高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.2.4 二面角学案

二面角

同学们可能经常谈论某某同学是白羊座的，某某同学是双子座的，可是你知道十二星座的由来吗？

我们知道，地球绕太阳公转的轨道平面称为“黄道面”，黄道面与地球赤道面交角(二面角的平面角)约为23°26′，它与天球相交的大圆为“黄道”，黄道及其附近的南北宽8°以内的区域为黄道带，黄道带内有十二个星座，称为“黄道十二宫”，从春分(节气)点起，每30°便是一宫，并冠以星座名，如白羊座、金牛座、双子座等等，这便是星座的由来……

[问题]　你知道二面角是如何定义的吗？

知识点一　二面角

1．定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，如图．

2．范围：我们约定，二面角及其平面角的大小不小于0°，不大于180°，而且，两个平面相交时，它们所成角的大小，指的是它们所形成的四个二面角中，不小于0°且不大于90°的角的大小，平面角是直角的二面角称为直二面角．

如何找二面角的平面角？

提示：

正方形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，则二面角P­CD­A的大小为________，平面PAD与平面PBC所成的角为________．

答案：45°　45°

知识点二　空间向量与二面角

　如果n1，n2分别是平面α1，α2的一个法向量，设α1与α2所成角的大小为θ，则θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉，如图．

特别地sin θ＝sin_〈n1，n2〉．

若二面角α­l­β的两个半平面的法向量分别为n1，n2，那么二面角的平面角与两法向量夹角〈n1，n2〉一定相等吗？

提示：不一定．可能相等，也可能互补．

1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)二面角α­l­β的大小为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则θ＝〈n1，n2〉．(　　)

(2)平面α与平面β的所成角为θ，则θ＝α­l­β.(　　)

答案：(1)×　(2)×

2．在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，－1，3)，(2，2，4)，则这个二面角的余弦值为(　　)

A．　　　　　　　　  B．－

C．     D．或－

解析：选D　∵＝，∴这个二面角的余弦值为或－.

3．如图，OA，OB，OC两两垂直，且OA＝OB＝OC，则二面角A­BC­O的余弦值为________．

答案：

[例1]　(链接教科书第48页例1，第49页例2)(1)已知二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2，则该二面角的大小为(　　)

A．150°　　　　　　　　　  B．45°

C．120°     D．60°

(2)如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在平面，C是圆周上不同于A，B两点的任意一点，且AB＝2，PA＝BC＝，则二面角A­BC­P的大小为________．

[解析]　(1)如图，AC⊥AB，BD⊥AB，过A在平面ABD内作AE∥BD，过D作DE∥AB，连接CE，所以DE＝AB且DE⊥平面AEC，∠CAE即二面角的平面角．在Rt△DEC中，CD＝2，DE＝4，则CE＝2，在△ACE中，由余弦定理可得cos ∠CAE＝＝，所以∠CAE＝60°，即所求二面角的大小为60°.

(2)因为AB为⊙O的直径，所以AC⊥BC，又因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，因为AC∩PA＝A，所以BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC，所以∠PCA为二面角A­BC­P的平面角．因为∠ACB＝90°，AB＝2，PA＝BC＝，所以AC＝1，所以在Rt△PAC中，tan ∠PCA＝＝.所以∠PCA＝60°.即所求二面角的大小为60°.

[答案]　(1)D　(2)60°

求二面角大小的步骤(一作二证三求)

[跟踪训练]

如图，空间四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA＝a，对角线AC＝a，BD＝a，求二面角A­BD­C的大小．

解：如图，取BD的中点O，分别连接AO，CO，

∵AB＝AD，BC＝CD，

∴AO⊥BD，CO⊥BD.

∴∠AOC为二面角A­BD­C的平面角．

∵AB＝AD＝a，BD＝a，

∴AO＝a.

∵BC＝CD＝a，BD＝a，∴OC＝a.

在△AOC中，OC＝a，OA＝a，AC＝a，OA2＋OC2＝AC2.

∴∠AOC＝90°.即二面角A­BD­C的大小为90°.

[例2]　(2020·全国卷Ⅰ)如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE＝AD.△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，PO＝DO.

(1)证明：PA⊥平面PBC；

(2)求二面角B­PC­E的余弦值．

[解]　(1)证明：设DO＝a，由题意可得PO＝a，AO＝a，AB＝a，PA＝PB＝PC＝a.

因此PA2＋PB2＝AB2，从而PA⊥PB.

又PA2＋PC2＝AC2，故PA⊥PC.

又PB∩PC＝P，PB，PC⊂平面PBC，

所以PA⊥平面PBC.

(2)以O为坐标原点，的方向为y轴正方向，||为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.

由题设可得E(0，1，0)，A(0，－1，0)，C，P.

所以＝，＝.

设m＝(x，y，z)是平面PCE的法向量，

则即

可取m＝.

由(1)知＝是平面PCB的一个法向量，

记n＝，则cos 〈n，m〉＝＝.

所以二面角B­PC­E的余弦值为.

向量法求二面角的三个步骤

(1)建立适当的坐标系，写出相应点的坐标；

(2)求出两个半平面的法向量n1，n2；

(3)设两平面的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|.

[注意]　(1)若要求的是二面角，则根据图形判断该二面角是钝角还是锐角，从而用法向量求解；

(2)要注意两平面所成的角与二面角的区别．　　　

[跟踪训练]

在正方体ABCD­A1B1C1D1中，设E，F分别是棱BC，CD的中点，求平面AB1E与平面AD1F所成的角的大小．

解：以A为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示，设正方体的棱长为1，则A(0，0，0)，B1(1，0，1)，E，D1(0，1，1)，F，＝，＝(1，0，1)，＝，＝(0，1，1).

