专练06-50题（填空题-压轴）2022中考数学考点必杀500题（江苏专用）

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2022中考考点必杀500题
专练06（填空题-压轴）（50道）

1．（2021·江苏·沭阳县怀文中学二模）如图，平面直角坐标系内有一动点P，把点P绕定点A(2，0)逆时针旋转90°到点Q，点Q恰好在以点M(3，2)为圆心，1为半径的⊙M上，则OP的最小值为__．

【答案】﹣1
【解析】
【分析】
过点P作PF⊥x轴交于点F，过点Q作QE⊥x轴交于E点，先证明△AQE≌△PAF（AAS），可得AF＝QE，AE＝PF，设P（x，y），可求Q（2﹣y，x﹣2），由Q的运动可判断P点在以（4，﹣1）为圆心，1为半径的圆上运动，由此可求PO的最下值．
【详解】
解：过点P作PF⊥x轴交于点F，过点Q作QE⊥x轴交于E点，

∵P点绕A点逆时针旋转90°，
∴AP＝AQ，∠QAP＝90°，
∵∠QAE+∠EAP＝90°，∠QAE+∠AQE＝90°，
∴∠AQE＝∠EAP，
∴△AQE≌△PAF（AAS），
∴AF＝QE，AE＝PF，
设P（x，y），
∵A（2，0），
∴Q（2﹣y，x﹣2），
∵Q点在以点M（3，2）为圆心，1为半径的⊙M上，
∴QM＝1，
∴（2﹣y﹣3）2+（x﹣2﹣2）2＝1，
∴（x﹣4）2+（y+1）2＝1，
∴P点在以（4，﹣1）为圆心，1为半径的圆上运动，
设N（4，﹣1），
∴ON＝，
∴PO的最小值为﹣1，
故答案为：﹣1．
【点睛】
本题考查动点的运动问题，能够通过点的运动，结合三角形全等确定P点的运动路径是解题的关键．
2．（2021·江苏·连云港市新海实验中学二模）如图在RtABC中，∠BAC=90°，AB= AC =10，等腰直角三角形ADE绕点A旋转，∠DAE=90°，AD= AE =4，连接DC，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点，连接MP、PN、MN，则△PMN面积的最小值是_______．

【答案】
【解析】
【分析】
通过和为等腰直角三角形，判定出，得到 通过已知条件，再设得到为等腰直角三角形，所以当BD最小时，的面积最小，D是以A为圆心，AD=4为半径的圆上的点，所以点D在AB上时，BD最小，即可得到最终结果．
【详解】
RtABC中，∠BAC=90°，AB= AC =10，
为等腰直角三角形，
又∠DAE=90°，AD= AE =4，
为等腰直角三角形，

点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点，

设

是等腰直角三角形，

当BD最小时，的面积最小，
是以A为圆心，AD=4为半径的圆上的点，
点D在AB上时，BD最小，


△PMN面积的最小值是．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了旋转的性质，涉及全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质等知识，有一定难度和综合性，属于压轴题，熟练掌握这些性质，利用旋转解题是关键．
3．（2021·江苏·无锡市天一实验学校一模）已知△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，AB=6，AD=4，连接CE、BE，点F和G分别为DE和BE的中点，连接FG，在△ADE旋转过程中，当D、E、C三点共线时，线段FG的长为_______．

【答案】
【解析】
【分析】
分两种情况画出图形，如图1，连接BD，证明△ADB≌△AEC，求得∠BDC=90°，在Rt△BDC中利用勾股定理求出BD长度，最后利用三角形中位线性质求解FG长度，如图2，同理可求出BD的长，则可得出答案．
【详解】
解：如图1，连接BD，

∵∠BAD=90°-∠BAE，∠CAE=90°-∠BAE，
∴∠BAD=∠CAE．
在△ADB和△AEC中，

∴△ADB≌△AEC（SAS）．
∴BD=CE，∠ADB=∠AEC=135°，
∴∠BDC=135°-45°=90°．
∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，AB=6，AD=4，
∴DE=4，BC=6．
设BD=x，则DC=4+x，
在Rt△BDC中，利用勾股定理BD2+DC2=BC2，
∴x2+（4+x）2=72，解得x1=-2-2（舍去），x2=-2+2．
∵点F、G分别为DE、BE的中点，
∴FG=BD=-+．

如图2，同理，设BD=CE=a，
在Rt△BDC中，BD2+CD2=BC2，
∴a2+(a−4)2=72，
解得a=2-2（舍去），a=2+2，
∴FG=BD=+，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、三角形中位线性质，解题的关键是找到共顶点的全等三角形，从而得到直角三角形，运用勾股定理求解线段长度．
4．（2021·江苏苏州·一模）如图，的半径为，点B为上一动点，，是的切线，与交于点D，则的最小值为_________．

【答案】
【解析】
【分析】
过点A作直径AE，连接ED，AD，过D作DF⊥AC于F，由圆周角定理得到∠E=30°，∠ADE=90°，结合切线的性质推出∠FAD=30°，根据含30°角直角三角形的性质求出AD，DF，根据垂线段最短即可得到CD的最小值．
【详解】
解：过点作直径，连接，，如图，

为直径，
，
，
为切线，
，
，即，
，
，
，
，
，
过作于，
，
，
，
的最小值是，
故答案为．
【点睛】
本题考查了切线的性质，圆周角定理，含30°角直角三角形的性质，正确作出辅助线是解决问题的关键．
5．（2021·江苏·苏州工业园区星湾学校二模）已知抛物线（为常数，）经过点，点是x轴正半轴上的动点．点在抛物线上，当的最小值为时，b的值为_____．
【答案】4
【解析】
【分析】
将点A（﹣1，0）代入y＝x2﹣bx+c，求出c＝﹣b﹣1，将点Q（，yQ）代入抛物线y＝x2﹣bx﹣b﹣1，求出Q纵坐标为，可知点Q（，）在第四象限，且在直线x＝b的右侧，点N（0，1），过点Q作直线AN的垂线，垂足为G，QG与x轴相交于点M，过点Q作QH⊥x轴于点H，则点H（b+，0），在Rt△MQH中，可知∠QMH＝∠MQH＝45°，设点M（m，0），则可用含b的代数式表示m，因为AM+2QM＝，所以[（﹣）﹣（﹣1）]+2 [（b+）﹣（﹣）]＝，解方程即可．
【详解】
解：∵抛物线y＝x2﹣bx+c经过点A（﹣1，0），
∴1+b+c＝0，
即c＝﹣b﹣1，
∴y＝x2﹣bx﹣b﹣1，
∵点在抛物线上，
∴
，
∵，
∴，，
∴点Q（，）在第四象限，且在直线x＝b的右侧，
∵AM+2QM＝2（AM+QM），点，
∴可取点N（0，1），
则AO＝ON＝1，
又∵∠AON＝90°，
∴∠OAN＝45°，
如图，过点Q作直线AN的垂线，垂足为G，QG与x轴相交于点M，

由∠GAM＝45°，得AM＝GM，
则此时点M满足的值取得最小值，符合题意，
过点Q作QH⊥x轴于点H，则点H（b+，0），
在Rt△MQH中，可知∠QMH＝∠MQH＝45°，
∴QH＝MH，QM＝MH，
∵点M（m，0），
∴0﹣（﹣﹣）＝（b+）﹣m，
解得，m＝﹣，
∵AM+2QM＝，
∴ [（﹣）﹣（﹣1）]+2 [（b+）﹣（﹣）]＝，
∴b＝4，
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象性质，待定系数法求函数关系式，抛物线上的点的坐标满足抛物线方程，解直角三角形等相关知识，解题关键是能够根据给定参数判断点的位置，从而构造特殊三角形来求解．
6．（2021·江苏·南京市金陵汇文学校一模）如图，已知正方形ABCD的边长为6，E为边AB上一点且AE长为1，P为射线BC上一点．把△EBP沿EP折叠，点B落在点处．若点到直线AD的距离为3，则BP长为______．

