人教B版 (2019)必修 第一册1.1.2 集合的基本关系学案

集合的基本关系

(1)在具体情境中，了解空集的含义．

(2)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．

新知初探·自主学习——突出基础性

知识点一　子集

状元随笔　“A是B的子集”的含义是：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即任意x∈A都能推出x∈B.

知识点二　真子集

　　　一般地，如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集，记作AB(或BA)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”)．

状元随笔　在真子集的定义中，A B首先要满足A  ⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A.

知识点三　集合相等

一般地，如果集合A和集合B的元素完全相同，则称集合A与集合B相等，记作A＝B，读作“A等于B”．

由集合相等的定义可知：如果A⊆B且B⊆A，则A＝B；反之，如果A＝B，则A⊆B且B⊆A.

知识点四　子集、真子集的性质

根据子集、真子集的定义可知：

(1)对于集合A，B，C，如果A⊆B，B⊆C，则A⊆C；

(2)对于集合A，B，C，如果AB，BC，则AC.

基础自测

1.集合{0，1}的子集有(　　)

A．1个　　　B．2个

C．3个　D．4个

2．下列各组中的两个集合M和N，表示相等集合的是(　　)

A．M＝{π}，N＝{3.14159}

B．M＝{2，3}，N＝{(2，3)}

C．M＝{x|－1＜x≤1，x∈N}，N＝{1}

D．M＝{1，，π}，N＝{π，1，|－|}

3．(多选)已知集合A＝{x|－1－x＜0}，则下列各式不正确的是(　　)

A．0⊆AB．{0}∈A

C．∅∈AD．{0}⊆A

4．已知集合A＝{－1，3，2m－1}，集合B＝{3，m2}，若B⊆A，则实数m＝________．

课堂探究·素养提升——强化创新性

题型1　集合间关系的判断[经典例题]

例1　(1)下列各式中，正确的个数是(　　)

①{0}∈{0，1，2}；②{0，1，2}⊆{2，1，0}；③∅⊆{0，1，2}；④∅＝{0}；⑤{0，1}＝{(0，1)}；⑥0＝{0}．

A．1　　B．2

C．3D．4

根据元素与集合、集合与集合之间的关系直接判断①②③④⑥，对于⑤应先明确两个集合中的元素是点还是实数．

(2)指出下列各组集合之间的关系：

①A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}；

②A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；

③M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．

方法归纳

判断集合间关系的方法

(1)用定义判断

首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A⊆B，否则A不是B的子集；

其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B⊆A，否则B不是A的子集；

若既有A⊆B，又有B⊆A，则A＝B.

(2)数形结合判断

对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍．

跟踪训练1　(1)若集合M＝{x|x2－1＝0}，T＝{－1，0，1}，则M与T的关系是(　　)

A．MTB．MT

C．M＝TD.MT

(2)用Venn图表示下列集合之间的关系：A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是矩形}，D＝{x|x是正方形}．

学习完知识点后，我们可以得到B ⊆A，C ⊆A，D ⊆A，D ⊆B，D ⊆C.

题型2　子集、真子集及个数问题[教材P11例1]

例2　写出集合A＝{6，7，8}的所有子集和真子集．

【解析】　如何才能一个不漏地写出这个集合的所有子集呢？注意到集合A含有3个元素，因此它的子集含有的元素个数为0，1，2，3.可依下列步骤来完成此题：

(1)写出元素个数为0的子集，即∅；

(2)写出元素个数为1的子集，即{6}，{7}，{8}；

(3)写出元素个数为2的子集，即{6，7}，{6，8}，{7，8}；

(4)写出元素个数为3的子集，即{6，7，8}．

集合A的所有子集是∅，{6}，{7}，{8}，{6，7}，{6，8}，{7，8}，{6，7，8}．

在上述子集中，除去集合A本身，即{6，7，8}，剩下的都是A的真子集．

状元随笔　写出集合的子集时易忘∅，真子集是在子集的基础上去掉自身．

教材反思

1．求集合子集、真子集个数的三个步骤

2．若集合A中含有n个元素，集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2.

跟踪训练2　(1)已知集合A＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈N|0＜x＜5}，则满足条件ACB的集合C的个数为(　　)

A.1B．2

C．3D．4

(2)已知集合A＝{x∈R|x2＝a}，使集合A的子集个数为2个的a的值为(　　)

A．－2B．4

C．0D．以上答案都不是

状元随笔　(1)先用列举法表示集合A，B，然后根据A C B确定集合C.

