人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.2.3 直线与平面的夹角课时作业

课时跟踪检测（七）  直线与平面的夹角

[A级　基础巩固]

1．正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为AB，C1D1的中点，则A1B1与平面A1EF所成角的正切值为(　　)

A．2　　　　　　　　　　  B．

C．1     D．

解析：选B　A1B1与平面A1EF所成的角就是∠B1A1C，tan ∠B1A1C＝＝.

2．已知三棱锥S­ABC中 ，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA＝3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为(　　)

A．     B．

C．     D．

解析：选D　如图所示，以A为原点，分别以AB，AS所在直线为x轴、z轴建立空间直角坐标系Axyz，易知S(0，0，3)，B(2，0，0)，C(1，，0).

设平面SBC的法向量为n＝(x，y，z)，

则

得n＝(3，，2)，又＝(2，0，0)，

∴当α为AB与平面SBC所成的角时，

sin α＝|cos 〈，n〉|＝＝＝.

3．已知在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，E是侧棱BB1的中点，则直线AE与平面A1ED1所成角的大小为(　　)

A．60°     B．90°

C．45°     D．以上都不对

解析：选B　如图，以点D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．

由题意知，A1(1，0，2)，E(1，1，1)，D1(0，0，2)，A(1，0，0)，所以＝(0，1，－1)，＝(1，1，－1)，＝(0，－1，－1).

设平面A1ED1的一个法向量为n＝(x，y，z)，

则由得

令z＝1，得y＝1，x＝0，所以n＝(0，1，1)，

cos 〈n，〉＝＝＝－1.

所以〈n，〉＝180°.

所以直线AE与平面A1ED1所成的角为90°.

4.如图，正三棱柱ABC­A1B1C1的所有棱长都相等，E，F，G分别为AB，AA1，A1C1的中点，则B1F与平面GEF所成角的正弦值为(　　)

A．　　　　　　  B．

C．     D．

解析：选A　设正三棱柱的棱长为2，取AC的中点D，连接DG，DB，分别以DA，DB，DG所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则B1，F(1，0，1)，

E，G(0，0，2)，

＝，＝，＝(1，0，－1).

设平面GEF的法向量n＝(x，y，z)，

则即

取x＝1，则z＝1，y＝，

故n＝为平面GEF的一个法向量，

所以cos 〈n，〉＝＝－，

所以B1F与平面GEF所成角的正弦值为.

5.正三角形ABC与正三角形BCD所在的平面互相垂直，则直线CD与平面ABD所成角的正弦值为________．

解析：取BC的中点O，连接AO，DO，建立如图所示的空间直角坐标系O ­xyz.设BC＝1，则A，

B，C，D，

所以＝，

＝，＝.

设平面ABD的法向量为n＝(x，y，z)，则所以取x＝1，则y＝－，z＝1，所以n＝(1，－，1)，所以cos 〈n，＝＝，因此直线CD与平面ABD所成角的正弦值为.

答案：

6．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则BB1＝________．

解析：连接BC1(图略)，因为AB⊥平面BB1C1C，所以∠AC1B＝30°，AB⊥BC1，所以△ABC1为直角三角形．又AB＝2，所以BC1＝2.又B1C1＝2，所以BB1＝＝2.

答案：2

7．等腰Rt△ABC的斜边AB在平面α内，若AC与α成30°角，则斜边上的中线CM与平面α所成的角为________．

解析：如图，作CO⊥α，O为垂足，连接AO，MO，

则∠CAO＝30°，∠CMO为CM与α所成的角．在Rt△AOC中，设CO＝1，则AC＝2.在等腰Rt△ABC中，由AC＝2得CM＝.在Rt△CMO中，sin ∠CMO＝＝＝.

∴∠CMO＝45°.

答案：45°

8．已知三棱柱ABC­A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值为________．

解析：如图，设A1在平面ABC内的射影为O，以O为坐标原点，OA，OA1所在直线分别为x轴，z轴，过O作OA的垂线为y轴，建立空间直角坐标系，如图．设△ABC边长为1，则A，B1，

所以＝.

平面ABC的法向量n＝(0，0，1)，

则AB1与底面ABC所成角α的正弦值为

sin α＝|cos 〈，n〉|＝＝.

答案：

9.如图，正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC­A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a.

(1)试建立适当的坐标系，并写出点A，B，A1，C1的坐标；

(2)求AC1与侧面ABB1A1所成的角．

解：取AB中点O为坐标原点，OB，OC，OO1(O1为A1B1的中点)所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．

(1)A，B，

A1，C1.

(2)法一：连接O1C1，则C1O1⊥平面ABB1A1，即∠C1AO1是直线AC1与侧面ABB1A1所成的角．由(1)及点O1(0，0，a)，

得＝，＝，

∴·＝a2＋2a2＝a2，||＝a，||＝a.

∴cos ∠C1AO1＝cos 〈，〉＝.

∴∠C1AO1＝30°.

∴直线AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°.

法二：∵＝是平面ABB1A1的一个法向量，

又＝，

∴cos 〈，〉＝＝.

∴〈，〉＝60°.

∴∠C1AO1＝30°.