【答案】或15
【解析】
【分析】
过B'作MN∥AB，交AD，BC于点M，N，过E作EH∥AD，交MN于H，进而得出四边形ABNM是矩形，四边形AEHM是矩形．再分两种情况进行讨论：①如图1，若点B'在AD下方；②如图2，若点B'在AD上方，分别根据Rt△PB'N中，B'P2=PN2+B'N2，即可得到BP的值．
【详解】
解：过B'作MN∥AB，交AD，BC于点M，N，过E作EH∥AD，交MN于H，
∵AD∥BC，MN∥AB，
∴四边形ABNM是平行四边形，
又∵∠A=90°，
∴四边形ABNM是矩形
同理可得：四边形AEHM是矩形．
①如图：

若点B'在AD下方，则B'M=3cm，B'N=3cm，
∵MH=AE=1（cm），
∴B'H=2（cm），
由折叠可得，EB'=EB=5（cm），
∴Rt△EB'H中，EH=cm，
∴BN=AM=EH=cm，
设BP=t cm，
∴PB'=t cm，PN=（-t）cm，
∵Rt△PB'N中，B'P2=PN2+B'N2，
∴t2=（-t）2+32，
解得：t=；
②如图：

若点B'在AD上方，则B'M=3cm，B'N=9cm，
同理可得，EH=3cm，
设BP=t cm，
∴B'P=t cm，PN=（t-3）cm，
∵Rt△PB'N中，B'P2=PN2+B'N2，
∴t2=（t-3）2+92，
解得：t=15．
综上所述，BP的值为或15．
【点睛】
本题主要考查了折叠问题，勾股定理以及正方形的性质的运用，解题时我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
7．（2021·江苏扬州·二模）如图，Rt△ABC≌Rt△FDE，∠ABC＝∠FDE＝90°，∠BAC＝30°，AC＝4，将Rt△FDE沿直线l向右平移，连接BD、BE，则BD+BE的最小值为___．

【答案】
【解析】
【分析】
根据平面直角坐标系，可以假设，则，，则，欲求的最小值，相当于在轴上找一点，使得到，，的距离和的最小值，如图1中，作点关于轴的对称点，连接交轴题意，连接，此时的值最小，最小值的长．
【详解】
解：建立如图坐标系，

在中，，，，
，
，
斜边上的高，
，
，斜边上的高为，
可以假设，则，，
，
欲求的最小值，相当于在轴上找一点，使得到，，的距离和的最小值，如图1中，

作点关于轴的对称点，连接交轴题意，连接，此时的值最小，最小值，
的最小值为，
故答案为：．
【点睛】
本题考查轴对称最短问题，平面直角坐标系，勾股定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
8．（2021·江苏·苏州高新区实验初级中学三模）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝45°，点E为射线AD上一动点，连接BE，将BE绕点B逆时针旋转60°得到BF，连接AF，则AF的最小值是___．

【答案】．
【解析】
【分析】
如图，以AB为边向下作等边△ABK，连接EK，在EK上取一点T，使得AT＝TK．证明△ABF≌△KBE（SAS），推出AF＝EK，根据垂线段最短可知，当KE⊥AD时，KE的值最小，用勾股定理求出EK即可解决问题．
【详解】
如图，以AB为边向下作等边△ABK，连接EK，在EK上取一点T，使得AT＝TK．

∵BE＝BF，BK＝BA，
又∵∠EBF＝∠ABK＝60°，
∴∠ABF＝∠KBE，
∴△ABF≌△KBE（SAS），
∴AF＝EK，
根据垂线段最短可知，当KE⊥AD时，KE的值最小，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵∠ABC＝45°，
∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝135°，
∵∠BAK＝60°，
∴∠EAK＝75°，
∵∠AEK＝90°，
∴∠AKE＝15°，
∵TA＝TK，
∴∠TAK＝∠AKT＝15°，
∴∠ATE＝∠TAK+∠AKT＝30°，
设AE＝a，则AT＝TK＝2a，ET=a，
在Rt△AEK中，∵AK2＝AE2+EK2，
∴a2+（2a+a）2＝4，
∴a＝，
∴EK＝2a+a＝，
∴AF的最小值为．
故答案为．
【点睛】
本题考查旋转的性质，平行四边形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等的三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．
9．（2021·江苏泰州·二模）如图，在平面直角坐标系中，，点P为y轴正半轴上一动点，连接并延长至点D，使，以为边作，连接，则长度的最小值为_____________．

【答案】3
【解析】
【分析】
设为，由知，，根据平行四边形的性质求出的坐标，用勾股定理求出，再用的取值求出的最小值．
【详解】
解：，，设为，
由知，，
是平行四边形，
，
故,
时，最小，
．
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，关键是利用平行四边形的性质求出,坐标．
10．（2021·江苏南京·二模）如图，在中，，，，点为直线上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，则点、距离的最小值为______．

【答案】
【解析】
【分析】
将线段PB的旋转转化为三角形PBD旋转，构造平行四边形AQEF，运用平行四边形的性质、勾股定理可求出EF的最小值，从而求出AQ的最小值．
【详解】
解：如图所示，将绕点B顺时针旋转60°，得到，点D的对应点为点E．则∠DBE=∠PBQ=60°，∠BEQ=∠BDP=90°，BE=BD，QE=PD．

∵AB=AC，∠BAC=120°，

∴∠ABE=∠ABC+∠DBE=30°+60°=90°．
∴∠ABE+∠BEQ=90°+90°=180°．
∴QE∥AB．
∵AB=AC=3，AD⊥BC，∠ABC=30°，



过点E作EF∥AQ，交AB于点F，则四边形AQEF是平行四边形．
∴AF=QE=PD，FE=AQ．
设PD=AF=x，则BF=3-x．
在中，


∴当x=3时，EF有最小值，最小值为．
∵EF=AQ，
∴AQ的最小值为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质、旋转的性质、求最值等知识点，熟知上述有关图形的判定或性质是解题的基础，而将单一的线段旋转转化为三角形的旋转是解题的关键．
11．（2021·江苏盐城·二模）如图，点是边长为2的正方形的中心，在中，，，，，点为正方形边上的一动点，在的右侧作且，则的最大值为______．

【答案】
【解析】
【分析】
连接BD，连接BG并延长到，且使，易得，由此可得当点P在DG上运动时，点H在过点且垂直于BC的线段 上运动，且=-4，仿此，可得点H在以点C为中心的边长为4的正方形上运动，可得当点P与点F重合时，AH取得最大值，在Rt△ 中，利用勾股定理即可求得AH的长．
【详解】
如图，当点P在线段DG上时，连接BD，连接BG并延长到，且使

∵BC∥DG，∠ABC=90°
∴AB⊥DG
∵四边形DEFG是正方形，且A为正方形的中心，AB=DG=2
∴AB、DG相互垂直平分
∴BD=BG，∠DBG=90°
∴
∵BH=2PB
∴
∵∠DBG=∠PBH=90°
∴
∴△
∴，
∵∠BDG=∠BGD=45°，∠DGF=90°
∴∠，
∴FG∥   
∵DG⊥FG
∴DG⊥
故当点P在边DG上运动时，点H则在线段上运动，且DG=4
由此可得，当点P在四边形DEFG上运动时，点H在以C为中心的正方形上运动，且其边长为4
当点P与点F重合，点H与点重合时，AH最长，此时连接，则=2

∴
在Rt中，由勾股定理得：
故答案为：
【点睛】
本题是动点问题，求线段的最大值，它考查了正方形的性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理等知识，关键和难点是确定动点H的运动路径．
12．（2021·江苏镇江·二模）如图，，点O在线段上，，的半径为1，点P是上一动点，以为一边作等边，则的最小值为_____．

【答案】
【解析】
【分析】
在上方以为一边作等边，连接，先证出，从而可得，由此得出点在以点为圆心，长为半径的圆上，设与交于点，过点作于点，再根据圆的性质得出当点与点重合时，取得最小值，最小值为，然后利用等边三角形的性质、勾股定理求出的长，最后根据可得的长，由此即可得出答案．
【详解】
解：如图，在上方以为一边作等边，连接，
和都是等边三角形，
，
，即，
在和中，，
，
，
点在以点为圆心，长为半径的圆上，
如图，设与交于点，过点作于点，则，
则当点与点重合时，取得最小值，最小值为，
，
，
是等边三角形，，
，
，
在中，，
则，
即的最小值为，
故答案为：．