设平面AB1E的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，

则即

令y1＝2，则x1＝－1，z1＝1，

所以n1＝(－1，2，1).

设平面AD1F的法向量为n2＝(x2，y2，z2).

则即

令x2＝2，则y2＝－1，z2＝1.

所以n2＝(2，－1，1).

所以平面AB1E与平面AD1F所成的角的余弦值为＝＝.

所以平面AB1E与平面AD1F所成的角为60°.

[例3]　如图①，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，CD＝2AB＝2BC＝4，过A点作AE⊥CD，垂足为E，现将△ADE沿AE折叠，使得DE⊥EC.取AD的中点F，连接BF，CF，EF，如图②.

(1)求证：BC⊥平面DEC；

(2)求二面角C­BF­E的余弦值．

[解]　(1)证明：∵DE⊥EC，DE⊥AE，AE∩EC＝E，

∴DE⊥平面ABCE，

又∵BC⊂平面ABCE，∴DE⊥BC，

又∵BC⊥EC，DE∩EC＝E，∴BC⊥平面DEC.

(2)如图，以点E为坐标原点，分别以EA，EC，ED所在直线为x，y，z轴建立空间坐标系Exyz，

∴E(0，0，0)，C(0，2，0)，B(2，2，0)，

D(0，0，2)，A(2，0，0)，F(1，0，1)，

设平面EFB的法向量n1＝(x1，y1，z1)，

由＝(1，0，1)，＝(2，2，0)，

∴

∴取x1＝1，得平面EFB的一个法向量n1＝(1，－1，－1)，

设平面BCF的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，

由＝(1，－2，1)，＝(2，0，0)，

∴

取y2＝1，得平面BCF的一个法向量n2＝(0，1，2)，

设二面角C­BF­E的大小为α，

由图可知，α为锐角，

则cos α＝＝＝.

1．与空间角有关的翻折问题的解法

要找准翻折前后的图形中不变的量及变化的量，再结合向量知识求解相关问题．

2．关于空间角的探索问题的处理思路

利用空间向量解决空间角中的探索问题，通常不需要复杂的几何作图、论证、推理，只需先假设结论成立，设出空间的坐标，通过向量的坐标运算进行推断，把是否存在问题转化为点的坐标是否有解的问题来处理．　　

[跟踪训练]

如图，已知三棱柱ABC­A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，M，N分别是CC1，BC的中点，点P在直线A1B1上，且A1P＝λA1B1.

(1)证明：无论λ取何值，总有AM⊥PN；

(2)是否存在点P，使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为30°？若存在，试确定点P的位置；若不存在，请说明理由．

解：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，A1(0，0，1)，B1(1，0，1)，M，N.

∵＝λ＝λ(1，0，0)＝(λ，0，0)，∴P(λ，0，1)，

∴＝，＝.

(1)证明：∵＝，∴·＝0＋－＝0，

∴⊥，∴无论λ取何值，总有AM⊥PN.

(2)假设存在点P满足题意，设n＝(x，y，z)是平面PMN的法向量，

由得

令x＝3，得y＝1＋2λ，z＝2－2λ，

∴n＝(3，1＋2λ，2－2λ)为平面PMN的一个法向量．

易知平面ABC的一个法向量为m＝(0，0，1)，

∴|cos 〈m，n〉|＝＝，化简得4λ2＋10λ＋13＝0.(*)

∵Δ＝100－4×4×13＝－108＜0，∴方程(*)无解，∴不存在点P使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为30°.

1．三棱锥A­BCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1，n2，若〈n1，n2〉＝，则二面角A­BD­C的大小为(　　)

A．　　　　　　　　  B．

C．或     D．或

解析：选C　当二面角A­BD­C为锐角时，它等于〈n1，n2〉＝.当二面角A­BD­C为钝角时，它等于π－〈n1，n2〉＝π－＝.

2.如图，已知△ABC和△BCD均为边长为a的等边三角形，且AD＝a，则二面角A­BC­D的大小为(　　)

A．30°     B．45°

C．60°     D．90°

解析：选C　如图，取BC的中点为E，连接AE，DE，

由题意得AE⊥BC，DE⊥BC，

且AE＝DE＝a，又AD＝a，

∴∠AED＝60°，即二面角A­BC­D的大小为60°.

3．如图所示，在正四棱锥P­ABCD中，若△PAC的面积与正四棱锥的侧面面积之和的比为∶8，则侧面与底面所成的二面角为(　　)

A．     B．

C．     D．

解析：选D　设正四棱锥的底面边长为a，侧面与底面所成的二面角为θ，高为h，斜高为h′，则＝，∴＝，∴sin θ＝，即θ＝.

4．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为________．

解析：建系如图，设正方体的棱长为1，则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，E，∴＝(1，0，1)，＝.

设平面A1ED的一个法向量为n＝(x，y，z)，则n·＝0，

且n·＝0.即

令x＝1，得y＝－，z＝－1.

∴n＝，又平面ABCD的一个法向量为＝(0，0，1).则cos 〈n，〉＝＝＝－.

∴平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为.

答案：

5．三棱锥P­ABC，PA＝PB＝PC＝，AB＝10，BC＝8，CA＝6，求二面角P­AC­B的大小．

解：如图在三棱锥P­ABC中，PA＝PB＝PC＝，AB＝10，BC＝8，CA＝6，

∵AC2＋BC2＝AB2，∴△ABC是以AB为斜边的直角三角形，

∴P在底△ABC的射影D是△ABC的外心，

即斜边AB的中点D是P在底△ABC的射影，

作DE⊥AC，交AC于点E，连接PE，

则∠PED是所求的二面角的平面角，

由题意得DE＝4，PE＝8，cos ∠PED＝＝，

∴∠PED＝60°，∴二面角P­AC­B的大小为60°.