2021学年4.4 幂函数导学案

指数函数的性质与图像

知识点一　指数函数的定义

函数________(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量．定义域为R.

状元随笔　指数函数解析式的3个特征

(1)底数a为大于0且不等于1的常数．

(2)自变量x的位置在指数上，且x的系数是1.

(3)ax的系数是1.

知识点二　指数函数的图像与性质

状元随笔　底数a与1的大小关系决定了指数函数图像的“升”与“降”．当a>1时，指数函数的图像是“上升”的；当0<a<1时，指数函数的图像是“下降”的．

第1课时　指数函数的概念

基础自测

1.下列各函数中，是指数函数的是(　　)

A．y＝(－3)x　　　　　　　　B．y＝－3x

C．y＝3x－1D．y＝

2．函数f(x)＝的定义域为(　　)

A．R　　　B．(0，＋∞)　　　C．[0，＋∞)　　　D．(－∞，0)

3．在同一坐标系中，函数y＝2x与y＝的图像之间的关系是(　　)

A．关于y轴对称B．关于x轴对称

C．关于原点对称D．关于直线y＝x对称

　指数函数概念的应用[经典例题]

例1　(1)若指数函数f(x)＝(2a－1)x是R上的减函数，则实数a的取值范围是(　　)

A．(0，1)

B．(1，＋∞)

C．(，1)

D．(－∞，1)

(1)根据指数函数的定义可知，底数a>0且a≠1，ax的系数是1.

 (2)指数函数y＝f(x)的图像经过点(-2，)，那么f(4)·f(2)等于________．

(2)先设指数函数为f(x)＝ax，借助条件图像过点(－2 ，)求a，最后求值．

【解析】　(1)由已知，得0<2a－1<1，则<a<1，所以实数a的取值范围是(，1).

(2)设y＝f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，所以a－2＝，所以a＝2，

所以f(4)·f(2)＝24×22＝64.

【答案】　(1)C　(2)64

方法归纳

(1)判断一个函数是指数函数的方法

①看形式：只需判定其解析式是否符合y＝ax(a>0，且a≠1)这一结构特征．

②明特征：指数函数的解析式具有三个特征，只要有一个特征不具备，则不是指数函数．

(2)已知某函数是指数函数求参数值的基本步骤

跟踪训练1　(1)若函数y＝(3－2a)x为指数函数，则实数a的取值范围是________；

1.指数函数系数为1．

2．底数>0且≠1.

(2)下列函数中是指数函数的是________．(填序号)

①y＝2·()x　②y＝2x－1　③y＝　④y＝xx　⑤y＝　⑥y＝.

　指数函数

例2　已知指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，且f(3)＝π，求f(0)，f(1)，f(－3)的值．

状元随笔　要求f(0)，f(1)，f(－3)的值，应先求出f(x)＝ax的解析式，即先求a的值．

教材反思

求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键．因为底数a是大于0且不等于1的实数，所以a＝－3应舍去．

跟踪训练2　若指数函数f(x)的图像经过点(2，9)，求f(x)的解析式及f(－1)的值．

设f(x)＝ax，代入(2，9)求出a .

4．1.2　指数函数的性质与图像

新知初探·自主学习

知识点一

y＝ax

知识点二

R　(0，＋∞)　(0，1)　0　1　y>1　0<y<1　0<y<1　y>1　增函数　减函数

第1课时　指数函数的概念

[基础自测]

1．解析：根据指数函数的定义y＝ax(a>0且a≠1)可知只有D项正确．

答案：D

2．解析：要使函数有意义，则2x－1>0，∴2x>1，∴x>0.

答案：B

3．解析：由作出两函数图像可知，两函数图像关于y轴对称，故选A.

答案：A

课堂探究·素养提升

跟踪训练1　解析：(1)若函数y＝(3－2a)x为指数函数，

则解得a<且a≠1.

(2)①中指数式()x的系数不为1，故不是指数函数；②中y＝2x－1＝·2x，指数式2x的系数不为1，故不是指数函数；④中底数为x，不满足底数是唯一确定的值，故不是指数函数；⑤中指数不是x，故不是指数函数；⑥中指数为常数且底数不是唯一确定的值，故不是指数函数．故填③.

答案：(1)(－∞，1)∪(1,)　(2)③

例2　【解析】　因为f(x)＝ax，且f(3)＝π，则a3＝π，解得a＝，于是f(x)＝.

所以，f(0)＝π0＝1，f(1)＝＝，f(－3)＝π－1＝.

跟踪训练2　解析：设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，将点(2，9)代入，得a2＝9，解得a＝3或a＝－3(舍去).

所以f(x)＝3x.所以f(－1)＝3－1＝.