【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质、圆的性质等知识点，通过作辅助线，构造等边三角形，从而确定点的轨迹是解题关键．
13．（2021·江苏南京·二模）如图，在中，，，，菱形顶点在边上，分别在边上，则的取值范围是_____________．

【答案】
【解析】
【分析】
确定菱形DEFG边长DE的最大值和最小值即可求出DE的取值范围．
【详解】
解：在中，．
（1）当点D与点A重合时，如图1所示，


∵四边形DEFG是菱形，
∴GF∥AB，EF∥AC，DE=EF=FG=GD．
∴∠FEB=∠CDB=∠CGF，∠CFG=∠CBA．
∴．
．

设菱形的边长为x，则
．

解得，．
∴此时为DE的最大值．
（2）当∠DEF=90°时，如图2所示，此时菱形DEFG是正方形．


过点C作CH⊥AB于点H，交GF于点M，则CH⊥GF，且MH=GD=FE．




∵四边形DEFG是正方形，
∴GF∥AB，DE=EF=FG=GD=MH．
∴ΔGFC~ΔABC．



设正方形的边长为y，则MH=y，CM=CH-MH=


解得，
此时为DE的最小值．

∴符合条件的DE的取值范围是

故答案为：
【点睛】
本题考查了勾股定理、菱形的性质、正方形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟知上述图形的判定或性质是解题的基础，运用分类讨论的数学思想，求出菱形边长的最大值和最小值，是解题的关键．
14．（2021·江苏常州·一模）如图，四边形的四个顶点分别在反比例函数与的图象上，对角线轴，且．已知点A的横坐标为4，当四边形是正方形时，请写出m、n之间的数量关系________．

【答案】
【解析】
【分析】
设，先确定出点的坐标为，，进而得出点的坐标为，代入求得，即可得到点的坐标为，从而得到，整理得到．
【详解】
解：当四边形为正方形时，设．
点的横坐标为4，
点的坐标为，，
点的坐标为，
点在反比例函数的图象上，
，化简得：，
点的纵坐标为，
点的坐标为，
，整理，得：．
四边形是正方形时，，
故答案为．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、正方形的性质，利用反比例函数图象上点的坐标特征，找出，之间的关系是解题的关键．
15．（2021·江苏·盐城市初级中学二模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点P是AB边上一点，且AP=2，动点M从点P出发，沿P→B→C运动，作∠AMQ＝∠B与AC相交于点Q，则在点M运动的过程中，点Q的运动路径长为______．

【答案】
【解析】
【分析】
分类讨论①当点M在PB上运动时，Q点的运动路径为由-C运动，此时运动路径长即为长，结合题意求即可；②当点M在BC上运动时，且在BC中点之前时，此时Q点由C-A方向运动，由题意可证，得出结论．设，则．由此即可列出关于CQ和x的二次函数关系式．利用二次函数的性质求出CQ的最大值即为此时点Q的运动路径长．③当点M在BC上运动，且在BC中点之后时，此时Q点由A-C方向运动，根据②可知，此时Q的运动路径长还是CQ的最大值．
最后将三个讨论的结果相加即可．
【详解】
解： ①当点M在PB上运动时，作交AC于点，如图．
∵，
∴，
∴当点M由P-B运动时，点Q由-C运动．
∴此时Q点运动路径长为长，
∵，
∴．

②当点M在BC上运动，且在BC中点之前时，此时Q点由C-A方向运动，如图．

∵，，．
∴，
∵，
∴．　
∴．
∴，
设，则．
∴，即．
∵，
∴当时，CQ有最大值为．
即此时Q点运动路径长为．
③当点M在BC上运动，且在BC中点之后时，此时Q点由A-C方向运动，如图．

根据②可知．
即此时Q点运动路径长为．
综上，Q点运动路径长为．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，相似三角形的判定和性质以及二次函数的几何应用．利用数形结合和分类讨论的思想是解答本题的关键．
16．（2021·江苏省天一中学三模）如图，直线y＝x+b（b>0)与x轴、y轴分别交于点A、B，点P在第一象限内，∠OPB=45o，则线段OP、AP、BP满足的数量关系式为______．

【答案】BP2+2OP2=AP2
【解析】
【分析】
以OP为边作等腰直角三角形OPQ，证明△AOP≌△BOQ，得到AP=BQ，证明△BPQ为直角三角形，得到BP2+PQ2=BQ2，再利用等量代换即可得到结论．
【详解】
解：如图，以OP为边作等腰直角三角形OPQ，
则OP=OQ，∠POQ=90°，∠OPQ=∠OQP=45°，OP=PQ，
∵直线y=x+b与x轴、y轴分别交于点A、B，
令x=0，则y=b，令y=0，则x=-b，
即A（-b，0），B（0，b），即OA=OB=b，
∴△OAB是等腰直角三角形，∠OAB=∠OBA=45°，
∵∠AOB+∠POB=∠POQ+∠POB，即∠AOP=∠BOQ，
OA=OB，OP=OQ，
∴△AOP≌△BOQ（SAS），
∴AP=BQ，
∵∠OPB=45°，
∴∠BPQ=∠OPB+∠OPQ=90°，
∴在△BPQ中，BP2+PQ2=BQ2，
∴BP2+2OP2=AP2，
故答案为：BP2+2OP2=AP2．

【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，一次函数与坐标轴交点问题，勾股定理，有一定难度，解题的关键是添加辅助线，构造出全等三角形．
17．（2021·江苏无锡·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，且，C为线段上一点，，若M为y轴上一点，且，设直线与直线相交于点N，则的长为________．

【答案】或
【解析】
【分析】
过点C作CD⊥x轴于D，证明△ACD∽△ABO，得到，求出CD和AD，得到点C坐标，求出直线OC的解析式，再求出点M的坐标，分两种情况，联立解析式，求出点N坐标，利用勾股定理得到ON的长．
【详解】
解：过点C作CD⊥x轴于D，则∠ADC=∠AOB=90°，
又∵∠CAD=∠BAO，
∴△ACD∽△ABO，
∴，
∵B（0，6），
∴OB=6，
∵∠OAB=30°，
∴AB=2OB=12，
∴AO==，
∵BC：CA=1：2，
∴AC=，
∴BC=AB-AC=4，
∴，
解得：CD=4，AD=，
∴OD=OA-AD=，
∴C（，4），
设直线OC的解析式为y=kx，将C代入，
则，解得：，
∴直线OC的解析式为，
∵OM：OB=1：2，OB=6，
∴OM=3，
∴M的坐标为（3，0）或（-3，0），
当M（3，0）时，记为点M′，设直线AM′的解析式为y=ax+b，
则，解得：，
∴直线AM′的解析式为，
联立直线AM′和直线OC的解析式得，解得：，
∴N（，），
∴ON=；

当M（-3，0）时，同理求得直线AM的解析式为，
联立得，解得：，
∴N（，-4），
∴ON==，
综上：ON的长为或，
故答案为：或．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，一次函数与二元一次方程组，勾股定理，有一定难度，解题的关键是根据题意画出图形，分类讨论解决问题．
18．（2021·江苏盐城·三模）如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平后再次折叠，使点A落在EF上的点A′处，得到折痕BM，BM与EF相交于点N．若直线BA′交直线CD于点O，BC＝5，EN＝1，则OD的长为__．

【答案】
【解析】
【分析】
连接AA'，先证明△ABA'为等边三角形，得∠ABM=30°，从而求出AB、CD，再在Rt△BOC中求出OC，即可得到答案．
【详解】
解：连接AA'，如图：

∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，
∴AA'=A'B，,，则，
∴，
又∵EN＝1，
∴AM=2，
∵把纸片展平后再次折叠，使点A落在EF上的点A'处，得到折痕BM，
∴A'B=AB，∠ABM=∠A'BM，
∴△ABA'为等边三角形，
∴∠ABA'=∠BA'A=∠A'AB=60°，
又∵∠ABC=∠BAM=90°，
∴∠ABM=∠A'BM=∠A'BC=30°，
∵AM=2，
∴BM=2AM=4，，
在Rt△BOC中，∠C=90°，∠OBC=30°，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查矩形性质及应用、折叠等知识，解题的关键是根据折叠得到△ABA'是等边三角形．
19．（2021·江苏泰州·一模）已知二次函数的图像经过点与，关于的方程有两个根，其中一个根是5，若关于的方程有两个整数根，则这两个整数根分别是______．
【答案】4或-2
【解析】
【分析】
根据题目中的函数解析式和二次函数与一元二次方程的关系，可以得到关于x的方程ax2+bx+c+n=0 （0＜n＜m）的两个整数根，从而可以解答本题．
【详解】
∵二次函数的图像经过点与，
∴ax2+bx+c=0的两个根为3和-1，函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=1，
∵关于x的方程ax2+bx+c+m=0（m＞0）有两个根，
∴方程ax2+bx+c+m=0（m＞0）的两个根为函数y=ax2+bx+c与直线y=-m的两个交点的横坐标，
∵方程ax2+bx+c+m=0（m＞0）一个根是5，函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=1，
∴方程ax2+bx+c+m=0（m＞0）的另一个根为-3，函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，
∵方程ax2+bx+c+n=0 （0＜n＜m）两个根是函数y=ax2+bx+c与直线y=-n的两个交点的横坐标，
∴方程ax2+bx+c+n=0 （0＜n＜m）两个根，一个在在5和3之间，另一个在-3和-1之间，
∴关于的方程的两个整数根是4或-2，
故答案为： 4或-2．
【点睛】
本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的关系解答．
20．（2021·江苏无锡·二模）如图，菱形中，，顶点在双曲线上，顶点在双曲线上，且经过点O．若，则菱形面积的最小值是______．

【答案】
【解析】
【分析】
先构造出COM∽△OBN，得出，再判断出△BCD是等边三角形，得出OC=OB，进而得出OM=BN，CM=ON，设点B的坐标为（m，），求出C（，m），进而得出k1=-3k2，进而求出k1=12，k2=-4，进而求出OB，OC，最后得出S菱形ABCD=2(m-)2+16，即可得出结论．
【详解】
解：如图，过点C作CM⊥y轴于M，过点B作BN⊥y轴于N，连接OC，

∴∠OMC=∠BNO=90°，
∴∠COM+∠OCM=90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OC⊥BD，
∴∠BOC=90°，
∴∠COM+∠BON=90°，
∴∠OCM=∠OBN，
∴△COM∽△OBN，
∴，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=CB，AB∥CD，
∴∠BCD=180°-∠ABC=60°，
∴△BCD是等边三角形，
∵OC⊥BD，
∴OC=OB，
∴，
∴OM=BN，CM=ON，
设点B的坐标为（m，），
∴BN=m，ON=，
∴OM=m，CM=×(-)=，
∴C（，m），
∵点C在反比例函数y=图象上，
∴×m=k1，
∴k1=k2，
∵k1+k2=8，
∴k1=12，k2=-4，
∴，，
∴，
∴S菱形ABCD=2×BD•OC=2OB•OC


，
∴当m=时，S菱形ABCD最小=16，
故答案为：16．
【点睛】
本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，待定系数法，构造出相似三角形是解本题的关键．
21．（2021·江苏南通·二模）如图，矩形中，，，在边上运动，、在对角线上运动，且，连接、，则的最小值为______．

【答案】
【解析】
【分析】
作点C关于BD的对称点C′，连结CC′，连结C′M，过E′作EF⊥BC于F，过E作EE′∥NM，过M作ME′∥NE，交点为E′，则四边形MNEE′为平行四边形，求出EE′=MN=，当C′、M、E′、F四点在同一直线时最短， 由勾股定理，由面积求CC′=，可证△BDC∽△C′CF，解得，可证△EFE′∽△BCD，求E′F=1即可 ．
【详解】
解：作点C关于BD的对称点C′，连结CC′，连结C′M，过E′作EF⊥BC于F，过E作EE′∥NM，过M作ME′∥NE，交点为E′，
则四边形MNEE′为平行四边形，
∴EE′=MN=，
∴当C′、M、E′、F四点在同一直线时最短，此时C′F⊥BC，
CM+EN =C′F-E′F，
∵BC=4，CD=2，
由勾股定理，
∴，
∴，
∴CC′=，
∵CC′⊥BD，CF⊥BC，∠C′FC=∠DCB=90°，
∴∠C′+= ∠DBC+∠BCG=90°，
∴∠C′=∠DBC，
∴△BDC∽△C′CF，
∴即，
解得，
∵EE′∥BD，
∴∠E′EF=∠DBF，∠E′FE=∠DCB=90°，
∴△EFE′∽△BCD，
∴即，
∴E′F=1，
∴．
故答案为：．

【点睛】
本题考查轴对称性质，矩形性质，平行四边形判定与性质，三角形相似判定与性质，勾股定理，四点共线时最短，面积桥，掌握轴对称性质，矩形性质，平行四边形判定与性质，三角形相似判定与性质，勾股定理，四点共线时最短，面积桥是解题关键．
22．（2021·江苏泰州·一模）如图，在RtABC中，∠ACB=90°，AB=6，点D、E分别在边AB、AC上，且DB=2AD，AE=3EC，连接BE，CD，相交于点O，则ABO面积最大值为_．

【答案】6
【解析】
【分析】
过点D作DF∥AE，根据平行线分线得出相似可得，根据已知，可得DO＝2OC，C在以AB为直径的圆上，设圆心为G，当CG⊥AB时，△ABC的面积最大为：6×3＝9，即可求出此时△ABO的最大面积．
【详解】
解：如图，过点D作DF∥AE，

∵DF∥AE
∴△DBF∽△ABE
∴，
∵，
∴DF＝2EC，
∴DO＝2OC，
∴DODC，
∴S△ADOS△ADC，S△BDOS△BDC，
∴S△ABOS△ABC，
∵∠ACB＝90°，
∴C在以AB为直径的圆上，设圆心为G，
当CG⊥AB时，△ABC的面积最大为：6×3＝9，
此时△ABO的面积最大为：9=6．
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理、相似以及圆等知识，解决本题的关键是掌握平行线分线段成比例定理．
23．（2021·江苏·扬州中学教育集团树人学校一模）如图，已知二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，P点为该图象在第一象限内的一点，过点P作直线BC的平行线，交x轴于点M．若点P从点C出发，沿着抛物线运动到点B，则点M经过的路程为_____．

【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，可以先求出点A、B、C的坐标，从而可以得到直线BC的解析式，再根据PM∥BC，点P在抛物线上，可以写出点P的坐标和对应的直线PM的解析式，再根据题意，可以得到点M横坐标的最大值，从而可以得到点M经过的路程．
【详解】
解：∵二次函数y=-x2+2x+3=-(x-3) (x+1)，
∴当y=0时，x1=-1，x2=3，当x=0时，y=3，
∴点A的坐标为(-1，0)，点B的坐标为(3，0)，点C的坐标为(0，3)，
设直线BC的函数解析式为y=kx+b，
，解得，
即直线BC的函数解析式为y=-x+3，
∵PM∥BC，点P在抛物线上且在第一象限，
∴设点P的坐标为(m，-m2+2m+3)，
设直线PM的解析式为y=-x+c，
-m2+2m+3=-m+c，
解得c=-m2+3m+3，
∴直线PM的解析式为y=-x-m2+3m+3，
令-x-m2+3m+3=-x2+2x+3且△=0，
即x2-3x-m2+3m=0，
，
解得m=，
此时直线PM的解析式为，
当y=0时，x=，
∴点M横坐标为最大值是，
∴点M经过的路程为：，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点、待定系数法求一次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
24．（2021·江苏无锡·一模）如图，扇形中，，将扇形绕点逆时针旋转，得到扇形，若点刚好落在弧上的点处，则的值为______．

【答案】
【解析】
【分析】
如图，连、、，延长交于点，由旋转的性质可得，，可得△BOD为等边三角形，可证是等边三角形，由线段垂直平分线的性质可得垂直平分，由等腰直角三角形的性质和等边三角形的性质可得，，即可求解．
【详解】
解：如图，连、、，延长交于点，

