数学必修 第二册5.3.5 随机事件的独立性学案设计

随机事件的独立性

最新课程标准

结合有限样本空间，了解两个随机事件独立性的含义．结合古典概型，利用独立性计算概率．

知识点　随机事件的独立性

对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立(mutually independent)，简称为独立．

状元随笔　事件A与B是相互独立的，那么A与与B，与也是相互独立的．

对于A与，因为A＝AB，而且AB与A互斥，所以

P(A)＝P(AB)＝P(AB)＋P(A)

＝P(A)P(B)＋P(A)，

所以P(A)＝P(A)－P(A)P(B)

＝P(A)(1－P(B))＝P(A)P()．

由事件的独立性定义，A与相互独立．

1.设A与B是相互独立事件，则下列命题中正确的是(　　)

A.A与B是对立事件　　　B．A与B是互斥事件

C．A与是不相互独立    D．A与是相互独立事件

2．打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击一目标，则他们都中靶的概率是(　　)

A．    B．

C．    D．

3．甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为和，两人同时参加测试，其中有且只有一人能通过的概率是(　　)

A．    B．

C．    D．1

4．两个相互独立的事件A和B，若P(A)＝，P(B)＝，则P(AB)＝________．

　相互独立事件的判断[经典例题]

例1　从一副扑克牌(去掉大、小王)中任抽一张，设A＝“抽到K”，B＝“抽到红牌”，C＝“抽到J”，那么下列每对事件是否相互独立？是否互斥？是否对立？为什么？

(1)A与B；(2)C与A.

依据互斥事件、对立事件、独立事件的定义来逐一判断．

【解析】　(1)由于事件A为“抽到K”，事件B为“抽到红牌”，故抽到红牌中有可能抽到红桃K或方块K，即有可能抽到K，故事件A，B有可能同时发生，显然它们不是互斥事件，更加不是对立事件．

以下考虑它们是否为相互独立事件：

抽到K的概率为P(A)＝＝

抽到红牌的概率为P(B)＝＝，

故P(A)P(B)＝＝，

事件AB为“既抽到K又抽到红牌”，即“抽到红桃K或方块K”，故P(AB)＝＝，从而有P(A)P(B)＝P(AB)，因此A与B是相互独立事件．

(2)从一副扑克牌(去掉大、小王)中任取一张．抽到K就不可能抽到J，抽到J就不可能抽到K，故事件C与事件A不可能同时发生，A与C互斥．由于P(A)＝≠0.P(C)＝≠0，而P(AC)＝0，所以A与C不是相互独立事件，又抽不到K不一定抽到J，故A与C并非对立事件．

方法归纳

对于事件A，B，在一次试验中，A，B如果不能同时发生，则称A，B互斥．一次试验中，如果A，B两个事件互斥且A，B中必然有一个发生，则称A，B对立，显然A为一个必然事件．A，B互斥则不能同时发生，但有可能同时不发生．两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．

跟踪训练1　(1)甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目标”，事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B(　　)

A.相互独立但不互斥

B．互斥但不相互独立

C．相互独立且互斥

D．既不相互独立也不互斥

甲、乙击中目标相互不影响，所以相互独立，甲击中目标、乙击中目标，可以同时发生，所以不互斥．

(2)掷一枚正方体骰子一次，设事件A：“出现偶数点”，事件B：“出现3点或6点”，则事件A，B的关系是(　　)

A.互斥但不相互独立

B．相互独立但不互斥

C．互斥且相互独立

D．既不相互独立也不互斥

同理可判断A、B的关系．

题型2　相互独立事件同时发生的概率[经典例题]

例2　甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：

(1)2人都射中目标的概率；

(2)2人中恰有1人射中目标的概率；

(3)2人至少有1人射中目标的概率；

(4)2人至多有1人射中目标的概率．

若A、B相互独立，则P(AB)＝P(A)·P(B)

方法归纳

解决此类问题要明确互斥事件和相互独立事件的意义，若A，B相互独立，则与B，A与与也是相互独立的，代入相互独立事件的概率公式求解．

跟踪训练2　本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算)．有甲、乙两人来该租车点租车骑游(各租一车一次)，设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，两人租车时间都不会超过四小时．

(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；

(2)求甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率．

先求出甲、乙两人超过三小时且不超过四小时的概率(1)再由租车费用相同求概率；(2)先根据租车费之和为4，得出可能的情况，再求概率．

题型3　独立性事件的应用[教材P115例2]

例3　已知甲运动员的投篮命中率为0.7，乙运动员的投篮命中率为0.8.

