数学选择性必修 第一册2.2.1 直线的倾斜角与斜率导学案

直线的倾斜角与斜率

三峡大坝是当今世界上最大的水利枢纽工程，大坝拥有三峡展览馆、坛子岭园区、185园区、近坝园区、截流纪念园等五个园区．俯瞰长江，泄洪观景区和185米水位线的观景区波澜壮阔、雷霆万钧．浩大工程展现了国人的智慧和匠心．大坝上不同位置有的坡度“陡峭”，有的“平缓”……

[问题]　“陡峭”和“平缓”在数学中应该如何刻画？

知识点一　直线的倾斜角与斜率

1．直线的倾斜角

(1)定义：给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x轴相交，将x轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为θ，则称θ为这条直线的倾斜角；

(2)范围：直线的倾斜角θ的取值范围是0°～180°，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.

2．直线的斜率

(1)直线的斜率：如果直线l的倾斜角为θ，则当θ≠90°时，称k＝tan θ为直线l的斜率；

(2)斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝．当x1＝x2时，直线P1P2斜率不存在．

1．倾斜角的范围是θ∈[0，π).

2．当θ＝时，直线l的倾斜角为，但斜率不存在．　　

已知直线上一点和该直线的倾斜角，该直线是否唯一确定？

提示：确定．

1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)任一直线都有倾斜角，都存在斜率．(　　)

(2)倾斜角为135°的直线的斜率为1.(　　)

(3)若一条直线的倾斜角为α，则它的斜率为k＝tan α.(　　)

(4)直线斜率的取值范围是(－∞，＋∞).(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

2．若直线l经过原点和(－1，1)，则它的倾斜角是(　　)

A．45°　　　　　　　　　  B．135°

C．45°或135°     D．－45°

解析：选B　作出直线l，如图所示，由图易知，应选B.

3．已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为(　　)

A．     B．

C．1     D．

解析：选A　由题意可知，直线l的斜率k＝tan 30°＝.

4．已知过两点A(4，y)，B(2，－3)直线的斜率为－1，则y＝________．

解析：因kAB＝＝－1，

解得y＝－5.

答案：－5

知识点二　直线的方向向量和法向量

1．直线的方向向量

(1)定义：如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合，则称向量a为直线l的一个方向向量，记作a∥l；

(2)直线的斜率与方向向量的关系

如果已知a＝(u，v)为直线l的一个方向向量，则：

①当u＝0时，直线l的斜率不存在，倾斜角为90°；

②当u≠0时，直线l的斜率k＝.

2．直线的法向量

如果表示非零向量v的有向线段所在直线与直线l垂直，则称向量v为直线l的一个法向量，记作v⊥l.

1．设l是平面直角坐标系中的一条直线，且倾斜角为45°，你能写出该直线的方向向量吗？

提示：(1，1).

2．如果a＝(－1，2)是直线l的一个方向向量，你能写出l的一个法向量吗？

提示：(2，1).

已知直线l经过点A(－1，3)与B(2，0)，则直线l的一个方向向量为________，斜率k＝________，倾斜角θ＝________．

解析：＝(3，－3)＝3(1，－1)，

则k＝－1，θ＝135°

答案：(1，－1)　－1　135°

[例1]　设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为(　　)

A．α＋45°　　　　　　  B．α－135°

C．135°－α     D．α＋45°或α－135°

[解析]　由倾斜角的取值范围知，只有当0°≤α＋45°＜180°(0°≤α＜180°)，即0°≤α＜135°时，l1的倾斜角才是α＋45°.而0°≤α＜180°，所以当135°≤α＜180°时，l1的倾斜角为α－135°(如图).

[答案]　D

求直线的倾斜角的方法及两点注意

(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角；

(2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°；

②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.　　

[跟踪训练]

1.如图，直线l的倾斜角为(　　)

A．60°     B．120°

C．30°     D．150°

解析：选D　由题图易知l的倾斜角为45°＋105°＝150°.

2．已知直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是(　　)

A．0°≤α＜90°     B．90°≤α＜180°

C．90°＜α＜180°     D．0°＜α＜180°

解析：选C　直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角α的取值范围是90°＜α＜180°.

角度一　直线的斜率

[例2]　如图所示，直线l1，l2，l3都经过点P(3，2)，又l1，l2，l3分别经过点Q1(－2，－1)，Q2(4，－2)，Q3(－3，2).

(1)试计算直线l1，l2，l3的斜率；

(2)若还存点Q4(a，3)，试求直线PQ4的斜率．

[解]　(1)由已知得，直线l1，l2，l3的斜率都存在．

设它们的斜率分别为k1，k2，k3.