∵将扇形绕点逆时针旋转，得到扇形，若点刚好落在弧上的点处，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，即旋转角为，
∴，又可知，
∴是等边三角形，
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题考查图形旋转，等边三角形判定与性质，垂直平分线的判定，特殊角锐角三角函数，等腰直角三角形判定与性质，掌握图形旋转，等边三角形判定与性质，垂直平分线的判定，特殊角锐角三角函数，等腰直角三角形判定与性质是解题关键．
25．（2021·江苏无锡·一模）如图，点是正方形内一点，点到点，和的距离分别为1，，，延长与相交于点，则的长为___．

【答案】
【解析】
【分析】
将绕点顺时针旋转90°得到，作垂足为，根据勾股定理逆定理得到是直角三角形，求出，，利用∽得到，可得结论．
【详解】
解：作垂足为，将绕点顺时针旋转得到，连接．

∵四边形为正方形，
∴，，
∵绕点顺时针旋转后得到，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
在和中，，，
∴∽，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了解直角三角形和相似三角形的判定与性质，解题关键是通过旋转构建直角三角形，利用相似三角形性质求解．
26．（2021·江苏南通·一模）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB上的一个动点，连接CD，将△BCD绕点C顺时针旋转90°得到△ACE，连接DE，则△ADE面积的最大值等于____________．

【答案】
【解析】
【分析】
先根据全等旋转变换，可得∠B=∠CAE，由BC=AC=，△ABC为等腰直角三角形，可得∠DAE =90°可得AB=2，设BD=AE=x，则AD=（2-x），函数开口向下，函数有最大值．
【详解】
解：如图，△BCD绕点C顺时针旋转90°得到△ACE，
∴△BDC≌△AEC，
∴∠B=∠CAE，
∵BC=AC=，△ABC为等腰直角三角形，
∴∠B=∠CAE=∠BAC=45°，
∴∠DAE=∠BAC+∠CAE=90°，
在Rt△ABC中，由勾股定理AB=，
设BD=AE=x，则AD=（2-x），
∴，
∵，函数开口向下，函数有最大值，
当x=1时，．
故答案为：．

【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、旋转的性质、勾股定理，二次函数的性质等知识点，掌握等腰三角形的性质、直角三角形的性质、旋转的性质、勾股定理，二次函数的性质等知识点是解题关键．
27．（2021·江苏苏州·一模）如图，在边长为的等边△ABC中，点D、点E分别是边BC、AC上的点，且BD＝CE，连接BE、AD，相交于点F．连接CF，则CF的最小值为_________．

【答案】6
【解析】
【分析】
首先证明∠AFB＝120°，推出点F的运动轨迹是O为圆心，OA为半径的弧上运动（∠AOB＝120°，OA＝6），设OC交⊙O于N，当点F与N重合时，CF的值最小．
【详解】
解：如图，∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠BAC＝∠BCE＝60°，
∵BD＝CE，
在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD＝∠CBE，
又∵∠AFE＝∠BAD＋∠ABE，
∴∠AFE＝∠CBE＋∠ABE＝∠ABC，
∴∠AFE＝60°，
∴∠AFB＝120°，
∴点F的运动轨迹是O为圆心，OA为半径的弧上运动，此时∠AHB＝180°-120°=60°，∠AOB=2∠AHB=120°，
∵AB=，OA=OB，
∴OA＝AB ÷=÷=6，
∵OA=OB，AC=BC，OC=OC，
∴，
∴∠AOC=∠AOB=60°，∠ACO=∠ACB=30°，
∴∠CAO=90°，
∴OC＝2OA＝12，
设OC交⊙O于N，当点F与N重合时，CF的值最小，最小值＝OC−ON＝12−6＝6．
故答案为6．

【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、圆的有关知识等知识，解题的关键是学会添加辅助圆解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
28．（2021·江苏盐城·一模）如图，在直角坐称系中，半径为1的⊙A圆心A的坐标为（﹣1，0），点P为直线y＝﹣x+2上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是_____．

【答案】2
【解析】
【分析】
过点P作⊙A的切线，切点为Q，连接AP、AQ，设直线与x、y轴的交点分别为B、C，由切线的性质可得∠AQP=90°，进而根据勾股定理可得，当切线长PQ为最小时，则AP为最小，由此可得当AP与直线垂直时AP取最小，最后问题可求解．
【详解】
解：过点P作⊙A的切线，切点为Q，连接AP、AQ，设直线与x、y轴的交点分别为B、C，如图所示：

∴∠AQP=90°，
令y=0时，则，解得，令x=0时，则y=2，
∴OC=2，OB=4，
∵半径为1的⊙A圆心A的坐标为（﹣1，0），
∴，
∴AB=5，
∴在Rt△PQA中，，
∴当切线长PQ为最小时，则AP为最小，由此可得当AP与直线垂直时AP取最小，连接AC，则由勾股定理可得，
∴，
∴AC⊥BC，
∴当点P与点C重合时，PQ取最小值，如图所示，

∵OA=AQ，AC=AC，∠AQP=∠AOP=90°，
∴△AQP≌△AOP（HL），
∴OP=PQ=2，
∴PQ的最小值为2；
故答案为2．
【点睛】
本题主要考查切线的性质及一次函数的综合，熟练掌握切线的性质及一次函数的性质是解题的关键．
29．（2021·江苏南通·一模）如图，在矩形ABCD中，BC＝3CD＝，点P是AD的中点，点E在BC上，CE＝2BE，点M、N在线段BD上．若PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，则PN＝_____．

【答案】或3.75．
【解析】
分两种情况：①MN为等腰△PMN的底边时，作PF⊥MN于F，由矩形的性质及已知条件求得AD、AB、CD、BD和PD；由有两个角相等的三角形相似判定△PDF∽△BDA、△PNF∽△EDC，由相似三角形的性质列比例式，求得PF的长，进而求得PN的长；②MN为等腰△PMN的腰时，PF⊥BD于F，设MN=PN=x，则FN=6-x，在Rt△PNF中，由勾股定理求得x值即可．
【详解】
解：分两种情况：
①MN为等腰△PMN的底边时，作PF⊥MN于F，如图1所示：


则∠PFM=∠PFN=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，BC=AD=3AB=6，∠A=∠C=90°，
∴AB=CD=2，BD=，
∵点P是AD的中点，
∴PD=0.5AD=3，
∵∠PDF=∠BDA，∠PFD=∠A，
∴△PDF∽△BDA，
∴，即 ，
解得：PF=3，
∵CE=2BE，
∴BC=AD=3BE，
∴BE=CD，
∴CE=2CD，
∵△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，
∴MF=NF，∠PNF=∠DEC，
∵∠PFN=∠C=90°，
∴△PNF∽△DEC，
∴，
∴PN=3；
②MN为等腰△PMN的腰时，PF⊥BD于F，如图2所示：


由①得：PF=3，PM=3，MF=，
设MN=PN=x，则FN=6-x，
在Rt△PNF中，32+（6-x）2=x2，
解得：x=3.75，即PN=3.75．
如图1中，当PM′=M′N时，PN=3，
故答案为：3或3.75．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、等腰三角形的性质及勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质及定理并分类讨论是解题的关键．
30．（2021·江苏·靖江外国语学校一模）点A是反比例函数图像上一点，以OA为直径的圆交轴于点B，点C为弧OBA的中点，连接CB并延长交OA的延长线于点D，若CD＝，则点A的坐标为______．

【答案】(，)或(，)
【解析】
【分析】
作出如图的辅助线，先证明Rt△EPCRt△HOP(AAS)，设点A(，)，则B (，)，P(，)，H (，)，求得C(，)，再求得直线OA、BC的解析式，联立求得点D的坐标，利用等腰直角三角形的性质求解即可．
【详解】
连接AB，过P作PE⊥轴于H，过C作CE⊥并的延长线交于E，如图：

∵OA为⊙P直径，点C为弧OBA的中点，
∴∠OBA=90，∠OPC=90，OP= PC，
∴∠OPH+∠EPC=∠OPH+∠POH=90，
∴∠EPC=∠POH，
∴Rt△EPCRt△HOP(AAS)，
∴EP=HO，EC= HP，
设点A(，)，则B (，)，P(，)，H (，)，
∴EP=HO=，EC= HP=，
∴C(，)，
设直线OA的解析式为，
则，解得，
∴直线OA的解析式为，
设直线BC的解析式为，
，
解得：，
∴直线BC的解析式为，
解方程组得：，
∴D (，)，
∵直线BC的解析式为，


