高中数学人教B版 (2019)必修 第二册4.3 指数函数与对数函数的关系学案

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2．了解指数函数与对数函数互为反函数．
知识点一 指数函数与对数函数的性质
状元随笔 指数函数y＝ax与对数函数y＝lgax，一个函数的定义域是另一个函数的值域，而且它们的单调性相同．
知识点二 反函数
一般地，函数y＝f(x)的反函数记作y＝f－1(x)．值得注意的是，y＝f(x)的定义域与y＝f－1(x)的值域相同，y＝f(x)的值域与y＝f－1(x)的定义域相同．
状元随笔
1．y＝f(x)与y＝f－1(x)的图像关于直线y＝x对称．
2．如果y＝f(x)是单调函数，那么它的反函数y＝f －1(x)一定存在．此时，如果y＝f(x)是增函数，则y＝f －1(x)也是增函数；如果y＝f(x)是减函数，则y＝f －1(x)也是减函数．
1.函数f(x)＝lg4x与g(x)＝22x的图像( )
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于原点对称D．关于直线y＝x对称
2．若函数y＝lg2x＋2的反函数的定义域为(3，＋∞)，则此函数的定义域为________．
题型1 求函数的反函数[教材P31例2]
例1 判断f(x)＝2x＋2的反函数是否存在，如果不存在，说明理由；如果存在，写出反函数f－1(x)的解析式，并在同一直角坐标系中作出f(x)与f－1(x)的函数图像．
1．判断函数是否单调．
2．求出x.
3．推导出f－1(x)的解析式．
【解析】 因为f(x)＝2x＋2是增函数，因此任意给定值域中的一个值，只有唯一的x与之对应，所以f(x)存在反函数．
令y＝2x＋2，对调其中的x和y得x＝2y＋2，解得
y＝12x－1，
因此f－1(x)＝12x－1.
f(x)与f－1(x)的函数图像如图所示．
方法归纳
求给定解析式的函数的反函数的步骤
(1)求出原函数的值域，这就是反函数的定义域；
(2)从y＝f(x)中解出x；
(3)x，y互换并注明反函数的定义域．
跟踪训练1 求下列函数的反函数．
(1)y＝2x＋3；
(2)y＝lg23x；
(3)y＝23x－1；
(4)y＝0.2x＋1(x≤1)．
1.函数在定义域内的值域．
2．求x.
3．解出反函数．
题型2 反函数性质的应用
例2 已知函数y＝ax＋b的图像过点(1，4)，其反函数的图像过点(2，0)，求a，b的值．
函数与反函数图像上相应点关于y＝x对称．
方法归纳
利用反函数的性质解题
互为反函数的图像关于直线y＝x对称是反函数的重要性质，由此可得互为反函数图像上任一成对的相应点也关于y＝x对称，所以若点 (a，b)在函数y＝f(x)的图像上，则点(b，a)必在其反函数y＝f－1(x)的图像上．
跟踪训练2 已知函数f(x)＝ax＋b(a>0且a≠1)的图像过点(1，7)，其反函数f－1(x)的图像过点(4，0)，求f(x)的表达式．
两点关于y＝x对称．
题型3 指数函数与对数函数图像间的关系
例3 已知lga＋lgb＝0，函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－lgbx的图像可能是( )
1．由lg a＋lg b＝0得ab＝1.
2．f(x)与y(x)互为反函数．
方法归纳
利用反函数的性质识图
指数函数与对数函数互为反函数，二者的图像关于直线y＝x对称，在有关指数函数与对数函数的图像知识问题中利用这一性质，结合平移翻转等可以很方便地解决问题．
跟踪训练3 y＝lg2x的反函数是y＝f－1(x)，则函数y＝f－1(1－x)的图像是下图中的( )
状元随笔 1.先求出f －1(x)．
2．再求f －1(－x)．
3．最后求出f －1(1－x)．
题型4 指数函数与对数函数的综合应用
例4 (1)已知f(x)＝lga(a－ax)(a>1)．
①求函数f(x)的定义域、值域；
②判断f(x)的单调性，并证明；
(2)设方程2x＋x－3＝0的根为m，方程lg2x＋x－3＝0的根为n，求m＋n的值．
1．先求定义域值域．
2．判断函数单调性．
3．利用反函数求m、n.
