人教B版 (2019)选择性必修 第一册第二章　平面解析几何2.7 抛物线及其方程2.7.1 抛物线的标准方程导学案及答案

抛物线的标准方程

如图，在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF上，在拉链D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线．

[问题]　(1)这是一条什么曲线，由画图过程你能给出此曲线的定义吗？

(2)抛物线的定义中，l能经过点F吗？为什么？

知识点一　抛物线的定义

设F是平面内的一个定点，l是不过点F的一条定直线，则平面上到F的距离与到l的距离相等的点的轨迹称为抛物线，其中定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线．

在抛物线定义中，若去掉条件“l不经过点F”，点的轨迹还是抛物线吗？

提示：不一定是．

知识点二　抛物线标准方程的几种形式

四个标准方程的区分

焦点在一次项变量对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定．当系数为正时，开口向坐标轴的正方向；当系数为负时，开口向坐标轴的负方向．　　

1．对抛物线y＝4x2，下列描述正确的是(　　)

A．开口向上，焦点为(0，1)

B．开口向上，焦点为

C．开口向右，焦点为(1，0)

D．开口向右，焦点为

答案：B　

2．若抛物线y2＝8x上一点P到其焦点的距离为10，则点P的坐标为(　　)

A．(8，8)　　　　　　  B．(8，－8)

C．(8，±8)     D．(－8，±8)

答案：C

3．已知动点P到定点(0，2)的距离和它到直线l：y＝－2的距离相等，则点P的轨迹方程为________．

答案：x2＝8y

[例1]　(链接教科书第152页例1)求适合下列条件的抛物线的标准方程：

(1)过点M(－6，6)；

(2)焦点F在直线l：3x－2y－6＝0上．

[解]　(1)由于点M(－6，6)在第二象限，

∴过M的抛物线开口向左或开口向上．

若抛物线开口向左，焦点在x轴上，

设其方程为y2＝－2px(p>0)，

将点M(－6，6)代入，可得36＝－2p×(－6)，

∴p＝3.∴抛物线的方程为y2＝－6x.

若抛物线开口向上，焦点在y轴上，

设其方程为x2＝2py(p>0)，

将点M(－6，6)代入，可得36＝2p×6，

∴p＝3，∴抛物线的方程为x2＝6y.

综上所述，抛物线的标准方程为y2＝－6x或x2＝6y.

(2)①∵直线l与x轴的交点为(2，0)，

∴抛物线的焦点是F(2，0)，∴＝2，∴p＝4，

∴抛物线的标准方程是y2＝8x.

②∵直线l与y轴的交点为(0，－3)，

即抛物线的焦点是F(0，－3)，

∴＝3，∴p＝6，

∴抛物线的标准方程是x2＝－12y.

综上所述，所求抛物线的标准方程是y2＝8x或x2＝－12y.

求抛物线的标准方程的方法

[注意]　当抛物线的焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设y2＝ax或x2＝ay(a≠0)的形式，以简化讨论过程．　　　　

[跟踪训练]

1．抛物线2y2－5x＝0的焦点坐标为________，准线方程为________．

解析：将2y2－5x＝0变形为y2＝x，

∴2p＝，p＝，

∴焦点坐标为，

准线方程为x＝－.

答案：　 x＝－

2．根据下列条件写出抛物线的标准方程：

(1)焦点到准线的距离是5；

(2)焦点F在y轴上，点A(m，－2)在抛物线上，且|AF|＝3.

解：(1)由题意知p＝5，则2p＝10.因为没有说明焦点所在坐标轴和开口方向，所以四种类型的抛物线都有可能，故标准方程可为y2＝10x，y2＝－10x，x2＝10y，x2＝－10y.

(2)由题意可设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p＞0).由|AF|＝3，得＋2＝3，所以p＝2.所以抛物线的标准方程为x2＝－4y.

[例2]　(1)(2020·全国卷Ⅰ)已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝(　　)

A．2　　　　　　　　　　  B．3

C．6     D．9

(2)若位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大.求点M的轨迹方程．

(1)[解析]　法一：因为点A到y轴的距离为9，所以可设点A(9，yA)，所以y＝18p.又点A到焦点的距离为12，所以 ＝12，所以＋18p＝122，即p2＋36p－252＝0，解得p＝－42(舍去)或p＝6.故选C.

法二：根据抛物线的定义及题意得，点A到C的准线x＝－的距离为12，因为点A到y轴的距离为9，所以＝12－9，解得p＝6.故选C.

[答案]　C

(2)[解]　由于位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大，

所以动点M到F的距离与它到直线l：x＝－的距离相等．

由抛物线的定义知动点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线(不包含原点)，

其方程应为y2＝2px(p>0)的形式，

而＝，所以p＝1，2p＝2，

故点M的轨迹方程为y2＝2x(x≠0).