∴直线AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°.

10．如图，已知三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝AB，N为AB上一点，AB＝4AN，M，S分别为PB，BC的中点．

(1)证明：CM⊥SN；

(2)求SN与平面CMN所成角的大小．

解：(1)证明：设PA＝1，以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．

则C(0，1，0)，M，N，S.

所以＝，＝，

因为·＝－＋＋0＝0，

所以CM⊥SN.

(2)由(1)，知＝.

设a＝(x，y，z)为平面CMN的法向量，

则即

令x＝2，得a＝(2，1，－2)为平面CMN的一个法向量．

所以|cos 〈a，〉|＝＝，

所以SN与平面CMN所成角的大小为45°.

[B级　综合运用]

11．在圆柱OO1中，O是上底面圆心，AB是下底面圆的直径，点C在下底面圆周上，若△OAB是正三角形，O1C⊥AB，则OC与平面OAB所成的角为(　　)

A．150°     B．30°

C．45°     D．60°

解析：选B　如图，设AB＝2a，则OA＝2a，O1A＝O1B＝O1C＝a，

∴OO1＝＝a，OC＝＝2a，

∵CO1⊥AB，CO1⊥OO1，AB∩OO1＝O1，

∴CO1⊥平面AOB，

∴∠COO1是OC与平面OAB所成角，

sin ∠COO1＝＝，∴∠COO1＝30°，

∴OC与平面OAB所成角为30°.

12．(多选)正三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1＝AB，则(　　)

A．AC1与底面ABC所成角的正弦值为

B．AC1与底面ABC所成角的正弦值为

C．AC1与侧面AA1B1B所成角的正弦值为

D．AC1与侧面AA1B1B所成角的正弦值为

解析：选BC　如图，取A1C1中点E，AC中点F，连接EF，EB1，则EB1，EC1，EF三条直线两两垂直，则分别以这三条直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系；

设AB＝2，则AA1＝2.

∴A1(0，－1，0)，C1(0，1，0)，A(0，－1，2)，C(0，1，2)，B1(，0，0).

∴＝(0，2，－2 ).底面ABC的一个法向量为m＝(0，0，2)，

∴AC1与底面ABC的成角的正弦值为|cos 〈m，〉|＝＝＝，∴A错，B对．

∵A1B1的中点K的坐标为，

∴侧面AA1B1B的其中一个法向量为＝，

∴AC1与侧面AA1B1B的成角的正弦值为|cos 〈，〉|＝＝＝，

故C对，D错；故选B、C.

13．已知长方体ABCD­A1B1C1D1，AC1与过顶点A的三个平面所成的角分别是α，β，γ，则sin2α＋sin2β＋sin2γ＝________．

解析：如图，连接AC，AB1，AD1，则由长方体性质知，∠C1AC是AC1与平面ABCD所成角，设为α；∠C1AB1是AC1与平面ABB1A1所成角，设为β；∠C1AD1是AC1与平面ADD1A1所成角，设为γ.

又由△AB1C1、△ACC1、△AC1D1都是直角三角形，

所以sin2α＋sin2β＋sin2γ＝＋＋＝.

又由长方体性质CC＋B1C＋D1C＝AC，所以sin2α＋sin2β＋sin2γ＝1.

答案：1

14．已知在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，若E点在AB上，且AD1与平面D1EC所成的角为，求AE的长．

解：以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示．设棱AB上点E(1，t，0)(0≤t≤2)，易得A(1，0，0)，D1(0，0，1)，C(0，2，0)，则＝(－1，0，1)，＝(0，－2，1)，＝(1，t－2，0).设平面D1EC的法向量为n＝(x，y，z)，则取y＝1，得n＝(2－t，1，2)，∴sin ＝＝＝，整理，得t2＋4t－9＝0，解得t＝－2－(舍)或t＝－2＋，∴AE＝－2＋.

[C级　拓展探究]

15．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，矩形BFED所在的平面与平面ABCD垂直，且AD＝DC＝CB＝BF＝AB＝2.

(1)求证：平面ADE⊥平面BFED；

(2)若P为线段EF上一点，直线AD与平面PAB所成的角为θ，求θ的最大值．

解：(1)证明：如图，取AB的中点G，连接DG，

则CD綊AB，

∴CD綊BG，

∴四边形BCDG是平行四边形，

∴DG＝BC＝AB＝AG＝BG，∴AD⊥BD，

又平面ABCD⊥平面BFED，

且平面ABCD∩平面BFED＝BD，

∴AD⊥平面BFED，

又AD⊂平面ADE，

∴平面ADE⊥平面BFED.

(2)由于BFED是矩形，

∴BD⊥DE，

由(1)知AD⊥平面BFED，

以D为坐标原点，DA，DB，DE所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．

D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，＝(2，0，0)，

设点P(0，t，2)，＝(－2，2，0)，＝(－2，t，2)，

令平面PAB的法向量m＝(x，y，z)，

∴取y＝2，

得平面PAB的一个法向量为m＝(2，2，2－t)，

∴sin θ＝＝，

当t＝2时，(sin θ)max＝，∴θmax＝.

∴θ的最大值为.