方法归纳
指数函数与对数函数综合问题的解决方法
(1)指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝lgax(a>0且a≠1)互为反函数，应从概念、图像和性质三个方面理解它们之间的联系与区别．
(2)利用数形结合，等价转化的思想可较为简便地解决函数零点(方程的根)问题．
跟踪训练4 已知0A．1 B．2
C．3D．4
4．3 指数函数与对数函数的关系
新知初探·自主学习
知识点一
R (0，＋∞) (0，＋∞) R 减函数 增函数
[基础自测]
1．解析：∵g(x)＝22x＝4x，∴函数f(x)＝lg4x与g(x)＝22x互为反函数，它们的图像关于直线y＝x对称．
答案：D
2．解析：函数y＝lg2x＋2的反函数的定义域为(3，＋∞)，即这个函数的值域为(3，＋∞)，
∴lg2x＋2>3，即lg2x>1，∴x>2.
则此函数的定义域为(2，＋∞).
答案：(2，＋∞)
课堂探究·素养提升
跟踪训练1 解析：(1)由y＝2x＋3得x＝12y－32，
所以函数y＝2x＋3的反函数是y＝12x－32.
(2)y＝lg23x的底数是23，它的反函数是指数函数y＝23x.
(3)y＝23x－1的值域是(－1，＋∞)，所以它的反函数为函数y＝lg23(x＋1) (x>－1).
(4)因为y＝0.2x＋1，所以y－1＝0.2x，x＝lg0.2(y－1)，即y＝lg0.2(x－1)，
因为函数y＝0.2x＋1(x≤1)的值域是{y|y≥1.2}，所以y＝lg0.2(x－1)的定义域为{x|x≥1.2}，即函数y＝0.2x＋1(x≤1)的反函数是y＝lg0.2(x－1)(x≥1.2).
例2 【解析】 解法一：∵y＝ax＋b的图像过点(1，4)，
∴a＋b＝4，①
由y＝ax＋b得ax＝y－b，
∴x＝lga(y－b)，交换x，y得y＝lga(x－b)，
将点(2，0)代入y＝lga(x－b)得lga(2－b)＝0，
∴2－b＝1.②
由①②解得a＝3，b＝1.
解法二：∵y＝ax＋b的图像过点(1，4)，∴a＋b＝4.①
又∵y＝ax＋b的反函数图像过点(2，0)，
∴点(0，2)在原函数y＝ax＋b的图像上，
∴a0＋b＝2.②
联立①②得a＝3，b＝1.
跟踪训练2 解析：∵y＝f－1(x)的图像过点(4，0)，∴y＝f(x)的图像过点(0，4)，
∴1＋b＝4，∴b＝3，又∵f(x)＝ax＋b的图像过点(1，7)，
∴a＋b＝7，∴a＝4.∴f(x)＝4x＋3.
例3 【解析】 ∵lga＋lgb＝0，∴ab＝1，则b＝1a，从而g(x)＝－lgbx＝lgax，故g(x)与f(x)＝ax互为反函数，图像关于直线y＝x对称．结合选项可知选B.
【答案】 B
跟踪训练3 解析：∵y＝lg2x的反函数为y＝f－1(x)＝2x，则y＝f－1(1－x)＝21－x＝2·2－x＝2·(12)x，故排除A，B.又此函数图像过(0，2)，故正确答案为C.
答案：C
例4 【解析】 (1)①要使函数f(x)＝lga(a－ax)(a>1)有意义，需满足a－ax>0，即ax1，∴x<1，故定义域是(－∞，1)，又a－ax∈(0，a)，所以值域是(－∞，1).
②设x1(2)将方程整理得2x＝－x＋3，lg2x＝－x＋3.如图可知，m是指数函数y＝2x的图像与直线y＝－x＋3交点A的横坐标，n是对数函数y＝lg2x的图像与直线y＝－x＋3交点B的横坐标，由于函数y＝2x与y＝lg2x互为反函数，所以它们的图像关于直线y＝x对称，由题意可得出A，B两点也关于直线y＝x对称，于是可设A，B两点的坐标为A(m，n)，B(n，m)，而A、B都在直线y＝－x＋3上，
∴n＝－m＋3(A点坐标代入)，或m＝－n＋3(B点坐标代入)，故m＋n＝3.
跟踪训练4 解析：函数y＝a|x|－|lgax|(0画出函数f(x)＝a|x|(0答案：B 新知初探·自主学习——突出基础性
函数
指数函数y＝ax
对数函数y＝lgax
定义域
________
________
值域
________
________
单调性
01时，为________
基础自测
课堂探究·素养提升——强化创新性