高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.2.4 二面角课后测评

课时跟踪检测（八）  二面角

[A级　基础巩固]

1．平面α的一个法向量为n1＝(4，3，0)，平面β的一个法向量为n2＝(0，－3，4)，则平面α与平面β所成角的余弦值为(　　)

A．－　　　　　　　　　  B．

C．     D．以上都不对

解析：选B　cos 〈n1，n2〉＝＝＝－，∴平面α与β的所成角的余弦值为.

2．过正方形ABCD的顶点A作线段AP垂直于平面ABCD，且AP＝AB，则平面ABP与平面CDP所成的锐二面角的大小为(　　)

A．     B．

C．     D．以上都不正确

解析：选A　设AP＝AB＝1，以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，P(0，0，1)，D(0，1，0)，C(1，1，0)，＝(1，1，－1)，＝(0，1，－1).

设平面PCD的法向量m＝(x，y，z)，

则

取y＝1，得m＝(0，1，1)，

平面ABP的法向量n＝(0，1，0)，

设平面ABP与平面CDP所成的角为θ，

则cos θ＝＝＝，∴θ＝.

3．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，二面角B­AC­D的大小为(　　)

A．30°     B．45°

C．60°     D．90°

解析：选D　如图所示，欲使得三棱锥体积最大，

∵三棱锥底面积一定，

∴只须三棱锥的高最大即可，

即当平面BAC⊥平面DAC时，三棱锥体积最大，

∴当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，

二面角B­AC­D的大小为90°.

4．如图，将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折成大小等于θ的二面角B′­AC­D，M，N分别为AC，B′D的中点，若θ∈，则线段MN长度的取值范围为(　　)

A．     B．

C．     D．[1，]

解析：选A　如图，连接B′M，DM，得AC⊥B′M，AC⊥DM，

∴∠DMB′是二面角B′­AC­D的平面角，且B′M＝DM＝，

在等腰△DMB′中，MN⊥B′D，

且∠DMN＝∠DMB′＝θ，θ∈，

则MN＝DM cos θ∈.

∴线段MN长度的取值范围为.

5．(多选)在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝3，以D为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是(　　)

A．B1的坐标为(2，2，3)

B．＝(－2，0，3)

C．平面A1BC1的一个法向量为(－3，3，－2)

D．二面角B­A1C1­B1的余弦值为

解析：选ABD　如图，因为AB＝AD＝2，AA1＝3，

所以A1(2，0，3)，B(2，2，0)，B1(2，2，3)，C1(0，2，3)，所以＝(－2，0，3)，＝(0，2，－3)，即A、B正确；

设平面A1BC1的法向量m＝(x，y，z)，

所以即令x＝－3，则y＝－3，z＝－2，

即平面A1BC1的一个法向量为m＝(－3，－3，－2)，故C错误；由几何体易得平面A1B1C1的一个法向量为n＝(0，0，1)，

由于cos 〈m，n〉＝＝＝－，

结合图形可知二面角B­A1C1­B1的余弦值为，故D正确；故选A、B、D.

6．已知P为锐二面角α­l­β内一点，且P到面α、β及棱l的距离之比为1∶∶2，则此二面角的度数为________．

解析：如图，作PA⊥α于A，PB⊥β于B，PC⊥l于C，连接BC，AC，则易得∠ACB为二面角的平面角．

又sin ∠PCB＝，∠PCB＝45°，

sin ∠PCA＝，∴∠PCA＝30°，故二面角的平面角为∠PCA＋∠PCB＝75°.

答案：75°

7．若P是△ABC所在平面外一点，且△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，PA＝，则二面角P­BC­A的大小为________．

解析：取BC的中点O，连接PO，AO(图略)，则∠POA就是二面角P­BC­A的平面角．又PO＝AO＝，PA＝，所以∠POA＝90°.

答案：90°

8.如图，在边长为2的正方体中，M为棱AB的中点，则二面角B1­CM­B的正切值是________．

解析：如图，以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，

B(2，2，0)，B1(2，2，2)，C(0，2，0)，M(2，1，0)，＝

(2，－1，0)，＝(2，0，2)，

设平面CMB1的法向量m＝(x，y，z)，

则

取x＝1，得m＝(1，2，－1)，

平面CBM的法向量n＝(0，0，1)，

设二面角B1­CM­B的平面角为θ，

则cos θ＝＝＝，

∴tan θ＝.∴二面角B1­CM­B的正切值为.

答案：

9．如图所示，四边形ABCD是正方形，V是平面ABCD外一点，且VA＝VB＝VC＝AB，求二面角A­VB­C的余弦值．

解：如图，取VB的中点为E，

连接AE，CE.

∵VA＝VB＝VC＝AB，四边形ABCD为正方形，

∴AE⊥VB，CE⊥VB.

∴∠AEC是二面角A­VB­C的平面角．

设AB＝a，连接AC，在△AEC中，AE＝EC＝a，AC＝a，由余弦定理可知：

cos ∠AEC＝＝－，

∴所求二面角A­VB­C的余弦值为－.

10．如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB＝AD＝2，AA1＝，∠BAD＝120°.

(1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；

(2)求二面角B­A1D­A的正弦值．

解：在平面ABCD内，过点A作AE⊥AD，交BC于点E.

因为AA1⊥平面ABCD，所以AA1⊥AE，AA1⊥AD.

如图，以{，，}为正交基底，建立空间直角坐标系Axyz.因为AB＝AD＝2，AA1＝，∠BAD＝120°，

则A(0，0，0)，B(，－1，0)，

D(0，2，0)，E(，0，0)，A1(0，0，)，C1(，1，).

(1)＝(，－1，－)，＝(，1，).

则cos 〈，〉＝＝＝－.

