高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.1 坐标法导学案

坐标法

数学家笛卡尔某天躺在床上静静地思考，思考着如何确定事物的位置，这时他发现苍蝇粘在蜘蛛网上，蜘蛛迅速爬过去把它捉住，笛卡尔此时恍然大悟……

[问题]　(1)同学们能说出笛卡尔的新想法吗？

(2)若蜘蛛由位置A爬到位置B，如图所示，你能算出A，B两点间的距离吗？

知识点　两类公式

1．数轴的概念是什么？数轴上的点与实数有怎样的关系？

提示：给定了原点、单位长度和正方向的直线是数轴，数轴上的点与实数是一一对应的．

2．距离公式中与两点的先后顺序有关吗？

提示：无关．

1．已知数轴上A(－4)，B(3)，则|AB|＝________．

答案：7

2．已知A(3，0)，B(－1，a)，且AB中点M(1，2)，则a＝________．

答案：4

3．已知A(－2，3)，B(－2，－3)，则|AB|＝________．

答案：6

[例1]　(1)若点P(x)位于点M(－2)，N(3)之间，求x的取值范围；

(2)试确定点A(a)，B(b)的相对位置关系．

[解]　(1)由题意可知，点M(－2)位于点N(3)的左侧，且点P(x)位于点M(－2)，N(3)之间，所以－2<x<3.

(2)确定两点的位置关系，需要讨论实数a，b的大小关系：当a>b时，点A(a)位于点B(b)的右侧；当a<b时，点A(a)位于点B(b)的左侧；当a＝b时，点A(a)与点B(b)重合．

数轴上的点与实数之间是一一对应的关系，所以点的坐标的大小决定彼此的相互位置，显然右边的点的坐标要大于左边的点的坐标．　

[跟踪训练]

不在数轴上画点，判断下列各组点的相对位置关系：

(1)A(－3.2)，B(－2.3)；

(2)A(m)，B(m2＋1)；

(3)A(|a|)，B(a).

解：(1)因为－2.3>－3.2，所以A(－3.2)位于B(－2.3)的左侧．

(2)因为m2＋1－m＝＋≥>0，

所以m2＋1>m，所以B(m2＋1)位于A(m)的右侧．

(3)当a≥0时，|a|＝a，则A(|a|)和B(a)为同一个点．

当a<0时，|a|>a，则A(|a|)位于B(a)的右侧．

角度一　数轴上两点间的距离

[例2]　已知数轴上点A，B，P的坐标分别为－1，3，x.当点P与点B的距离是点P与点A的距离的3倍时，求点P的坐标x.

[解]　由题意知，|PB|＝3|PA|，即|x－3|＝3|x＋1|，

则(x－3)2＝9(x＋1)2，解得x1＝－3，x2＝0，

所以点P的坐标为－3或0.

[母题探究]

1．(变条件)本例中若点P到点A和点B的距离都是2，求点P的坐标x，此时点P与线段AB有着怎样的关系？

解：由题意知|PA|＝|PB|＝2，

即解得x＝1.

此时点P的坐标为1，显然此时P为线段AB的中点．

2．(变设问)本例中在线段AB上是否存在点P(x)，使得点P到点A和点B的距离都是3？若存在，求出点P的坐标x；若不存在，请说明理由．

解：不存在这样的点P(x).

因为d(A，B)＝|3＋1|＝4，要使点P在线段AB上，且d(P，A)＝d(P，B)＝3，则d(A，B)＝d(P，A)＋d(P，B)，这是不可能的．

求数轴上两点间距离的方法

(1)直接法：已知数轴上两点坐标A(xA)，B(xB)，则A，B两点间的距离d(A，B)＝|xB－xA|；

(2)向量法：已知数轴上两点坐标A(xA)，B(xB)，向量的坐标为＝xB－xA，则d(A，B)＝||(向量的模).　　

角度二　平面上两点间距离公式的应用

[例3]　已知△ABC的三个顶点坐标是A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7).

