高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.7.2 抛物线的几何性质导学案

抛物线的几何性质

在现实生活中有许多抛物线的原型，如桥拱、卫星接收天线、曲线与轴截面的交线等，抛掷出的铅球在天空中划过的轨迹也是抛物线的一部分……

[问题]　(1)类比椭圆、双曲线的几何性质，结合图像，你能否猜想出抛物线的几何性质呢？

(2)参数p对抛物线开口大小有何影响？

知识点　抛物线的简单几何性质

抛物线的标准方程与对称性、焦点位置的关系

1．抛物线x2＝2py(p＞0)有几条对称轴？

提示：有一条对称轴．

2．抛物线的范围是x∈R，这种说法正确吗？

提示：抛物线的方程不同，其范围就不一样，如y2＝2px(p＞0)的范围是x≥0，y∈R，故此说法错误．

1．顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为(　　)

A.x2＝±3y　　　　　  B．y2＝±6x

C．x2＝±12y     D．y2＝±12x

解析：选C　可设抛物线方程为x2＝2py(p＞0)或x2＝－2py(p＞0)，依题意知＝3，∴p＝6.∴抛物线方程为x2＝±12y.

2．设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是(　　)

A．(6，＋∞)     B．[6，＋∞)

C．(3，＋∞)     D．[3，＋∞)

解析：选D　∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，

∴＝3，即p＝6.

又抛物线上的点到准线距离的最小值为，

∴抛物线上的点到准线距离的取值范围为[3，＋∞).

3．若双曲线－＝1(p>0)的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p＝________．

答案：4

[例1]　(1)(链接教科书第156页例1)已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长为2，求抛物线的方程；

(2)设P是抛物线y2＝4x上任意一点，设A(3，0)，求|PA|的最小值．

[解]　(1)设所求抛物线的方程为y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0)，抛物线与圆的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)，则|y1|＋|y2|＝2，即y1－y2＝2.由对称性，知y2＝－y1，代入上式，得y1＝，把y1＝代入x2＋y2＝4，得x1＝±1，所以点(1，)在抛物线y2＝2px上，点(－1，)在抛物线y2＝－2px上，可得p＝.于是所求抛物线的方程为y2＝3x或y2＝－3x.

(2)设点P的坐标为(x，y)，则y2＝4x，x≥0，

|PA|2＝(x－3)2＋y2＝x2－6x＋9＋4x＝x2－2x＋9＝(x－1)2＋8.

当x＝1时，|PA|的最小值为2.

1．几何性质在求抛物线方程中的应用

(1)代数法：将几何性质转化为坐标表达式，解方程(组)求出未知数；

(2)几何法：将几何性质与抛物线定义相结合，采用几何法求出焦点到准线的距离，从而得到抛物线的标准方程．

2．研究抛物线的性质，把握三个要点

(1)开口方向：由抛物线标准方程看其开口方向，关键是看准一次项是x还是y，一次项的系数是正还是负；

(2)位置关系：顶点位于焦点和准线与坐标轴的交点中间，准线垂直于对称轴；

(3)定值：焦点到准线的距离为p，过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p.　　　　

[跟踪训练]

1．(2020·全国卷Ⅲ)设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为(　　)

A．　　　　　　　  B．

C．(1，0)     D．(2，0)

解析：选B　将直线方程与抛物线方程联立，可得y＝±2，不妨设D(2，2)，E(2，－2)，由OD⊥OE，可得·＝4－4p＝0，解得p＝1，所以抛物线C的方程为y2＝2x，其焦点坐标为.

2．抛物线x2＝2y上与点M(0，2)距离最近的点的坐标为________．

解析：设抛物线x2＝2y上任意一点P.

由两点间的距离公式，得

|PM|＝ ＝，

∴当x2＝2时，|PM|取最小值．

此时，x＝±，y＝1，

∴抛物线x2＝2y上与点M(0，2)距离最近的点坐标为(±，1).

答案：(±，1)

[例2]　过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且A，B两点的纵坐标之积为－4，求抛物线C的方程．

[解]　由于抛物线的焦点F，

故可设直线AB的方程为x＝my＋.

由得y2－2pmy－p2＝0，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2＝－p2，

∴－p2＝－4，由p>0，可得p＝2，

∴抛物线C的方程为y2＝4x.

1．已知AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦，F为抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：

(1)y1y2＝－p2，x1x2＝；

(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ为直线AB的倾斜角)；

(3)S△ABO＝(θ为直线AB的倾斜角)；

(4)＋＝；

(5)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．

2．当直线经过抛物线的焦点，且与抛物线的对称轴垂直时，直线被抛物线截得的线段称为抛物线的通径，显然通径长等于2p.　