(2)先确定关于x的方程x2＝a解的个数，然后求a的值．

题型3　根据集合的包含关系求参数[经典例题]

例3　已知集合A＝{x|1＜ax＜2}，B＝{x|－1＜x＜1}，求满足A⊆B的实数a的取值范围．

状元随笔　①欲解不等式1＜ax＜2，需不等号两边同除以a，而a的正负不同时，不等号的方向不同，因此需对a分a＝0，a＞0，a＜0进行讨论．

②A ⊆B用数轴表示如图所示：(a＞0时)

由图易知，和需在－1与1之间．当＝－1，或＝1时，说明A与B的某一端点重合，并不是说其中的元素能够取到端点，如＝1时，A＝{x|＜x＜1}，x取不到1.

③a＜0时，不等式两端除以a，不等号的方向改变．

方法归纳

(1)分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合．

(2)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．

(3)此类问题还应注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，初学者会想当然认为非空集合而丢解，因此分类讨论思想是必需的．

跟踪训练3　设集合A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}．

(1)若a＝，试判定集合A与B的关系．

(2)若B⊆A，求实数a的取值集合．

状元随笔　(1)解方程x2－8x＋15＝0，求出A，当a＝时，求出B，由此能判定集合A与B的关系．

(2)分以下两种情况讨论，求实数a的取值集合．

①B＝∅，此时a＝0；

②B≠∅，此时a≠0.

易错点　忽略空集的特殊性致误　

例　设M＝{x|x2－2x－3＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若N⊆M，求所有满足条件的a的取值集合．

【错解】　由N⊆M，M＝{x|x2－2x－3＝0}＝{－1，3}，

得N＝{－1}或{3}．

当N＝{－1}时，由＝－1，得a＝－1.

当N＝{3}时，由＝3，得a＝.

故满足条件的a的取值集合为{-1，}.

【正解】　由N⊆M，M＝{x|x2－2x－3＝0}＝{－1，3}，

得N＝∅或N＝{－1}或N＝{3}．

当N＝∅时，ax－1＝0无解，即a＝0.

当N＝{－1}时，由＝－1，得a＝－1.

当N＝{3}时，由＝3，得a＝.

故满足条件的a的取值集合为{-1，0，}.

【易错警示】

1．1.2　集合的基本关系

新知初探·自主学习

知识点一

任意一个　包含　A⊆B(或B⊇A)　A包含于B　B包含A

[基础自测]

1．解析：集合{0，1}的子集为∅，{0}，{1}，{0，1}．

答案：D

2．解析：选项A中两个集合的元素互不相等，选项B中两个集合一个是数集，一个是点集，选项C中集合M＝{0，1}，只有D是正确的．

答案：D

3．解析：集合A＝{x|－1－x<0}＝{x|x>－1}，所以0∈A，{0}⊆A，ABC不正确．

答案：ABC

4．解析：∵B⊆A，∴2m－1＝m2，∴m＝1.

答案：1

课堂探究·素养提升

例1　【解析】　(1)对于①，是集合与集合的关系，应为{0}{0，1，2}；对于②，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于③，空集是任何集合的子集；对于④，{0}是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以∅{0}；对于⑤，{0，1}是含有两个元素0与1的集合，而{(0，1)}是以有序数组(0，1)为元素的单元素集合，所以{0，1}与{(0，1)}不相等；对于⑥，0与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}．故②③是正确的，应选B.

(2)①集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．

②等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB.

③方法一　两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故NM.

方法二　由列举法知M＝{1，3，5，7，…}，N＝{3，5，7，9，…}，所以NM.

【答案】　(1)B　(2)见解析

跟踪训练1　解析：(1)因为M＝{x|x2－1＝0}＝{－1，1}，又T＝{－1，0，1}，所以MT.

(2)根据几何图形的相关知识明确各元素所在集合之间的关系，再画Venn图．如图

答案：(1)A　(2)见解析

跟踪训练2　解析：(1)由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2，所以A＝{1，2}．由题意知B＝{1，2，3，4}，所以满足条件的C可为{1，2，3}，{1，2，4}．

(2)由题意知，集合A中只有1个元素，必有x2＝a只有一个解；

若方程x2＝a只有一个解，必有a＝0.

答案：(1)B 　(2)C

例3　【解析】　(1)当a＝0时，①

A＝∅，满足A⊆B.

(2)当a>0时，A＝.

又∵B＝{x|－1<x<1}，且A⊆B，∴②

∴a≥2.

(3) 当a<0时，A＝.③

∵A⊆B，∴∴a≤－2.

综上所述，a的取值范围是{a|a＝0或a≥2或a≤－2}．

跟踪训练3　解析：(1)由x2－8x＋15＝0得x＝3或x＝5，故A＝{3，5}，当a＝时，由ax－1＝0得x＝5.所以B＝{5}，所以BA.

(2)当B＝∅时，满足B⊆A，此时a＝0；当B≠∅，a≠0时，集合B＝，由B⊆A得＝3或＝5，所以a＝或a＝.

综上所述，实数a的取值集合为.