∴
整理得，，
解得：或或(负值不合题意，全部舍去)，
经检验，，是原方程的解，
∴点A的坐标为(，)或(，) ．
故答案为：(，)或(，)．
【点睛】
本题考查了反比例函数的性质，圆周角定理，待定系数法求函数解析式，全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
31．（2021·江苏·沭阳县修远中学二模）如图，在四边形中，，为一条对角线，于点E，若，则边的长________．

【答案】
【解析】
【分析】
过点作于，设，根据等腰三角形的性质得到，证明，由全等三角形的性质得到，在中，根据勾股定理解得，再在中，由勾股定理解得的值即可．
【详解】
解：过点作于，设








在与中，



在中，


或（舍去）

在中，
．

【点睛】
本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的性质、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是截图关键．
32．（2021·江苏·常州外国语学校二模）新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形.如图，已知在对余四边形中，，，，，那么边的长为______．

【答案】9
【解析】
【分析】
连接AC，作交BC于E点，由，，可得AE=6，BE=8，并求出AC的长，作交AD于F点，可证，最后求得AF和DF的长，可解出最终结果．
【详解】
解：如图，连接AC，作交BC于E点，
，，
，设AE=3x，BE=4x，
，则，
解得x=2，则AE=6，BE=8，
又，CE=BC-BE=4，
，
作交AD于F点，
，，
，==，
又，同理可得DF=3，CF=4，
，
AD=AF+DF=9．
故答案为：9．

【点睛】
本题考查四边形综合问题，涉及解直角三角形，勾股定理，有一定难度，熟练掌握直角三角形和勾股定理知识点，根据题意做出正确的辅助线是解决本题的关键．
33．（2021·江苏省锡山高级中学实验学校二模）如图，正方形ABCD中，BC=2，点M是边AB的中点，连接DM，DM与AC交于点P，点F为DM中点，点E为DC上的动点．当∠DFE=45°时，则DE= _____ ．

【答案】．
【解析】
【分析】
如图，连接．首先求出、的长，证明，可得，即求出．
【详解】
解：四边形是正方形，
，，，
∵点M是边AB的中点，
，
在中，，
，
，
∴，
，
∵点F为DM中点，
∴，
∵，
∴
∴
即有．
故答案是：．
【点睛】
本题考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
34．（2021·江苏无锡·一模）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝60°，AD＝BC＝CD＝4，点M是四边形ABCD内的一个动点，满足∠AMD＝90°，则点M到直线BC的距离的最小值为_____．

【答案】
【解析】
【分析】
取AD的中点O，连接OM，过点M作ME⊥BC交BC的延长线于E，点点O作OF⊥BC于F，交CD于G，则OM+ME≥OF．求出OM，OF即可解决问题．
【详解】
解：取AD的中点O，连接OM，过点M作ME⊥BC交BC的延长线于E，点点O作OF⊥BC于F，交CD于G，则OM+ME≥OF．

∵∠AMD＝90°，AD＝4，OA＝OD，
∴OM＝AD＝2，
∵AB∥CD，
∴∠GCF＝∠B＝60°，
∴∠DGO＝∠CGE＝30°，
∵AD＝BC，
∴∠DAB＝∠B＝60°，
∴∠ADC＝∠BCD＝120°，
∴∠DOG＝30°＝∠DGO，
∴DG＝DO＝2，
∵CD＝4，
∴CG＝2，
∴OG＝2，GF＝，OF＝3，
∴ME≥OF﹣OM＝3﹣2，
∴当O，M，E共线时，ME的值最小，最小值为3﹣2．
【点睛】
本题考查解直角三角形，垂线段最短，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
35．（2021·江苏扬州·一模）如图，矩形中，，，为边上一个动点，连结，取的中 点，点绕点逆时针旋转得到点，连结，则面积的最小值是__________.

【答案】15
【解析】
【详解】
解析：解：过点作的垂线交的延长线于点,则，在矩形中，
,,,,由旋转知：,
,,,,
∽,,设，，,
，
，
当时，有最小值，最小值为，故答案为：.
36．（2021·江苏无锡·一模）如图，在边长为3的正六边形ABCDEF中，将四边形ADEF绕点A顺时针旋转到四边形处，此时边与对角线AC重叠，则图中阴影部分的面积是___________．

【答案】
【解析】
【分析】
根据正六边形的性质和旋转的性质以及扇形的面积公式即可得到结论．
【详解】
解：∵在边长为3的正六边形ABCDEF中，∠DAC=30°，∠B=∠BCD=120°，AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA=30°，
∴∠ACD=90°，
∵CD=3，
∴AD=2CD=6，
∴图中阴影部分的面积=S四边形ADEF+S扇形DAD′-S四边形AF′E′D′，
∵将四边形ADEF绕顶点A顺时针旋转到四边形AD'E'F′处，
∴S四边形ADEF=S四边形AD′E′F′
∴图中阴影部分的面积=S扇形DAD′=
故答案为：3π．
【点睛】
本题考查了正多边形与圆，旋转的性质，扇形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．
37．（2021·江苏·苏州高新区第五初级中学校二模）如图①，在中，，点E是边的中点，点P是边上一动点，设．图②是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点．．那么的值为_______．

【答案】7
【解析】
【分析】
过B作AC的平行线，过C作AB的平行线，交于点D，证明四边形ABCD为菱形，得到点A和点D关于BC对称，从而得到PA+PE=PD+PE，推出当P，D，E共线时，PA+PE最小，即DE的长，观察图像可知：当点P与点B重合时，PD+PE=，分别求出PA+PE的最小值为3，PC的长，即可得到结果.
【详解】
解：如图，过B作AC的平行线，过C作AB的平行线，交于点D，
可得四边形ABCD为平行四边形，又AB=AC，
∴四边形ABCD为菱形，点A和点D关于BC对称，
∴PA+PE=PD+PE，
当P，D，E共线时，PA+PE最小，即DE的长，
观察图像可知：当点P与点B重合时，PD+PE=，
∵点E是AB中点，
∴BE+BD=3BE=，
∴BE=，AB=BD=，
∵∠BAC=120°，
∴∠ABD=（180°-120°）÷2×2=60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴DE⊥AB，∠BDE=30°，
∴DE=3，即PA+PE的最小值为3，
即点H的纵坐标为a=3，
当点P为DE和BC交点时，
∵AB∥CD，
∴△PBE∽△PCD，
∴，
∵菱形ABCD中，AD⊥BC，
∴BC=2×=6，
∴，
解得：PC=4，
即点H的横坐标为b=4，
∴a+b=3+4=7，
故答案为：7.

【点睛】
本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
38．（2021·江苏·常州外国语学校二模）【阅读理解】设点P在矩形ABCD内部，当点P到矩形的一条边的两个端点距离相等时，称点P为该边的“和谐点”．例如：如图1，矩形ABCD中，若PA＝PD，则称P为边AD的“和谐点”．
【解题运用】已知，点P在矩形ABCD内部，且AB=10，BC=6．
（1）设P是边AD的“和谐点”，则P 边BC的“和谐点”（填“是”或“不是”）；
（2）若P是边BC的“和谐点”，连接PA，PB，当△PAB是直角三角形时，求PA的值；
（3）如图2，若P是边AD的“和谐点”，连接PA，PB，PD，求tan∠PAB· tan∠PBA的最小值．

【答案】（1）是；（2）或；（3）
【解析】
【分析】
（1）证明△PAB≌△PDC，即可得证；
（2）先得出P在AD和BC的垂直平分线上，过P作PE⊥AD于E，PF⊥AB于F，易证四边形PEAF为矩形，可得PF=3，根据PF⊥AB，得出PF2=AF·（AB-AF），设AF=x，解得x1=1，x2=9，然后即可得出答案；
（3）作PF⊥AB于F，由（2）可知PF=3，可得tan∠PAB·tan∠PBA==，设AF=x，则BF=10-x，可得AF·BF=（10-x）·x，可求出AF·BF的最大值，即可推出的最小值．
【详解】
（1）是；