[跟踪训练]

已知抛物线的顶点在原点，x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为的直线被抛物线所截得的弦长为6，求抛物线的标准方程．

解：当抛物线焦点在x轴正半轴上时，可设抛物线标准方程为y2＝2px(p>0)，则焦点F，直线l的方程为y＝x－.设直线l与抛物线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，过点A，B向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点A1，点B1(图略)，则|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AA1|＋|BB1|＝＋＝x1＋x2＋p＝6，

∴x1＋x2＝6－p.　①

由消去y，得＝2px，即x2－3px＋＝0.∴x1＋x2＝3p，代入①式得3p＝6－p，∴p＝.∴所求抛物线的标准方程是y2＝3x.

同理可求出当抛物线焦点在x轴负半轴上时

抛物线的标准方程是y2＝－3x.

故所求抛物线标准方程为y2＝3x或y2＝－3x.

[例3]　(链接教科书第158页习题A5题)某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔，已知上部呈抛物线形，跨度为20 m，拱顶距水面6 m，桥墩高出水面4 m．现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过18 m，目前吃水线上部中央船体高5 m，宽16 m，且该货船在现有状况下还可多装1 000 t货物，但每多装150 t货物，船体吃水线就要上升0.04 m．若不考虑水下深度， 问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么？

[解]　如图所示，以拱顶为原点，过拱顶的水平直线为x轴，竖直直线为y轴，建立平面直角坐标系．

因为拱顶距水面6 m，桥墩高出水面4 m，所以A(10，－2).

设桥孔上部抛物线方程是x2＝－2py(p>0)，

则102＝－2p×(－2)，所以p＝25，

所以抛物线方程为x2＝－50y，即y＝－x2.

若货船沿正中央航行，船宽16 m，而当x＝8时，

y＝－×82＝－1.28，

即船体在x＝±8之间通过点B(8，－1.28)，此时B点距水面6＋(－1.28)＝4.72(m).

而船体高为5 m，所以无法通行．

又因为5－4.72＝0.28(m)，0.28÷0.04＝7，

150×7＝1 050(t)，

所以若船通过增加货物通过桥孔，则要增加1 050 t，而船最多还能装1 000 t货物，所以货船在现有状况下不能通过桥孔．

求抛物线实际应用的五个步骤

[跟踪训练]

汽车前灯的反光曲面与轴截面的交线为抛物线，灯口直径为197 mm，反光曲面的顶点到灯口的距离是69 mm.由抛物线的性质可知，当灯泡安装在抛物线的焦点处时，经反光曲面反射后的光线是平行光线．为了获得平行光线，应怎样安装灯泡？(精确到1 mm)

解：如图，在车灯的一个轴截面上建立平面直角坐标系，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，灯泡应安装在其焦点F处．在x轴上取一点C，使|OC|＝69 mm，过点C作x轴的垂线，交抛物线于A，B两点，线段AB就是灯口的直径，即|AB|＝197 mm，则点A的坐标为.

将点A的坐标代入方程y2＝2px(p>0)，解得p≈70，此时焦点F的坐标约为(35，0).

因此，灯泡应安装在对称轴上距顶点约35 mm处．

1．若抛物线y2＝2x上有两点A，B且AB垂直于x轴，若|AB|＝2，则抛物线的焦点到直线AB的距离为(　　)

A．　　　　　　　　　　　  B．

C．     D．

解析：选A　线段AB所在的直线方程为x＝1，抛物线的焦点坐标为，则焦点到直线AB的距离为1－＝.

2．在抛物线y2＝16x上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为(　　)

A．(4，±2)     B．(±4，2)

C．(±2，4)     D．(2，±4)

解析：选D　抛物线y2＝16x的顶点O(0，0)，焦点F(4，0)，设P(x，y)符合题意，则有

⇒⇒

所以符合题意的点为(2，±4).

3．过抛物线x2＝4y的焦点F作直线l交抛物线于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，若y1＋y2＝6，则|P1P2|＝(　　)

A．5     B．6

C．8     D．10

解析：选C　抛物线x2＝4y的准线为y＝－1，因为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点是过抛物线焦点的直线l与抛物线的交点，

所以P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点到准线的距离分别是y1＋1，y2＋1，

所以|P1P2|＝y1＋y2＋2＝8.

4．已知AB是过抛物线2x2＝y的焦点的弦，若|AB|＝4，则AB的中点的纵坐标是________．

解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由抛物线2x2＝y，可得p＝.

∵|AB|＝y1＋y2＋p＝4，

∴y1＋y2＝4－＝，故AB的中点的纵坐标是＝.

答案：

5．已知点P(1，m)是抛物线C：y2＝2px上的点，F为抛物线的焦点，且|PF|＝2，直线l：y＝k(x－1)与抛物线C相交于不同的两点A，B.

(1)求抛物线C的方程；

(2)若|AB|＝8，求k的值．

解：(1)抛物线C：y2＝2px的准线为x＝－，

由|PF|＝2得1＋＝2，得p＝2.

∴抛物线的方程为y2＝4x.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由

可得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，Δ＝16k2＋16＞0，

∴x1＋x2＝.

∵直线l经过抛物线C的焦点F，

∴|AB|＝x1＋x2＋p＝＋2＝8，

解得k＝±1，

∴k的值为1或－1.