因此异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为.

(2)可知平面A1DA的一个法向量为＝(，0，0).

设m＝(x，y，z)为平面BA1D的一个法向量，

又＝(，－1，－)，＝(－，3，0)，

则即

不妨取x＝3，则y＝，z＝2，

所以m＝(3，，2)为平面BA1D的一个法向量，

从而cos 〈，m〉＝＝＝.

设二面角B­A1D­A的大小为θ，则|cos θ|＝.

因为θ∈[0，π]，所以sin θ＝＝.

因此二面角B­A1D­A的正弦值为.

[B级　综合运用]

11．PA，PB，PC是从点P引出的三条射线，每两条的夹角都是60°，每两条确定一个平面，则两平面所成的锐二面角的余弦值为(　　)

A．　　　　　　　  B．

C．     D．

解析：选B　如图，在PC上取点D，作DO⊥面PAB，

则O在∠APB的平分线上．

作OE⊥PB，则DE⊥PB.

∴∠DEO为两平面所成的锐二面角的平面角．

设PD＝2，则PE＝1，DE＝，OE＝，

∴cos∠DEO＝＝.

12.(多选)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为线段AA1上的一个动点，F为线段B1C1上的一个动点，则平面EFB与底面ABCD所成的锐二面角的平面角余弦值可能为(　　)

A．     B．

C．     D．

解析：选ABCD　在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为线段AA1上的一个动点，F为线段B1C1上的一个动点，

当F与B1重合时，平面EFB即为平面ABB1A1，

此时平面EFB与底面ABCD所成的二面角的平面角为90°，余弦值为0，

当E与A重合，F与C1重合时，平面EFB是平面ABC1D1，

此时平面EFB与底面ABCD所成的锐二面角的平面角为45°，余弦值为.

∴平面EFB与底面ABCD所成的锐二面角的平面角余弦值的取值范围是.

13．如图，在平面角为锐角的二面角α­EF­β中，A∈EF，AG⊂α，∠GAE＝45°，若AG与β所成角为30°，则二面角α­EF­β的大小为________．

解析：作GH⊥β，垂足为H，连接AH，则∠GAH为AG与β所成的角，∠GAH＝30°，作HB⊥EF于B，连接GB，则GB⊥EF，

∴∠GBH为α­EF­β的平面角．

设GB＝1，则AB＝1，AG＝，∴GH＝，

∴sin ∠GBH＝＝，∠GBH＝45°，

∴α­EF­β为45°.

答案：45°

14．如图①，正方形ABCD的边长为4，AB＝AE＝BF＝EF，AB∥EF，把四边形ABCD沿AB折起，使得AD⊥平面AEFB，G是EF的中点，如图②.

(1)求证：AG⊥平面BCE；

(2)求二面角C­AE­F的余弦值．

解：(1)证明：如图，连接BG，因为BC∥AD，AD⊥底面AEFB，

所以BC⊥底面AEFB，

又AG⊂底面AEFB，

所以BC⊥AG，

因为AB＝AE，所以四边形ABGE为菱形，所以AG⊥BE，

又BC∩BE＝B，BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，所以AG⊥平面BCE.

(2)由(1)知四边形ABGE为菱形，AG⊥BE，AE＝EG＝BG＝AB＝4，

设AG∩BE＝O，所以OE＝OB＝2，OA＝OG＝2，

以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则O(0，0，0)，A(－2，0，0)，E(0，－2，0)，F(4，2，0)，C(0，2，4)，D(－2，0，4)，

所以＝(2，2，4)，＝(2，－2，0)，

设平面ACE的法向量为n＝(x，y，z)，

则令y＝1，则x＝，z＝－，

即平面ACE的一个法向量为n＝(，1，－)，

易知平面AEF的一个法向量为＝(0，0，4)，

设二面角C­AE­F的大小为θ，由图易知θ∈，

所以cos θ＝＝＝.

故二面角C­AE­F的余弦值为.

[C级　拓展探究]

15.如图，矩形ABCD的边AB＝a，BC＝2，PA⊥平面ABCD，PA＝2，现有数据：①a＝；②a＝1；③a＝；④a＝2；⑤a＝4.

(1)当BC边上存在点Q，使PQ⊥QD时，a可以取所给数据中的哪些值？请说明理由；

(2)记满足(1)的条件下的Q点为Qn(n＝1，2，3，…)，当a取所给数据中的最小值时，这样的点Qn有几个？试求二面角Qn­PA­Qn＋1的大小．

解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，P(0，0，2)，D(0，2，0)，

设Q(a，t，0)(|BQ|＝t，0≤t≤2)，于是有＝(a，t，－2)，＝(－a，2－t，0).

由PQ⊥QD，得·＝－a2＋t(2－t)－2×0＝0，即t2－2t＋a2＝0.

此方程有解，则Δ＝4－4a2≥0，∴0≤a≤1.当a＝时，方程的解为t＝或t＝，满足0≤t≤2；当a＝1时，方程的解为t＝1，也满足0≤t≤2.

因此，满足条件的a的取值为a＝或a＝1.

(2)在满足(1)的条件下，a取所给数据中的最小值时，a＝.由(1)知，此时t＝或t＝.

∴满足条件的点Q是Q1，Q2，

连接AQ1，AQ2，PQ1，PQ2(图略)，则所求的二面角应为Q1­PA­Q2.

∵PA⊥平面ABCD，

∴PA⊥Q1A，PA⊥Q2A，

∴∠Q1AQ2即所求二面角的平面角．

∵＝，＝，

∴cos 〈，〉＝

＝＝，

∴〈，〉＝30°，即∠Q1AQ2＝30°.

∴二面角Q1­PA­Q2的大小为30°