连接PB,PC
∵P是边AD的“和谐点”，
∴PA=PD，
∴∠PDA=∠PAD，
∵∠CDA=∠BAD=90°，
∴∠CDP=∠BAP，
∵AP=DP，AB=CD，
∴△PAB≌△PDC（SAS），
∴PB=PC；
（2）∵P是BC的和谐点，
∴P也是AD的和谐点，
∴PB=PC，PA=PD，
∴P在AD和BC的垂直平分线上，
过P作PE⊥AD于E，PF⊥AB于F，

易证四边形PEAF为矩形，
∴PF=AE，
又∵PA=PD，PE⊥AD，
∴AE=AD=3，
∴PF=3，
又∵△ABP为直角三角形，且P在矩形内部，
∴只能∠APB=90°，
又∵PF⊥AB，
∴PF2=AF·BF（射影定理），
∴PF2=AF·（AB-AF），
设AF=x，
∴x(10-x)=9，
x2-10x+9=0，
(x-1)(x-9)=0，
∴x1=1，x2=9，
当AF=9时 PA==，
AF=1时 PA==，
∴AF的值为或；
（3）作PF⊥AB于F，由（2）可知PF=3，

∴tan∠PAB=，tan∠PBA=，
∴tan∠PAB·tan∠PBA==
设AF=x，则BF=10-x，
∴AF·BF=（10-x）·x=-x2+10x=-（x-5）2+25，
当x=5时，AF·BF有最大值25，
∴有最小值是，
∴tan∠PAB·tan∠PBA的最小值是．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，锐角三角函数，二次函数的最值，全等三角形的判定和性质，正确理解和谐点的定义是解题关键．
39．（2021·江苏·常州市第二十四中学一模）如图，在中，，，点，分别在边，上，且，连接，，相交于点，则面积最大值为__________．

【答案】
【解析】
【分析】
作DG∥AC，交BE于点G，得到，进而得到，求出面积最大值，问题得解．
【详解】
解：如图1，作DG∥AC，交BE于点G，
∴，

∵ ,
∴
∵
∴
∴
∵AB=4，
∴
∴若面积最大，则面积最大，
如图2，当点△ABC为等腰直角三角形时，面积最大，为，
∴ 面积最大值为


故答案为：
【点睛】
本题考查了三角形面积最大问题，相似等知识点，通过OD与CD关系将求面积转化为求面积是解题关键
40．（2021·江苏·一模）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，Rt△OAB的直角顶点B在x轴的正半轴上，点A在第一象限，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过OA的中点C．交AB于点D，连结CD．若△ACD的面积是2，则k的值是_____．

【答案】
【解析】
【分析】
作辅助线，构建直角三角形，利用反比例函数k的几何意义得到S△OCE=S△OBD=k，根据OA的中点C，利用△OCE∽△OAB得到面积比为1：4，代入可得结论．
【详解】
解：连接OD，过C作CE∥AB，交x轴于E，

∵∠ABO＝90°，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过OA的中点C，
∴S△COE＝S△BOD＝，S△ACD＝S△OCD＝2，
∵CE∥AB，
∴△OCE∽△OAB，
∴，
∴4S△OCE＝S△OAB，
∴4×k＝2+2+k，
∴k＝，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．也考查了相似三角形的判定与性质．
41．（2021·江苏·镇江市外国语学校一模）如图，在△ABC中，∠A=90°，∠B=60°，AB=2，若D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值为_____．

【答案】6
【解析】
【分析】
取AC的中点F，过F作于G，延长FG至E，使EG=FG，连接AE交BC于D，则 此时最短，证明此时D为BC的中点，证明CD=2DF，从而可得答案．
【详解】
解：如图，

取AC的中点F，过F作于G，延长FG至E，使EG=FG，连接AE交BC于D，则 此时最短，




过A作于H，则由








为BC的中点，




即的最小值为6．
故答案为：6．
【点睛】
本题考查的是利用轴对称求最小值问题，考查了锐角三角函数，三角形的相似的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．
42．（2021·江苏·沭阳县修远中学九年级阶段练习）平面直角坐标系中，已知点在直线上，且满足，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
把b=2ca+c2+2代入a2+b2-2（1+2bc）+4c2+b=0，利用非负数的性质，求出a、b（用c表示），再代入b=2ca+c2+2解方程即可解决问题．
【详解】
解：∵点（a，b）在直线y=2cx+c2+2（c＞0）上，
∴b=2ca+c2+2，代入a2+b2-2（1+2bc）+4c2+b=0，
整理得到（b-2c）2+（a+c）2=0，
∵（b-2c）2≥0，（a+c）2≥0，
∴a=-c，b=2c代入b=2ca+c2+2得到，
2c=-2c2+c2+2，
∴c2+2c-2=0，
∴c=-1±，
∵c＞0，
∴c=-1+，
故答案为：-1+.
【点睛】
本题考查一次函数图象上点的特征，非负数的性质，完全平方公式等知识，解题的关键是熟练应用非负数的性质解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
43．（2021·江苏·苏州新草桥中学一模）如图，在中，，，，为边上一动点（不与点重合），以为边长作正方形，连接，则的面积的最大值等于________．

【答案】18
【解析】
【分析】
过点C作CG⊥BA交其延长线于点G，作EH⊥AB于点H，作AM⊥BC于点M，利用特殊角的三角函数值和勾股定理先后求得CM、、的长，用面积法求得，设BD=，则DG=，易证Rt△GDCRt△HED，GD=HE=，所以，利用二次函数的性质即可求解．
【详解】
过点C作CG⊥BA交其延长线于点G，作EH⊥AB于点H，作AM⊥BC于点M．

∵AC=2，，
∴AM=2=CM，
∵AB=10，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
在Rt△BCG中，
，
设BD=，则DG=，
∵四边形是正方形，
∴∠EDC=90，DE=DC，
∴∠EDH+∠GDC=90，∠EDH+∠HED =90，
∴∠GDC=∠HED，
在Rt△GDC和Rt△HED中，
，
∴Rt△GDCRt△HED，
∴GD=HE=，
∴，
当时，△BDE面积的最大值为18．
故答案为：18．
【点睛】
本题考查了正方形的性质与相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，特殊的三角值以及二次函数的性质，熟练运用正方形的性质与相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质是解题的关键．
44．（2021·江苏苏州·一模）如图，RtΔABC中∠C＝90°，∠ABC＝30°，ΔABC绕点C顺时针旋转得ΔA1B1C，当A1落在AB上时，连接B1B，取B1B的中点D，连接A1D，则的值为_______．

【答案】
【解析】
【分析】
根据旋转的性质得到△ACA1和△BCB1是等边三角形，再根据等边三角形的内角度数及直角三角形的内角度数推出△A1BD为直角三角形，设AC=x，根据勾股定理得出A1B=x，BB1=x，因为点D是BB1的中点，得出BD =x，根据勾股定理得出A1D==，从而可得出的值．
【详解】
解：∵∠ACB=90°，∠ABC=30°
∴∠A=90°-∠ABC=90°-30°=60°
∵△ABC绕点C顺时针旋转得△A1B1C
∴CA=CA1，CB=CB1
∴△ACA1是等边三角形
∴∠ACA1=60°
∴∠A1CB=∠ACB-∠ACA1=90°-60°=30°
∵∠A1CB1=90°
∴∠BCB1=∠A1CB1-∠A1CB=90°-30°=60°
∵CB=CB1
∴△BCB1是等边三角形
∴∠B1BC=60°
∴∠A1BB1=∠ABC+∠B1BC=30°+60°=90°
设AC=x，
则在Rt△ABC中，A1C=AA1=AC=x，AB=2x，BC=x
∴A1B=x，BB1=x
∵点D是BB1的中点
∴BD=BB1=x
在Rt△A1BD中，
A1D==
∴
故答案为．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识．解题的关键是证明△ACA1和△BCB1是等边三角形．
45．（2021·江苏苏州·一模）如图，已知在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，点M是AC边上任意一点，连接MB，以MB、MC为邻边作平行四边形MCNB，连接MN，则MN的最小值是______

