高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册第二章　平面解析几何2.6 双曲线及其方程2.6.2 双曲线的几何性质学案

双曲线的几何性质

如图，冷却水塔的纵切面是双曲线，双曲线是非常优美的曲线，也是我们在生产生活中经常用到的曲线，因此，我们有必要探究其有怎样的特性．

[问题]　你能否类比椭圆的几何性质去猜想双曲线有哪些几何性质呢？

知识点　双曲线的几何性质

1．等轴双曲线

(1)实轴与虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线，等轴双曲线的一般方程为－＝1或－＝1(a＞0)；

(2)等轴双曲线的渐近线方程为y＝±x，离心率e＝.

2．共轭双曲线

以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，与原双曲线是一对共轭双曲线．其性质如下：

(1)有相同的渐近线；

(2)有相同的焦距；

(3)离心率不同，但离心率倒数的平方和等于常数1.　

1．能否用a，b表示双曲线的离心率？

提示：能. e＝＝＝.

2．离心率对双曲线开口大小有影响吗？满足什么对应关系？

提示：有影响，因为e＝＝＝，故当的值越大，渐近线y＝x的斜率越大，双曲线的开口越大，e也越大，所以e反映了双曲线开口的大小，即双曲线的离心率越大，它的开口就越大．

1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)共渐近线的双曲线的离心率相同．(　　)

(2)双曲线－＝1与－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线相同．(　　)

(3)双曲线－＝1的渐近线方程是3x±2y＝0.(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)√

2．双曲线－y2＝1的顶点坐标是(　　)

A．(4，0)，(0，1)　　　　　  B．(－4，0)，(4，0)

C．(0，1)，(0，－1)     D．(－4，0)，(0，－1)

答案：B

3．中心在原点，实轴长为10，虚轴长为6的双曲线的标准方程是(　　)

A．－＝1

B．－＝1或－＝1

C．－＝1

D．－＝1或－＝1

答案：B

4．双曲线－＝1(a＞0)的一条渐近线方程为y＝x，则a＝________．

答案：5

角度一　由双曲线方程求解几何性质

[例1]　(2020·北京高考)已知双曲线C：－＝1，则C的右焦点的坐标为________；C的焦点到其渐近线的距离是________．

[解析]　双曲线C：－＝1中，c2＝6＋3＝9，∴c＝3，则C的右焦点的坐标为(3，0)，C的渐近线方程为y＝±x，即y＝±x，即x±y＝0，则C的焦点到其渐近线的距离d＝＝.

[答案]　(3，0)　

由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤

(1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键；

(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值；

(3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质．

[注意]　求性质时一定要注意焦点的位置．　　

角度二　求双曲线的离心率

[例2]　(2020·全国卷Ⅲ)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为y＝x，则C的离心率为________．

[解析]　由双曲线的一条渐近线为y＝x可知，＝，即b＝a.在双曲线中，c2＝a2＋b2，所以c2＝3a2，所以e＝＝.

[答案]　

求双曲线离心率的两种方法

(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解，若已知a，b，可利用e＝ 求解；

(2)方程法：若无法求出a，b，c的具体值，但根据条件可确定a，b，c之间的关系，可通过b2＝c2－a2，将关系式转化为关于a，c的齐次方程，借助于e＝，转化为关于e的n次方程求解．　

[跟踪训练]

1．设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为(　　)

A．y＝±x　　　　　  B．y＝±x

C．y＝±2x     D．y＝±x

解析：选B　由已知可得2b＝2，2c＝2，∴b＝1，c＝，∴a＝＝＝，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x＝± x＝±x.故选B.

2．(2020·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1(a>0)的一条渐近线方程为y＝x，则该双曲线的离心率是________．

解析：由双曲线的一条渐近线方程为y＝x得＝，则该双曲线的离心率e＝＝ ＝.

答案：

3．如果双曲线－＝1右支上总存在到双曲线的中心与右焦点距离相等的两个相异点，则双曲线离心率的取值范围是________．

解析：如图，因为|AO|＝|AF|，F(c，0)，

所以xA＝，因为A在右支上且不在顶点处，所以>a，所以e＝>2.

答案：(2，＋∞)

角度一　构造方程组求双曲线的标准方程

[例3]　(链接教科书第149页习题A3题)求适合下列条件的双曲线的标准方程：

(1)焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为；

(2)两顶点间的距离是6，两焦点的连线被两顶点和对称中心四等分．

[解]　 (1)设所求双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则2b＝8，e＝＝，从而b＝4，c＝a，代入c2＝a2＋b2，得a2＝9，故双曲线的标准方程为－＝1.

(2)由两顶点间的距离是6，得2a＝6，即a＝3.

由两焦点的连线被两顶点和对称中心四等分，可得2c＝4a＝12，即c＝6，于是有b2＝c2－a2＝62－32＝27.

由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.

