高中数学人教B版 (2019)必修 第一册2.2.3 一元二次不等式的解法导学案

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第一册2.2.3 一元二次不等式的解法导学案，共15页。

知识点 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
状元随笔 一元二次不等式的解法：
(1)图像法：一般地，当a＞0时，解形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)的一元二次不等式，一般可分为三步：
①确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解；②画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图像简图；③由图像得出不等式的解集．
对于a＜0的一元二次不等式，可以直接采取类似a＞0时的解题步骤求解；也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式，再求解．
(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解，当p＜q时，若(x－p)(x－q)＞0，则x＞q或x＜p；若(x－p)(x－q)＜0，则p＜x＜q.有口诀如下“大于取两边，小于取中间”．
基础自测
1．下列不等式中是一元二次不等式的是( )
A．a2x2＋2≥0B．1x2＜3
C．－x2＋x－m≤0D．x3－2x＋1＞0
2．不等式x(x＋1)≤0的解集为( )
A．[－1，＋∞) B．[－1，0)
C．(－∞，－1] D．[－1，0]
3．函数y＝17-6x-x2的定义域为( )
A．[－7，1] B．(－7，1)
C．(－∞，－7]∪1，+∞ D.-∞，-7∪1，+∞
4．不等式1＋2x＋x2≤0的解集为________．
课堂探究·素养提升——强化创新性
题型1 解不含参数的一元二次不等式[教材P65例1 P66例3、例4]
例1 (1)求不等式x2－x－2＞0的解集．
(2)求不等式x2－6x－1≤0的解集．
(3)求不等式－x2＋2x－1＜0的解集．
【解析】 (1)因为x2－x－2＝(x＋1)(x－2)，
所以原不等式等价于(x＋1)(x－2)＞0，因此所求解集为(－∞，－1)∪2，+∞．
(2)因为x2－6x－1＝x2－6x＋9－9－1＝(x－3)2－10，
所以原不等式可化为(x－3)2－10≤0，即(x－3)2≤10，
两边开平方得|x－3|≤10，从而可知－10≤x－3≤10，
因此3－10≤x≤3＋10，所以不等式的解集为
[3－10，3＋10].
(3)原不等式可化为x2－2x＋1＞0，
又因为x2－2x＋1＝(x－1)2，所以上述不等式可化为
(x－1)2＞0.
注意到只要x≠1，上述不等式就成立，所以不等式的解集为(－∞，1)∪1，+∞．
教材反思
我们以求解可化成ax2＋bx＋c＞0(a＞0)形式的不等式为例，用框图表示其求解过程．
跟踪训练1 解下列不等式：
(1)x2－7x＋12＞0； (2)－x2－2x＋3≥0；
(3)x2－2x＋1＜0; (4)－2x2＋3x－2＜0.
题型2 三个“二次”之间的关系[经典例题]
例2 已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|2＜x＜3}，求关于x的不等式cx2＋bx＋a＜0的解集．
状元随笔 由给定不等式的解集形式→确定a＜0及关于a，b，c的方程组→用a表示b，c→
代入所求不等式→求解cx2+bx+a＜0的解集
方法归纳
一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系，在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．
(1)若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰是对应一元二次方程的根，要注意解集的形式与二次项系数的联系．
(2)若一元二次不等式的解集为R或∅，则问题可转化为恒成立问题，此时可以根据二次函数图像与x轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的范围．
跟踪训练2 已知一元二次不等式x2＋px＋q＜0的解集为{x|-12＜x＜13}，求不等式qx2＋px＋1＞0的解集．
题型3 含参数的一元二次不等式的解法[经典例题]
例3 解关于x的不等式2x2＋ax＋2＞0.
状元随笔 二次项系数为2，Δ＝a2－16不是一个完全平方式，故不能确定根的个数，因此需对判别式Δ的符号进行讨论，确定根的个数．
方法归纳
含参数一元二次不等式求解步骤
(1)讨论二次项系数的符号，即相应二次函数图像的开口方向；
(2)讨论判别式的符号，即相应二次函数图像与x轴交点的个数；
(3)当Δ＞0时，讨论相应一元二次方程两根的大小；
(4)最后按照系数中的参数取值范围，写出一元二次不等式的解集．
跟踪训练3 解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3＞0.
题型4 一元二次不等式的实际应用[经典例题]
例4 某工厂的固定成本为3万元，该工厂每生产100台某产品的生产成本为1万元，设生产该产品x(百台)，其总成本为g(x)万元(总成本＝固定成本＋生产成本)，并且销售收入r(x)满足r(x)＝-0.5x2+7x-10.5，0≤x≤7，13.5，x＞7.
假定该产品产销平衡，根据上述统计规律求：
(1)要使工厂有盈利，产品数量x应控制在什么范围？
(2)工厂生产多少台产品时盈利最大？
(1)求利润函数f(x)⇒解不等式f(x)＞0⇒回答实际问题．
(2)根据第(1)题所求范围，分类讨论求函数最值⇒回答实际问题．
方法归纳
解不等式应用题的四步骤
(1)审：认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系．
(2)设：引进数学符号，用不等式表示不等关系．
(3)求：解不等式．
(4)答：回答实际问题．
特别提醒：确定答案时应注意变量具有的“实际含义”．
跟踪训练4 某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x≠0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点．
(1)写出税收y(万元)与x的函数关系式；
(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围．
状元随笔 根据题意，列出各数量之间的关系表，如下：
2．2.3 一元二次不等式的解法
新知初探·自主学习
[基础自测]
1．解析：选项A中，a2＝0时不符合；选项B是分式不等式；选项D中，最高次数为三次；只有选项C符合．
答案：C
2．解析：解不等式得－1≤x≤0，故选D.
