))) ，
∴eq \(GE,\s\up7(―→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)，－\f(1,2))) ，
eq \(FE,\s\up7(―→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(1,2)，0)) .
设平面GEF的法向量为n＝(x，y，z).
由n⊥eq \(GE,\s\up7(―→))，n⊥eq \(FE,\s\up7(―→))，得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n·eq \(GE,\s\up7(―→))＝\f(1,2)y－\f(1,2)z＝0，,n·eq \(FE,\s\up7(―→))＝\f(1,2)x－\f(1,2)y＝0，)) ∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(z＝y，,x＝y.))
令y＝1，可得平面GEF的一个法向量为n＝(1，1，1).
eq \a\vs4\al()
利用待定系数法求法向量的步骤

[跟踪训练]
如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，P是DD1的中点，O为底面ABCD的中心，求证：eq \(OB1,\s\up7(―→))是平面PAC的一个法向量．
证明：如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
不妨设正方体的棱长为2，则A(2，0，0)，P(0，0，1)，C(0，2，0)，B1(2，2，2)，O(1，1，0)，
∴eq \(OB1,\s\up7(―→))＝(1，1，2)，eq \(AC,\s\up7(―→))＝(－2，2，0)，eq \(AP,\s\up7(―→))＝(－2，0，1)，
∴eq \(OB1,\s\up7(―→))·eq \(AC,\s\up7(―→))＝－2＋2＝0，eq \(OB1,\s\up7(―→))·eq \(AP,\s\up7(―→))＝－2＋2＝0，
∴eq \(OB1,\s\up7(―→))⊥eq \(AC,\s\up7(―→))，eq \(OB1,\s\up7(―→))⊥eq \(AP,\s\up7(―→))．
∵AC∩AP＝A，
∴eq \(OB1,\s\up7(―→))是平面PAC的一个法向量．
[例2] 如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，M分别为棱BB1，CD，AA1的中点．证明：
(1)C1M∥平面ADE；
(2)平面ADE⊥平面A1D1F.
[证明] (1)以D为原点，向量eq \(DA,\s\up7(―→))，eq \(DC,\s\up7(―→))，eq \(DD1,\s\up7(―→))的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立坐标系如图，设正方体的棱长为1.
则D(0，0，0)，A(1，0，0)，E eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，1，\f(1,2))) ，C1(0，1，1)，M eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，0，\f(1,2))) ，eq \(DA,\s\up7(―→))＝(1，0，0)，eq \(DE,\s\up7(―→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，1，\f(1,2))) ，eq \(C1M,\s\up7(―→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－1，－\f(1,2))) .
设平面ADE的法向量为m＝(a，b，c)，
则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m·eq \(DA,\s\up7(―→))＝0，,m·eq \(DE,\s\up7(―→))＝0)) ⇒ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝0，,a＋b＋\f(1,2)c＝0.))
令c＝2，得m＝(0，－1，2)，
∵m·eq \(C1M,\s\up7(―→))＝(0，－1，2)· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－1，－\f(1,2))) ＝0＋1－1＝0，
∴eq \(C1M,\s\up7(―→))⊥m.
又C1M⊄平面ADE，∴C1M∥平面ADE.
(2)由D1(0，0，1)，A1(1，0，1)，F eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)，0)) ，
得eq \(D1A1,\s\up7(―→))＝(1，0，0)，eq \(D1F,\s\up7(―→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)，－1)) ，
设平面A1D1F的法向量为n＝(x，y，z)，
则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n·eq \(D1A1,\s\up7(―→))＝0，,n·eq \(D1F,\s\up7(―→))＝0)) ⇒ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝0，,\f(1,2)y－z＝0.))
令y＝2，则n＝(0，2，1).
∵m·n＝(0，－1，2)·(0，2，1)＝0－2＋2＝0，
∴m⊥n.∴平面ADE⊥平面A1D1F.
[母题探究]
1．(变设问)本例条件不变，试求直线D1E的一个方向向量和平面EFM的一个法向量．
解：如例题建系定坐标，D1(0，0，1)，
E eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，1，\f(1,2))) ，M eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，0，\f(1,2))) ，
∴eq \(D1E,\s\up7(―→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，1，－\f(1,2))) ，即直线D1E的一个方向向量．
设平面EFM的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
∵F eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)，0)) ，∴eq \(EF,\s\up7(―→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－\f(1,2)，－\f(1,2))) ，eq \(EM,\s\up7(―→))＝(0，－1，0)，
由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n1·eq \(EF,\s\up7(―→))＝0，,n1·eq \(EM,\s\up7(―→))＝0，)) 即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－x1－\f(1,2)y1－\f(1,2)z1＝0，,－y1＝0.))
∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(z1＝－2x1，,y1＝0，)) 令x1＝1，则z1＝－2.
∴平面EFM的一个法向量为(1，0，－2).
2．(变条件，变设问)在本例中设D1B1的中点为N，其他条件不变．试证：EN⊥平面B1AC.
证明：如例题建系，E eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，1，\f(1,2))) ，
N eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)，1)) ，A(1，0，0)，B1(1，1，1)，C(0，1，0).
∴eq \(EN,\s\up7(―→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－\f(1,2)，\f(1,2))) ，eq \(AB1,\s\up7(―→))＝(0，1，1)，
eq \(AC,\s\up7(―→))＝(－1，1，0)，
∴eq \(EN,\s\up7(―→))·eq \(AB1,\s\up7(―→))＝0，eq \(EN,\s\up7(―→))·eq \(AC,\s\up7(―→))＝0，
∴eq \(EN,\s\up7(―→))⊥eq \(AB1,\s\up7(―→))，eq \(EN,\s\up7(―→))⊥eq \(AC,\s\up7(―→))，即EN⊥AB1，EN⊥AC.
又AB1∩AC＝A，∴EN⊥平面B1AC.
eq \a\vs4\al()
利用向量法证明空间线面位置关系的思路
(1)线面平行：设直线l的方向向量是a，平面α的法向量是u，则要证明l∥α，只需证明a⊥u，即a·u＝0；
(2)面面平行：若能求出平面α，β的法向量u，v，则要证明α∥β，只需证明u∥v；
(3)线面垂直：设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为u，则要证明l⊥α，只需证明a∥u即可；
(4)面面垂直：①证明两平面的法向量垂直；②证明一个平面的法向量平行于另一个平面．