由几何性质求双曲线标准方程的步骤

(1)确定焦点所在的坐标轴，从而确定双曲线标准方程的形式；

(2)根据双曲线的几何性质建立关于a，b，c的方程(组)，并解出a，b的值；

(3)写出双曲线的标准方程．　　　

角度二　利用渐近线求双曲线的标准方程

[例4]　求过点(2，－2)且与－y2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程．

[解]　法一：当焦点在x轴上时，可知＝，

故可设所求双曲线的方程为－＝1，

代入点(2，－2)得b2＝－2(舍去)；

当焦点在y轴上时，可知＝，

故可设所求双曲线的方程为－＝1，

代入点(2，－2)得a2＝2.

所以所求双曲线的标准方程为－＝1.

法二：因为所求双曲线与已知双曲线－y2＝1有相同的渐近线，所以可设所求双曲线的方程为－y2＝λ(λ≠0)，代入点(2，－2)得λ＝－2，所以所求双曲线的方程为－y2＝－2，化为标准方程为－＝1.

已知渐近线设双曲线标准方程的方法

(1)与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)有共同渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)；

(2)若双曲线的渐近线方程是y＝±x，则双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)；

(3)若双曲线的渐近线方程为mx＋ny＝0或mx－ny＝0，则双曲线的方程可设为(mx＋ny)(mx－ny)＝λ(λ≠0)，即m2x2－n2y2＝λ(λ≠0).　　　

[跟踪训练]

求适合下列条件的双曲线的标准方程：

(1)虚轴长为12，离心率为；

(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x.

解：(1)设双曲线的标准方程为－＝1或－＝1(a>0，b>0).

由题意知2b＝12，＝且c2＝a2＋b2，

∴b＝6，c＝10，a＝8，

∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.

(2)设以y＝±x为渐近线的双曲线方程为

－＝λ(λ≠0)，

当λ>0时，a2＝4λ，∴2a＝2＝6⇒λ＝.

当λ<0时，a2＝－9λ，∴2a＝2＝6⇒λ＝－1.

∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.

[例5]　(2020·全国卷Ⅱ)设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点．若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为(　　)

A．4     B．8

C．16     D．32

[解析]　由题意知双曲线的渐近线方程为y＝±x.因为D，E分别为直线x＝a与双曲线C的两条渐近线的交点，所以不妨设D(a，b)，E(a，－b)，所以S△ODE＝×a×|DE|＝×a×2b＝ab＝8，所以c2＝a2＋b2≥2ab＝16，所以c≥4，所以2c≥8，所以C的焦距的最小值为8，故选B.

[答案]　B

1．双曲线几何性质的综合应用涉及知识较宽，如双曲线定义、标准方程、对称性、渐近线、离心率等多方面的知识，在解决此类问题时要注意与平面几何知识的联系．

2．与双曲线有关的取值范围问题的解题思路

(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解；

(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决．　　

[跟踪训练]

已知定点A，B且|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，则|PA|的最小值为________．

解析：如图所示，点P是以A，B为焦点的双曲线的右支上的点，当P在M处时，|PA|最小，最小值为a＋c＝＋2＝.

答案：

1．(2019·北京高考)已知双曲线－y2＝1(a>0)的离心率是，则a＝(　　)

A．　　　　　　　　　　  B．4

C．2     D．

解析：选D　由双曲线方程－y2＝1，得b2＝1，∴ c2＝a2＋1.∴ 5＝e2＝＝＝1＋.结合a>0，解得a＝.故选D.

2．双曲线x2－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于(　　)

A．     B．

C．1     D．

解析：选B　双曲线x2－y2＝1的渐近线方程为x±y＝0，顶点坐标为(1，0)，(－1，0)，故顶点到渐近线的距离为.

3．已知双曲线的渐近线方程为y＝±，虚轴长为4，则该双曲线的标准方程是________．

解析：若双曲线的焦点在x轴上，则＝，2b＝4，解得b＝2，a＝4，所以此时双曲线的标准方程为－＝1；若双曲线的焦点在y轴上，则＝，2b＝4，解得b＝2，a＝1，所以此时双曲线的标准方程为y2－＝1.综上可知：该双曲线的标准方程是－＝1或y2－＝1.

答案：－＝1或y2－＝1

4．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线方程为y＝±x，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为________．

解析：双曲线右顶点为(a，0)，一条渐近线x－y＝0，

∴1＝＝.∴a＝2，

又＝，∴b＝，∴双曲线方程为－y2＝1.

答案：－y2＝1

5．中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝2，椭圆的长半轴与双曲线半实轴之差为4，离心率之比为3∶7.求这两条曲线的方程．

解：由已知c＝，设椭圆长、短半轴长分别为a，b，双曲线半实轴、半虚轴长分别为m，n，

则

解得a＝7，m＝3.所以b＝6，n＝2.

所以椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1.