答案：D
3．解析：由7－6x－x2>0，得x2＋6x－7<0，即(x＋7)(x－1)<0，所以－7答案：B
4．解析：不等式1＋2x＋x2≤0化为(x＋1)2≤0，解得x＝－1.
答案：{－1}
课堂探究·素养提升
跟踪训练1 解析：(1)因为Δ＝1＞0，所以方程x2－7x＋12＝0有两个不等实根x1＝3，x2＝4.再根据函数y＝x2－7x＋12的图像开口向上，可得不等式x2－7x＋12＞0的解集是{x|x＜3或x＞4}．
(2)不等式两边同乘－1，原不等式可化为x2＋2x－3≤0.因为Δ＝16＞0，所以方程x2＋2x－3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝1.再根据函数y＝x2＋2x－3的图像开口向上，可得不等式－x2－2x＋3≥0的解集是{x|－3≤x≤1}．
(3)因为Δ＝0，所以方程x2－2x＋1＝0有两个相等的实根x1＝x2＝1.再根据函数y＝x2－2x＋1的图像开口向上，可得不等式x2－2x＋1＜0的解集为∅.
(4)原不等式可化为2x2－3x＋2＞0，因此Δ＝9－4×2×2＝－7＜0，所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，又二次函数y＝2x2－3x＋2的图像开口向上，所以原不等式的解集为R.
例2 【解析】 方法一 由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|20，即x2－56x＋16>0，解得x<13或x>12，所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为-∞，13∪12，+∞.
方法二 由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2跟踪训练2 解析：因为x2＋px＋q<0的解集为{x|-12由根与系数的关系得
13-12=-p13×-12=q,解得p=16q=-16 .
所以不等式qx2＋px＋1>0即为－16x2＋16x＋1>0，
整理得x2－x－6<0，解得－2即不等式qx2＋px＋1>0的解集为{x|－2例3 【解析】 对于方程2x2＋ax＋2＝0，其判别式Δ＝a2－16＝(a＋4)(a－4)．
①当a>4或a<－4时，Δ>0，方程2x2＋ax＋2＝0的两根为x1＝14(－a－a2-16)，x2＝14(－a＋a2-16)．
∴原不等式的解集为
{x|x<14(－a－a2-16))或x>14(－a＋a2-16)}.
②当a＝4时，Δ＝0，方程有两个相等实根，x1＝x2＝－1，
∴原不等式的解集为{x|x≠－1}．
③当a＝－4时，Δ＝0，方程有两个相等实根，x1＝x2＝1，
∴原不等式的解集为{x|x≠1}．
④当－4跟踪训练3 解析：原不等式可变形为(x－a)·(x－a2)>0，则方程(x－a)(x－a2)＝0的两个根为x1＝a，x2＝a2，
①当a<0时，有aa2，此时原不等式的解集为{x|xa2}；
②当0a2，即xa，此时原不等式的解集为{x|xa}；
③当a>1时，有a2>a，即xa2，此时原不等式的解集为{x|xa2}；
④当a＝0时，有x≠0；∴原不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；
⑤当a＝1时，有x≠1，此时原不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}；
综上可知：
当a<0或a>1时，原不等式的解集为{x|xa2}；
当0a}；
当a＝0时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；
当a＝1时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}．
例4 【解析】 (1)依题意得g(x)＝x＋3，设利润函数为f(x)，则
f(x)＝r(x)－g(x)，所以f(x)＝-0.5x2+6x-13.5，0≤x≤7，10.5-x，x＞7，
要使工厂有盈利，则有f(x)>0，因为f(x)>0⇒0≤x≤7，-0.5x2+6x-13.5＞0或x＞7，10.5-x＞0⇒0≤x≤7，x2-12x+27＜0或x＞7，10.5-x＞0⇒0≤x≤7，3＜x＜9或x>7，x<10.5.则3＜x≤7或7＜x＜10.5，即3＜x＜10.5，所以要使工厂盈利，产品数量应控制在大于300台小于1 050台的范围内．
(2)当3＜x≤7时，f(x)＝－0.5(x－6)2＋4.5，故当x＝6时，f(x)有最大值4.5，而当x＞7时，f(x)＜10.5－7＝3.5，所以当工厂生产600台产品时盈利最大．
跟踪训练4 解析：(1)降低税率后的税率为(10－x)%，农产品的收购量为a(1＋2x%)万担，收购总金额为200a(1＋2x%)
依题意得，y＝200a(1＋2x%)(10－x)%
＝150a(100＋2x)(10－x)(0(2)原计划税收为200a·10%＝20a(万元)．
依题意得，150a(100＋2x)(10－x)≥20a×83.2%，
化简得x2＋40x－84≤0，∴－42≤x≤2.
又∵0＜x＜10，∴0＜x≤2.∴x的取值范围是{x|0＜x≤2}．
从函数观点看一元二次不等式．①经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．②借助一元二次函数的图像，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像
ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根
有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2)
有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a
没有实数根
ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集
{x|x＜x1或x＞x2}
{x|x≠－b2a}
R
ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集
{x|x1＜x＜x2}
∅
∅
原计划
降税后
价格(元/担)
200
200
税率
10%
(10－x)%(0＜x＜10)
收购量(万担)
a
a(1＋2x%)
收购总金额(万元)
200a
200·a(1＋2x%)
税收y(万元)
200a·10%
200·a(1＋2x%)(10－x)%