[跟踪训练]
如图，四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝ eq \r(2) .证明：A1C⊥平面BB1D1D.
证明：由题设易知OA，OB，OA1两两垂直，以O为坐标原点建立空间直角坐标系，如图．
∵AB＝AA1＝ eq \r(2) ，
∴OA＝OB＝OA1＝1，
∴A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(－1，0，0)，D(0，－1，0)，A1(0，0，1).
由eq \(A1B1,\s\up7(――→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))，易得B1(－1，1，1).
∵eq \(A1C,\s\up7(―→))＝(－1，0，－1)，eq \(BD,\s\up7(―→))＝(0，－2，0)，eq \(BB1,\s\up7(―→))＝(－1，0，1)，
∴eq \(A1C,\s\up7(―→))·eq \(BD,\s\up7(―→))＝0，eq \(A1C,\s\up7(―→))·eq \(BB1,\s\up7(―→))＝0，
∴A1C⊥BD，A1C⊥BB1，又BD∩BB1＝B，
∴A1C⊥平面BB1D1D.
[例3] 如图，已知在正方体ABCD­A1B1C1D1中，连接BD1，AC，CB1，B1A，求证：BD1⊥平面AB1C.
[证明] 如图，连接BD，A1B，∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD.
又DD1⊥平面ABCD，
∴BD是斜线BD1在平面ABCD上的射影，
∴BD1⊥AC，而A1B是BD1在平面ABB1A1内的射影，
∴BD1⊥AB1，又AB1∩AC＝A，∴BD1⊥平面AB1C.
eq \a\vs4\al()
利用三垂线定理证明垂直的步骤
(1)找平面(基准面)及平面的垂线；
(2)找射影线(平面上的直线与斜线在平面上的射影线)；
(3)证明射影线与直线垂直，从而得线线垂直，更进一步证明线面垂直或面面垂直．

[跟踪训练]
在四面体PABC中，PA⊥BC，PB⊥AC，求证：PC⊥AB.
证明：如图，过P作PH⊥平面ABC，连接AH延长交BC于E，
连接BH并延长交AC于F，PH⊥平面ABC，PA⊥BC，
而PA在平面ABC内的射影为AH，由三垂线定理的逆定理知BC⊥AH，
同理可证BF⊥AC.则H为△ABC的垂心，连接CH并延长交AB于G，
于是CG⊥AB，而CH是PC在平面ABC的射影，故PC⊥AB.
1．若直线l的方向向量a＝(1，2，－1)，平面α的一个法向量m＝(－2，－4，k)，若l⊥α，则实数k＝( )
A．2 B．－10
C．－2 D．10
解析：选A ∵直线l的方向向量a＝(1，2，－1)，
平面α的一个法向量m＝(－2，－4，k)，l⊥α，
∴a∥m，∴ eq \f(1,－2) ＝ eq \f(2,－4) ＝ eq \f(－1,k) ，解得k＝2.
2．已知平面α的法向量为a＝(1，2，－2)，平面β的法向量为b＝(－2，－4，k)，若α⊥β，则k＝( )
A．4 B．－4
C．5 D．－5
解析：选D ∵α⊥β，∴a⊥b，∴a·b＝1×(－2)＋2×(－4)＋(－2)·k＝0，∴k＝－5.
3．已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量u＝(1，－3，z)，向量v＝(3，－2，1)与平面α平行，则z＝________．
解析：由题意知u⊥v，∴u·v＝3＋6＋z＝0.∴z＝－9.
答案：－9
4．点P是△ABC所在平面外一点，且PA⊥平面ABC.若点O和点Q分别是△ABC和△PBC的垂心，求证：OQ⊥平面PBC.
证明：因为O是△ABC的垂心，所以BC⊥AE.
因为PA⊥平面ABC，根据三垂线定理得BC⊥PE，
所以BC⊥平面PAE.
因为Q是△PBC的垂心，故点Q在PE上，
则OQ⊂平面PAE，所以OQ⊥BC.
因为PA⊥平面ABC，BF⊂平面ABC，所以BF⊥PA.
又因为O是△ABC的垂心，
所以BF⊥AC，故BF⊥平面PAC.
所以FM是BM在平面PAC内的射影．
因为BM⊥PC，由三垂线定理的逆定理，FM⊥PC，
所以PC⊥平面BFM.
因为OQ⊂平面BFM，所以OQ⊥PC，
综上知OQ⊥BC，OQ⊥PC，
所以OQ⊥平面PBC.
新课程标准解读
核心素养
1.理解平面的法向量
数学抽象
2.能用向量语言表述线面、面面的垂直、平行关系
数学运算
3.能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)
逻辑推理
求平面的法向量
利用法向量证明空间中的位置关系
三垂线定理及逆定理的应用