2021学年5.1.2 数据的数字特征导学案

数据的数字特征

最新课程标准

1.结合实例，理解最值、平均值、众数、极差、方差、标准差的含义．

2．结合实例，能用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含义．

知识点一　最值

一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值．

状元随笔　最值反应的是这组数最极端的情况．一般地，最大值用max表示，最小值用min表示．

知识点二　百分位数

一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值．

状元随笔　可以通过下面的步骤计算一组n个数据的第p百分位数：

第1步，按从小到大排列原始数据．

第2步，计算i＝n×p%.

第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数．

知识点三　众数、中位数、平均数的概念

1．众数：一组数据中，____________的数据是众数．

2．中位数：把一组数据按照________排成一列，把处在______的数据(或________________)叫做这组数据的中位数．

3．平均数：如果有n个数x1，x2，x3，…，xn，那么这n个数的平均数为________________________________．

状元随笔　对众数、中位数、平均数的理解

(1)众数、中位数与平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量．

(2)众数考查各个数据出现的频率，大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中部分数据多次重复出现时，其众数往往更能反映问题．

(3)中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响，中位数可能在所给的数据中，也可能不在所给的数据中．

(4)实际问题中求得的平均数、众数和中位数应带上单位．

知识点四　极差、方差与标准差

1．一组数的极差指的是这组数的最大值减去最小值所得的差．

2．如果x1，x2，…，xn的平均数为，则方差可用求和符号表示为.

3．方差的算术平方根称为标准差．

状元随笔　对方差与标准差概念的理解

(1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．

(2)标准差、方差的取值范围：[0，＋∞)．

标准差、方差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性．

(3)因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差．

基础自测

1.求下列一组数据1，2，2，3，4，4，5，6，6，7的第30百分位数(　　)

A．2　　　B．3

C．4      D．2.5

2．已知一组数据为20，30，40，50，50，60，70，80.其中平均数、中位数和众数的大小关系是(　　)

A．平均数>中位数>众数

B．平均数<中位数<众数

C．中位数<众数<平均数

D．众数＝中位数＝平均数

3．已知一组数据为－3，5，7，x，11，且这组数的众数为5，那么该组数据的中位数是(　　)

A．7    B．5

C．6    D．11

4．已知五个数据3，5，7，4，6，则该样本的标准差为________．

题型1　百分位数[教材P64例1]

例1　计算甲、乙两组数的25%分位数与75%分位数．

教材反思

求总体百分位数的估计，首先要从小到大排列数据，然后计算出i＝n×p%，当i不是整数要取整，当i是整数，则百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数．

跟踪训练1　某中学高二(2)班甲、乙两名学生自进入高中以来，每次数学考试成绩情况如下：

甲：95，81，75，91，86，89，71，65，76，88，94，110，107.

乙：83，86，93，99，88，103，98，114，98，79，78，106，101.

计算出学生甲、乙的第25，50的百分位数．

题型2　众数、中位数、平均数的应用[经典例题]

例2　某公司的33名员工的月工资(以元为单位)如下：

(1)求该公司员工月工资的平均数、中位数、众数；(精确到1元)

(2)假设副董事长的月工资从5 000元提升到20 000元，董事长的月工资从5 500元提升到30 000元，那么新的平均数、中位数、众数又分别是多少？(精确到1元)

(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法．

方法归纳

(1)平均数计算方法

①定义法：n个数据a1，a2，…，an的平均数＝.

②利用加权平均数公式：

在n个数据中，如果x1出现f1次，x2出现f2次，…，xk出现fk次(f1＋f2＋…＋fk＝n)，则这n个数的平均数为：＝.

③当数据较大时，用公式＝′＋a简化计算．

(2)中位数的求法

①当数据个数为奇数时，中位数是按从小到大(或从大到小)的顺序依次排列的中间那个数．

②当数据个数为偶数时，中位数为按从小到大(或从大到小)的顺序依次排列的最中间的两个数的平均数．

跟踪训练2　某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分100分)如表，其中甲班学生成绩的平均分是85分，乙班学生成绩的中位数是83分，则x＋y的值为________．

题型3　标准差、方差的应用[经典例题]

例3　甲、乙两机床同时加工直径为100 mm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为：

甲：99　100　98　100　100　103

乙：99　100　102　99　100　100

(1)分别计算两组数据的平均数及方差；

(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定．

【解析】　(1)＝(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，

＝(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.

＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝，

＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.

(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同，又，

所以乙机床加工零件的质量更稳定．

方法归纳

在实际应用中，常常把平均数与标准差结合起来进行决策，在平均值相等的情况下，比较方差或标准差以确定稳定性．

跟踪训练3　在本例中，若甲机床所加工的6个零件的数据全都加10，那么所得新数据的平均数及方差分别是多少？

5．1.2　数据的数字特征

新知初探·自主学习

知识点三

1．重复出现次数最多

2．大小顺序　最中间　两个数据的平均数

3. (x1＋x2＋…＋xn)＝i

[基础自测]

1．解析：这组数据共10个，10×30%＝3即第30百分位数是第3项数据和第4项数据的平均数2.5.

答案：D

2．解析：平均数、中位数、众数皆为50，故选D.

答案：D

3．解析：由这组数据的众数为5，可知x＝5，把这组数据由小到大排列为－3，5，5，7，11，则可知中位数为5.

答案：B

4．解析：因为＝×(3＋5＋7＋4＋6)＝5，

所以s＝＝.

答案：

课堂探究·素养提升

例1　【解析】　因为数据个数为20，而且20×25%＝5，20×75%＝15.

因此，甲组数的25%分位数为＝＝2.5；

甲组数的75%分位数为＝＝9.5.

乙组数的25%分位数为＝＝1；

乙组数的75%分位数为＝＝12.

跟踪训练1　解析：把甲、乙两名学生的数学成绩从小到大排序，可得

甲：65，71，75，76，81，86，88，89，91，94，95，107，110.

乙：78，79，83，86，88，93，98，98，99，101，103，106，114.

由13×25%＝3.25，13×50%＝6.5.

可得数据的第25，50百分位数为第4，7项数据，

即学生甲的第25，50的百分位数为76，88.

学生乙的第25，50的百分位数为86，98.

例2　【解析】　(1)平均数是＝

≈2 091(元)，

中位数是1 500元，众数是1 500元．

(2)新的平均数是′＝

≈3 288(元)，

中位数是1 500元，众数是1 500元．

(3)在这个问题中，中位数和众数都能反映出这个公司员工的工资水平．因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平．

跟踪训练2　解析：因为甲班学生成绩的平均分是85，所以＝85，解得x＝5，又因为乙班学生成绩的中位数是83，所以y＝3，所以x＋y＝8.

答案：8

跟踪训练3　解析：甲的数据为99＋10，100＋10，98＋10，100＋10，100＋10，103＋10，平均数为100＋10＝110，

方差仍为 [(109－110)2＋(110－110)2＋(108－110)2＋(110－110)2＋(110－110)2＋(113－110)2]＝..