[母题探究]

1．(变结论)若本例(2)中点M所在轨迹上一点N到点F的距离为2，求点N的坐标．

解：设点N的坐标为(x0，y0)，则|NF|＝2.又点M的轨迹方程为y2＝2x(x≠0)，所以由抛物线的定义得x0＋＝2，解得x0＝.因为y＝2x0，所以y0＝±，故点N的坐标为或.

2．(变结论)若本例(2)中增加一点A(3，2)，其他条件不变，求|MA|＋|MF|的最小值，并求出点M的坐标．

解：如图，由于点M在抛物线上，所以|MF|等于点M到其准线l的距离|MN|，于是|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MN|≥|AN|＝3＋＝.当A，M，N三点共线时，|MA|＋|MN|取最小值，亦即|MA|＋|MF|取最小值，这时M的纵坐标为2.可设M(x0，2)，代入抛物线方程得x0＝2，即M(2，2).

抛物线定义的两种应用

(1)实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距离与点线距离的相互转化，从而简化某些问题；

(2)解决最值问题．在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．　

圆锥曲线的共性探究

(链接教科书第136页习题C1题、第149页习题C2题)设动点M到定点F(－c，0)的距离与它到直线l：x＝－的距离之比为.

(1)当a＞c＞0时，求点M的轨迹方程；

(2)当c＞a＞0时，求点M的轨迹方程．

(链接教科书第150页)抛物线的定义．

[问题探究]

由上述教材中两道典型习题结合链接教材抛物线的定义可知，三种曲线都是动点M到定点F的距离和它到定直线l的距离之比是一个常数，当这个常数大于0且小于1时，动点轨迹为椭圆；当常数等于1时为抛物线；当常数大于1时为双曲线．

结论：动点M到定点F的距离与到定直线l的距离之比为一个常数，即＝e.

(1)当0＜e＜1时，动点M的轨迹是椭圆；

(2)当e＝1时，动点M的轨迹是抛物线；

(3)当e＞1时，动点M的轨迹是双曲线．此时定点F为圆锥曲线的一个焦点，定直线l叫作圆锥曲线对应该焦点F的一条准线x＝，常数e就是该圆锥曲线的离心率，此结论称为圆锥曲线的统一定义(也称为第二定义)．

[迁移应用]

(2018·全国卷Ⅰ)设椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2，0).

(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；

(2)设O为坐标原点，证明∠OMA＝∠OMB.

解：(1)由已知得F(1，0)，直线l的方程为x＝1，点A的坐标为或，又M(2，0)，∴AM的方程为y＝－ x＋或y＝x－.

(2)证明：由＋y2＝1结合圆锥曲线的统一定义可知，M点为椭圆的右准线x＝2与x轴的交点，如图所示．

当直线l与x轴重合时，∠OMA＝∠OMB＝0°，

当l与x轴不重合时，过点A，B分别作x＝2的垂线，垂足分别是C，D，则有AC∥BD∥x轴．

由结论可知＝e，＝e，∴＝，即＝，

又∵AC∥BD∥x轴，∴＝，∴＝，且∠ACM＝∠BDM＝90°，

∴△ACM∽△BDM，可得∠AMC＝∠BMD，

∴∠OMA＝∠OMB.

1．抛物线y2＝4x上的点M(4，y0)到其焦点F的距离为(　　)

A．3　　　　　　　　　　　  B．4

C．5     D．6

解析：选C　由抛物线y2＝4x，得F(1，0)，如图，|FM|＝4＋＝4＋1＝5.

2．抛物线的准线方程为x＝－4，则抛物线方程为(　　)

A．x2＝16y     B．x2＝8y

C．y2＝16x     D．y2＝8x

解析：选C　抛物线的准线为x＝－4，易知抛物线是开口向右的抛物线．设方程为y2＝2px(p＞0)，则＝4，p＝8，抛物线方程为y2＝16x.

3．如果抛物线y2＝2px的准线是直线x＝－2，那么它的焦点坐标为________．

解析：因为准线方程为x＝－2＝－，即p＝4，所以焦点为(2，0).

答案：(2，0)

4．若抛物线y2＝2px(p≠0)的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则实数p＝________．

解析：因为椭圆＋＝1，所以a2＝6，b2＝2，

所以c2＝a2－b2＝4，故c＝2，

所以右焦点为(2，0)，所以＝2，p＝4.

答案：4

5．抛物线y2＝－2px(p＞0)上有一点M的横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求此抛物线方程和M点的坐标．

解：设焦点为F，

M点到准线的距离为d，

则d＝|MF|＝10，

即9＋＝10，∴p＝2，

∴抛物线方程为y2＝－4x.

将M(－9，y)代入抛物线的方程，

得y＝±6.∴M点坐标为(－9，6)或(－9，－6).