则由斜率公式得：k1＝＝，k2＝＝－4，k3＝＝0.

(2)当a＝3时，直线PQ4与x轴垂直，此时其斜率不存在．

当a≠3时，其斜率k＝＝.

1．利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项

(1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的；

(2)斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置．

2．在0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记．

角度二　斜率公式的应用

[例3]　已知直线l过点M(m＋1，m－1)，N(2m，1).

(1)当m为何值时，直线l的斜率是1?

(2)当m为何值时，直线l的倾斜角为90°？

[解]　(1)kMN＝＝1，解得m＝.

(2)l的倾斜角为90°，即l平行于y轴，所以m＋1＝2m，得m＝1.

[母题探究]

1．(变设问)若例3条件不变，试求直线l的倾斜角为锐角时实数m的取值范围．

解：由题意知，解得1＜m＜2.

2．(变条件)若将例3中的“N(2m，1)”改为“N(3m，2m)”，其他条件不变，结果如何？

解：(1)由题意知＝1，解得m＝2.

(2)由题意知m＋1＝3m，得m＝.

1．判断两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在．

2．若两点的横坐标不相等，则可以用斜率公式k＝(其中x1≠x2)进行计算．　　

[跟踪训练]

1.如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3之间的大小关系为________．

解析：设l1，l2，l3的倾斜角分别为α1，α2，α3，则由题图可知0＜α3＜α2＜90°＜α1＜180°，又因为正切函数在[0，90°)递增且函数值大于0，在(90°，180°)递增且函数值小于0，所以tan α2＞tan α3＞0，tan α1＜0，故k1＜k3＜k2.

答案：k1＜k3＜k2

2．已知三点A(a，2)，B(3，7)，C(－2，－9a)在同一条直线上，求实数a＝________．

解析：∵A，B，C三点共线，且3≠－2，

∴BC的斜率存在．

∴AB的斜率存在，且kAB＝kBC.

∵kAB＝＝，

kBC＝＝，

∴＝.

∴25＝27a＋21－9a2－7a，

解得a＝2或a＝.

答案：2或

[例4]　已知直线l经过点A(1，2)，B(4，5)，求直线l的一个方向向量和法向量，并确定直线l的斜率与倾斜角．

[解]　＝(4－1，5－2)＝(3，3)是直线l的一个方向向量．由法向量与方向向量垂直，法向量可以为(－1，1).因此直线的斜率k＝1，直线的倾斜角θ满足tan θ＝1，从而θ＝45°.

求直线方向向量和法向量的方法

(1)若A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线上的两个不同的点，则直线l的方向向量为＝(x2－x1，y2－y1)，直线的法向量和方向向量垂直；

(2)直线的方向向量和法向量不唯一．　

[跟踪训练]

已知直线l经过点M(3，3)和N(2，3＋)，求直线l的一个方向向量和法向量，并求直线l的斜率和倾斜角．

解：＝(2－3，3＋－3)＝(－1，)，∴直线l的一个方向向量为(－1，)，

由于法向量与方向向量垂直，

∴法向量v＝(，1)，斜率k＝－，由tan θ＝－知θ＝120°.

1．若经过P(－2，m)和Q(m，4)的直线的斜率为1，则m等于(　　)

A．1     B．4

C．1或3     D．1或4

解析：选A　由题意知kPQ＝＝1，解得m＝1.

2．斜率不存在的直线一定是(　　)

A．过原点的直线

B．垂直于x轴的直线

C．垂直于y轴的直线

D．垂直于坐标轴的直线

解析：选B　只有直线垂直于x轴时，其倾斜角为90°，斜率不存在．

3．若过两点M(3，y)，N(0，)的直线的倾斜角为150°，则y的值为(　　)

A．     B．0　

C．－     D．3

解析：选B　由斜率公式知＝tan 150°，∴＝－，

∴y＝0.

4．已知直线l的倾斜角为α，且0°≤α＜135°，则直线l的斜率的取值范围是________．

解析：设直线的斜率为k，当0°≤α＜90°时，k＝tan α≥0，当α＝90°时无斜率，当90°＜α＜135°时，k＝tan α＜－1，故直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1)∪[0，＋∞).

答案：(－∞，－1)∪[0，＋∞)

5．已知A(1，1)，B(3，5)，C(a，7)，D(－1，b)四点在同一条直线上，求直线的斜率k及a，b的值．

解：由题意可知kAB＝＝2，kAC＝＝，kAD＝＝，

所以k＝2＝＝，解得a＝4，b＝－3，

所以直线的斜率k＝2，a＝4，b＝－3.