(1)若甲、乙各投篮一次，则都命中的概率为多少？

(2)若甲投篮两次，则恰好投中一次的概率为多少？

教材反思

求较复杂事件概率的一般步骤如下：

(1)列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示；

(2)理清事件之间的关系(两个事件是互斥还是对立，或者是相互独立的)，列出关系式；

(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；

(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．

跟踪训练3　甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率．

两轮活动猜对3个成语，相当于事件“甲猜对1个，乙猜对2个”、事件“甲猜对2个，乙猜对1个”的和事件发生．

5．3.5　随机事件的独立性

新知初探·自主学习

[基础自测]

1．解析：∵A与B是相互独立事件，

∴P(AB)＝P(A)P(B)，

∴P(A)＝P(A)－P(AB)＝P(A)－P(A)P(B)＝P(A)·[1－P(B)]＝P(A)P()，

∴事件A与是相互独立事件．故选D.

答案：D

2．解析：设“甲命中目标”为事件A，“乙命中目标”为事件B，根据题意知，P(A)＝＝，P(B)＝，且A与B相互独立，故他们都命中目标的概率为P(AB)＝P(A)·P(B)＝＝.

答案：A

3．解析：设事件A表示“甲通过听力测试”，事件B表示“乙通过听力测试”．

根据题意，知事件A和B相互独立，

且P(A)＝，P(B)＝.

记“有且只有一人通过听力测试”为事件C，

则C＝AB，且A和B互斥，

故P(C)＝P(AB)

＝P(A)＋P(B)

＝P(A)P()＋P()P(B)

＝＝.

答案：C

4．解析：∵A、B是相互独立事件，P(A)＝，P(B)＝

∴P(AB)＝P(A)·P(B)＝＝.

答案：

课堂探究·素养提升

跟踪训练1　解析：(1)对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A与B可能同时发生，所以事件A与B不是互斥事件．

(2)事件A＝{2，4，6}，事件B＝{3，6}，事件AB＝{6}，基本事件空间Ω＝{1，2，3，4，5，6}．

所以P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝＝，即P(AB)＝P(A)P(B)，因此，事件A与B相互独立．当“出现6点”时，事件A，B同时发生，所以A，B不是互斥事件．

答案：(1)A　(2)B

例2　【解析】　设“甲射击1次，击中目标”为事件A，“乙射击1次，击中目标”为事件B，则A与B，与B，A与与为相互独立事件．

(1)2人都射中目标的概率为P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.8×0.9＝0.72.

(2)“2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲射中、乙未射中(事件A发生)，另一种是甲未射中、乙射中(事件B发生)．根据题意，事件A与B互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式．所求的概率为

P(A)＋P(B)＝P(A)·P()＋P()·P(B)

＝0.8×(1－0.9)＋(1－0.8)×0.9

＝0.08＋0.18＝0.26.

(3)“2人至少有1人射中”包括“2人都中”和“2人有1人射中”2种情况，其概率为P＝P(AB)＋[P(A)＋P(B)]＝0.72＋0.26＝0.98.

(4)“2人至多有1人射中目标”包括“有1人射中”和“2人都未射中”两种情况．

故所求概率为P＝P()＋P(A)＋P(B)

＝P()·P()＋P(A)·P()＋P()·P(B)

＝0.02＋0.08＋0.18＝0.28.

跟踪训练2　解析：甲、乙两人租车时间超过三小时且不超过四小时的概率分别为1－＝.1－＝.

(1)租车费用相同可分为租车费都为0元、2元、4元三种情况，租车费都为0元的概率为p1＝＝.租车费都为2元的概率为p2＝＝，租车费都为4元的概率为p3＝＝.

所以甲、乙所付租车费用相同的概率为p＝p1＋p2＋p3＝.

(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为ξ，则“ξ＝4”表示“两人的租车费用之和为4元”，其可能的情况是甲、乙的租车费分别为①0元、4元，②2元、2元，③4元、0元．所以可得P(ξ＝4)＝＝，即甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率为.

例3　【解析】　(1)记A：甲投中，B：乙投中，因为A与B相互独立，所以P(AB)＝P(A)P(B)＝0.7×0.8＝0.56，

即都命中的概率为0.56.

(2)记Ai：甲第i次投中，其中i＝1，2，则

P(A1)＝P(A2)＝0.7.

恰好投中一次，可能是第一次投中且第二次没投中，也可能是第一次没投中且第二次投中，即A2，

注意到A1与A2相互独立，且与A2互斥，因此

A2)＝A2)

＝)P(A2)

＝P(A1)[1－P(A2)]＋[1－P(A1)]P(A2)

＝0.7×(1－0.7)＋0.7×(1－0.7)

＝0.42.

跟踪训练3　解析：设A1，A2分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，B1，B2分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件．根据独立性假定，得P(A1)＝2×＝，P(A2)＝＝.

P(B1)＝2×＝，P(B2)＝＝.

设A＝“两轮活动‘星队’猜对3个成语”，则A＝A1B2且A1B2与A2B1互斥，A1与B2，A2与B1分别相互独立，所以P(A)＝P(A1B2)＋P(A2B1)＝P(A1)P(B2)＋P(A2)P(B1)＝＝.

因此，“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是..