【答案】
【解析】
【分析】
设MN与BC交于点O，连接AO，过点O作OH⊥AC于H点，根据等腰三角形的性质和勾股定理可求AO和OH长，若MN最小，则MO最小即可，而O点到AC的最短距离为OH长，所以MN最小值是2OH．
【详解】
解：设MN与BC交于点O，连接AO，过点O作OH⊥AC于H点，

∵四边形MCNB是平行四边形，
∴O为BC中点，MN＝2MO．
∵AB＝AC＝13，BC＝10，
∴AO⊥BC．
在Rt△AOC中，利用勾股定理可得
AO＝＝12．
利用面积法：AO×CO＝AC×OH，
即12×5＝13×OH，解得OH＝．
当MO最小时，则MN就最小，O点到AC的最短距离为OH长，
所以当M点与H点重合时，MO最小值为OH长是．
所以此时MN最小值为2OH＝．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质、垂线段最短、勾股定理、等腰三角形的性质，解题的关键是分析出点到某线段的垂线段最短，由此进行转化线段，动中找静．
46．（2021·江苏无锡·二模）如图，在中，，，与轴交于点，，点在反比例函数的图象上，且轴平分，求_____．

【答案】
【解析】
【分析】
要求k的值，通常可求A的坐标，可作x轴的垂线，构造相似三角形，利用CD=4AD和C（0，-4）可以求出A的纵坐标，再利用三角形相似，设未知数，由相似三角形对应边成比例，列出方程，求出待定未知数，从而确定点A的坐标，进而确定k的值．
【详解】
解：过A作AE⊥x轴，垂足为E，


∵C（0，-4），
∴OC=4，
∵∠AED=∠COD=90°，∠ADE=∠CDO
∴△ADE∽△CDO，
,
∴AE=1；
又∵y轴平分∠ACB，CO⊥BD，
∴BO=OD，
∵∠ABC=90°，
∴∠OCD=∠DAE=∠ABE=∠BCE，
∵∠DOC=∠ADE=90°
∴△ABE～△COD，
∴
设DE=n，则BO=OD=4n，BE=9n，
∴，
∴,
∴OE=5n=,
故点A(，1),
∴k=×1=
故答案为：.
【点睛】
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，综合利用相似三角形的性质，全等三角形的性质求A的坐标，依据A在反比例函数的图象上的点，根据坐标求出k的值．综合性较强，注意转化思想方法的应用．
47．（2021·江苏·苏州市振华中学校二模）如图，△ABC为等边三角形，点D、E分别在AC、AB上，且AD＝BE，连接BD、CE交于点P，在△ABC外部作∠ABF＝∠ABD，过点A作AF⊥BF于点F，若∠ADB＝∠ABF+90°，BF﹣AF＝3，则BP＝_____．

【答案】3﹣
【解析】
【分析】
如图，在FB上取一点G，使得FG＝FA，作GF⊥AB于F，在FB上取一点H，使得GH＝HB，连接GH，在FB上取一点K，使得∠BAK＝45°，连接AK．证明△CBE≌△BAD（SAS），推出∠ABE＝∠BCE，推出∠DPC＝∠PCB+∠PBC＝∠PBC+∠ABD＝60°，由∠ADB＝∠ABF+90°＝∠DCB+∠DBC＝60°+60°﹣∠BCP＝120°﹣∠ABF，可得∠ABF＝15°，解直角三角形求出AK，再证明BP＝AK即可解决问题．
【详解】
解：如图，在FB上取一点G，使得FG＝FA，作GT⊥AB于T，在FB上取一点H，使得GH＝HB，连接GH，在FB上取一点K，使得∠BAK＝45°，连接AK．

∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，
∠CBE＝∠BAD＝60°，
∵AD＝BE，
∴△CBE≌△BAD（SAS），
∴∠ABE＝∠BCE，
∴∠DPC＝∠PCB+∠PBC＝∠PBC+∠ABD＝60°
∵∠ADB＝∠ABF+90°＝∠DCB+∠DBC＝60°+60°﹣∠BCP＝120°﹣∠ABF，
∴∠ABF＝15°，
∵HG＝HB，
∴∠HGB＝∠HBG＝15°，
∴∠GHT＝∠HGB+∠HBG＝30°，设GT＝a，则GH＝BH＝2a，TH＝a，
∵BF﹣AF＝3，FA＝FG，
∴BG＝3，
在Rt△BGT中，∵BG2＝GT2+BT2，
∴a2+（2a+a）2＝9，
解得a＝，
∴TG＝，AG＝2TG＝，
∴AF＝FG＝，
∴AK＝，
∵∠BCP＝∠ABK，BC＝BA，∠CBP＝45°＝∠BAK，
∴△BCP≌△BAK（ASA），
∴BP＝CK＝3﹣．
故答案为：3﹣；
【点睛】
本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
48．（2021·江苏·吴江经济技术开发区实验初级中学一模）如图，在Rt△ABC中，BC=2，∠BAC=30°，斜边AB的两个端点分别在相互垂直的射线OM、ON上滑动，下列结论：
①若C、O两点关于AB对称，则OA=2；
②C、O两点距离的最大值为4；
③若AB平分CO，则AB⊥CO；
④斜边AB的中点D运动路径的长为；
其中正确的是_____（把你认为正确结论的序号都填上）．

【答案】①②
【解析】
【详解】
试题解析：在Rt△ABC中，∵BC=2，∠BAC=30°，∴AB=4，AC==，①若C、O两点关于AB对称，如图1，∴AB是OC的垂直平分线，则OA=AC=；所以①正确；
②如图1，取AB的中点为E，连接OE、CE，∵∠AOB=∠ACB=90°，∴OE=CE=AB=2，当OC经过点E时，OC最大，则C、O两点距离的最大值为4；所以②正确；
③如图2，当∠ABO=30°时，∠OBC=∠AOB=∠ACB=90°，∴四边形AOBC是矩形，∴AB与OC互相平分，但AB与OC的夹角为60°、120°，不垂直，所以③不正确；
④如图3，斜边AB的中点D运动路径是：以O为圆心，以2为半径的圆周的，则： =π．所以④不正确；
综上所述，本题正确的有：①②；
故答案为①②．

49．（2020·江苏·苏州市立达中学校二模）如图，矩形 ABCD 中，，，AC 为对角线，E、F 分别为边 AB、CD 上的动点，且 于点 M，连接 AF、CE，求的最小值是_____．

【答案】5
【解析】
【分析】
AF与EC两条线段不在同一条直线上，只需将两条线段转换在同一条直线上即可，作，且，连接AG，又因点F是DC上是一动点，由三角形的边与边关系，只有当点F在直线AG上时，最小，由平行四边形CEFG可知时，可求的最小值
【详解】
解：如图所示：过点C作，且，连接FG，

设，则,
当点A、F、G三点共线时，的最值小，
∵，且，
∴四边形CEFG是平行四边形；
∴，，
又∵点A、F、G三点共线，
∴，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴，，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵，
∴四边形AECF是菱形，
∴，
在中，由勾股定理得：
，
又∵，，则，
∴，
解得：，
∴，
在中，由勾股定理得，
，所以
∴，
又∵，
∴，，
∴，
∴，
即，
∴，
又∵，，
∴，即最小值是5，
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理和最短距离问题等知识点，解题的关键是掌握辅助线的作法以及相似三角形的性质与判定．
50．（2020·江苏·盐城市初级中学三模）如图，在平面直角坐标系中，都是等边三角形，点在轴上，点在上，轴，，则第个等边的面积是__________．

【答案】
【解析】
【分析】
利用三角函数求出=2，得到=，再求出，同理求出，由此得到规律求出答案.
【详解】
∵∥y轴，
∴∠O=90°，
∵，
∴=2，
∴=，
∵∠=90°-∠=30°=，
∴，，
∴ ，=4，
∴ ；
同理：，
∴，
，
第个等边的面积是，
故答案为：.
【点睛】
此题考查图形类规律的探究，等边三角形的性质，锐角三角函数，三角形面积公式，等腰三角形的等角对等边证明边相等，根据图形求出面积得到规律是解题的关键.