人教B版 (2019)必修 第一册2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系学案

一元二次方程的解集及其根与系数的关系

新知初探·自主学习——突出基础性

知识点一　b2－4ac(Δ)的取值与根的个数间的关系

知识点二　一元二次方程根与系数的关系

若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根，则x1＋x2＝____________，x1x2＝____________．

状元随笔　应用一元二次方程的根与系数的关系时，常有以下变形：

)－2x1x2＝(x1＋x2)2－2x1x2；

(2)(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2；

(3)|x1－x2|＝＝；

(4)＝；

(5)＝＝.

基础自测

1.方程x2－2kx＋3k2＝0的根的情况是(　　)

A．有一个实数根

B．有两个不相等的实数根

C．有两个相等的实数根

D．没有实数根

2．已知x1，x2是关于x的方程x2＋bx－3＝0的两根，且满足x1＋x2－3x1x2＝5，那么b的值为(　　)

A．4　　B．－4

C．3D．－3

3．若代数式x2－6x＋5的值是12，则x的值为(　　)

A．7或－1B．1或－5

C．－1或－5D．不能确定

4．已知一元二次方程x2－2x－1＝0的两根分别为x1，x2，则＝________．

课堂探究·素养提升——强化创新性

题型1　方程根个数的判断及应用[经典例题]

先求出a再判断根的个数

例1　若关于x的不等式x－＜1的解集为x＜1，试判断关于x的一元二次方程x2＋ax＋1＝0的根的情况．

状元随笔　(1)解一元一次不等式，利用解集求a.

(2)Δ＝a2－4，利用Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0的情况讨论根的情况．

方法归纳

对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，有

(1)当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x1，2＝；

(2)当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝－；

(3)当Δ＜0时，方程没有实数根．

跟踪训练1　已知关于x的一元二次方程3x2－2x＋k＝0，根据下列条件，分别求出k的范围．

(1)方程有两个不相等的实数根；

(2)方程有两个相等的实数根．

题型2　直接应用根与系数的关系进行计算[教材P50例2]

例2　已知一元二次方程2x2＋3x－4＝0的两根为x1与x2，求下列各式的值：

；

(2)|x1－x2|.

【解析】　由一元二次方程根与系数的关系，得

x1＋x2＝－，x1x2＝－2.

(1)由上有

＝(x1＋x2)2－2x1x2＝－2×(－2)＝.

(2)因为

(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝－4×(－2)＝，

所以

|x1－x2|＝＝.

教材反思

在求含有一元二次方程两根的代数式的值时，利用根与系数的关系解题可起到化难为易、化繁为简的作用．在计算时，要先根据原方程求出两根之和与两根之积，再将代数式变形为局部含有两根之和与两根之积的形式，然后代入求值．

跟踪训练2　已知一元二次方程x2＋3x－1＝0的两根分别是x1，x2，请利用根与系数的关系求：

；

(2).

题型3　应用根与系数的关系求字母系数的值或范围

[经典例题]例3　已知关于x的方程x2－(k＋1)x＋k2＋1＝0，根据下列条件，求出k的值．

(1)方程两实根的积为5；

(2)方程的两实根x1，x2，满足|x1|＝x2.

方法归纳

利用一元二次方程根与系数的关系求待定字母的值时，务必注意根与系数的关系的应用前提条件，即Δ≥0.

跟踪训练3　(1)关于x的方程x2－(m＋6)x＋m2＝0有两个相等的实数根，且满足x1＋x2＝x1x2，则m的值是(　　)

A．－2或3　　B．3

C．－2D．－3或2

(2)已知：方程2x2－(k＋1)x＋k＋3＝0的两根之差为1，则k的值为________．

2．1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系

新知初探·自主学习

知识点一

两个不相等　　两个相等的实数根　无实数根

知识点二

－

[基础自测]

1．解析：Δ＝(－2k)2－12k2＝12k2－12k2＝0.

答案：C

2．解析：由题知x1＋x2＝－b，x1x2＝－3，

则x1＋x2－3x1x2＝－b－3×(－3)＝5，

解得b＝4.

答案：A

3．解析：由题意得x2－6x＋5＝12，x2－6x＋5－12＝0，

x2－6x－7＝0，∴x＝，

解得x1＝－1，x2＝7.故选A.

答案：A

4．解析：因为x1，x2是方程x2－2x－1＝0的两个根，

所以x1＋x2＝2，x1x2＝－1，

所以＝＝－2.

答案：－2

课堂探究·素养提升

例1　【解析】　解不等式x－<1，得x<1＋，而不等式x－<1的解集为x<1，所以1＋＝1，解得a＝0，所以一元二次方程的根的判别式Δ＝a2－4＝－4<0，所以关于x的一元二次方程x2＋ax＋1＝0没有实数根．

跟踪训练1　解析：Δ＝(－2)2－4×3k＝4(1－3k)．

(1)因为方程有两个不相等的实数根，

所以Δ>0，即4(1－3k)>0，

所以k<.

(2)因为方程有两个相等的实数根，

所以Δ＝0，即4(1－3k)＝0，

所以k＝.

跟踪训练2　解析：根据一元二次方程根与系数的关系，得x1＋x2＝－3，x1x2＝－1.

＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(－3)2－2×(－1)＝11.

(2)＝＝＝3.

例3　【解析】　Δ＝[－(k＋1)]2－4×＝2k－3，

Δ≥0，k≥.

(1)设方程的两个根为x1，x2，x1x2＝k2＋1＝5，

k2＝16，k＝4或k＝－4(舍)．

(2)①若x1≥0，则x1＝x2，Δ＝0，k＝.

方程为x2－x＋＝0，x1＝x2＝>0满足．

②若x1<0，则x1＋x2＝0，即k＋1＝0，k＝－1.

方程为x2＋＝0而方程无解，

所以k≠－1，所以k＝.

跟踪训练3　解析：(1)∵x1＋x2＝m＋6，x1x2＝m2，x1＋x2＝x1x2，

∴m＋6＝m2，解得m＝3或m＝－2.

∵方程x2－(m＋6)x＋m2＝0有两个相等的实数根，

∴Δ＝[－(m＋6)]2－4m2＝－3m2＋12m＋36＝0，

解得m＝6或m＝－2.

∴m＝－2.

(2)设x1，x2为方程的两个根，则，

|x1－x2|＝1，－2(k＋3)＝1，k＝9或k＝－3.

检验当k＝9或k＝－3时，Δ≥0成立．

答案：(1)C　(2)－3或9