(1)判断△ABC的形状；

(2)求△ABC的面积．

[解]　(1)∵|AB|＝＝2，

|AC|＝＝2，

又|BC|＝＝2，

∵|AB|2＋|AC|2＝|BC|2且|AB|＝|AC|，

∴△ABC是等腰直角三角形．

(2)△ABC的面积S△ABC＝|AC|·|AB|＝×2×2＝26.

计算两点间距离的方法

(1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则|P1P2|＝；

(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解．　

[跟踪训练]

1．已知矩形相邻两个顶点是A(－1，3)，B(－2，4)，若它的对角线交点在x轴上，求另外两顶点C，D的坐标．

解：设对角线交点为P(x，0)，则|PA|＝|PB|，

即(x＋1)2＋(0－3)2＝(x＋2)2＋(0－4)2，

解得x＝－5，

所以对角线交点为P(－5，0).

所以xC＝2×(－5)－(－1)＝－9，

yC＝2×0－3＝－3，即C(－9，－3)；

xD＝2×(－5)－(－2)＝－8，

yD＝2×0－4＝－4，所以D(－8，－4).

所以另外两顶点的坐标为C(－9，－3)，D(－8，－4).

2．若等腰△ABC的顶点A是(3，0)，底边BC的长为4，BC边的中点为D(5，4)，求等腰△ABC的腰长．

解：因为|AD|＝＝2，在等腰△ABD中，由勾股定理得，|AB|＝＝＝2.所以等腰△ABC的腰长为2.

[例4]　(链接教科书第69页例2)如图所示，四边形ABCD为等腰梯形，利用坐标法证明梯形ABCD的对角线|AC|＝|BD|.

[证明]　建立如图所示的直角坐标系，设A(0，0)，B(a，0)，C(b，c)，则点D的坐标是(a－b，c).

∴|AC|＝＝，

|BD|＝＝，

故|AC|＝|BD|.

解决此类问题的三步曲

(1)建立坐标系，用坐标表示有关的量；

(2)进行有关代数运算；

(3)把代数运算结果“翻译”成几何关系．　

[跟踪训练]

已知△ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的平面直角坐标系，证明：|AM|＝|BC|.

证明：以Rt△ABC的直角边AB，AC所在直线为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设B，C两点的坐标分别为(b，0)，(0，c).

因为点M是BC的中点，故点M的坐标为，即.由两点间距离公式，得

|BC|＝＝，

|AM|＝＝ .

所以|AM|＝|BC|.

1．下列各组点中，点C位于点D的右侧的是(　　)

A．C(－3)和D(－4)　　　　  B．C(3)和D(4)

C．C(－4)和D(3)     D．C(－4)和D(－3)

解析：选A　由数轴上点的坐标可知A正确．

2．已知A(－8，－3)，B(5，－3)，则线段AB的中点坐标为(　　)

A．     B．

C．     D．

解析：选B　由中点坐标公式可以求得．

3．已知数轴上的点P到A(－9)的距离是它到B(－3)的距离的3倍，则点P的坐标为________．

解析：设点P的坐标为x，由|PA|＝3|PB|，则|x＋9|＝3|x＋3|，

解得x＝0或－.

答案：0或－

4．已知点M(x，－4)与点N(2，3)间的距离为7，则x＝________．

解析：由|MN|＝7，

得|MN|＝ ＝7，

即x2－4x－45＝0，

解得x1＝9或x2＝－5.

故所求x的值为9或－5.

答案：9或－5

5．证明三角形中位线的长度等于底边长度的一半．

证明：如图所示，△ABC中D，E分别为边AC和BC的中点，以A为原点，边AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系．设A(0，0)，B(c，0)，C(m，n)，则|AB|＝c.又由中点坐标公式，可得D，E，所以|DE|＝＝，所以|DE|＝|AB|，即三角形中位线的长度等于底边长度的一半．