高中数学1.2.5 空间中的距离同步达标检测题

课时跟踪检测（九）  空间中的距离

[A级　基础巩固]

1．已知平面α的一个法向量为n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在平面α内，则点P(－2，1，4)到平面α的距离为(　　)

A.10　　　　　　　　　  B．3

C．     D．

解析：选D　点P到平面α的距离d＝＝＝.

2.如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝，E，F分别是平面A1B1C1D1，平面BCC1B1的中心，则E，F两点间的距离为(　　)

A．1         B．

C．     D．

解析：选C　以点A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则点E(1，1，)，F，所以||＝

＝，故选C.

3．正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，则点A到平面B1D1DB的距离为(　　)

A．     B．2

C．     D．

解析：选C　以D为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略)，则A(1，0，0)，C(0，1，0)，B(1，1，0)，＝(－1，1，0)，＝(0，1，0).容易证明是平面B1D1DB的一个法向量，于是A到平面B1D1DB的距离为d＝＝＝.

4.如图所示，在平行六面体ABCD­A′B′C′D′中，AB＝1，AD＝2，AA′＝3，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°，则AC′的长为(　　)

A．     B．

C．     D．

解析：选B　∵＝＋＋，

∴2＝(＋＋)2

＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·)

＝12＋22＋32＋2(0＋1×3cos 60°＋2×3cos 60°)

＝14＋2×＝23，

∴||＝，即的长为.

5．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是(　　)

A．     B．

C．     D．

解析：选B　建立空间直角坐标系如图所示，

则＝(0，2，0)，＝(0，1，2)，

设∠ABE＝θ，则cos θ＝＝＝，

sin θ＝＝.

故A到直线BE的距离

d＝||sinθ＝2×＝.

6．已知平行六面体ABCD ­A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱的棱长都等于2，且两两夹角都是60°，则A，C1两点间的距离是________．

解析：设＝a，＝b，＝c，易得＝a＋b＋c，则||2＝·＝(a＋b＋c)·(a＋b＋c)＝a2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＋b2＋c2＝4＋4＋4＋4＋4＋4＝24，所以||＝2.

答案：2

7．已知棱长为1的正方体ABCD­EFGH，若点P在正方体内部且满足＝＋＋，则点P到AB的距离为________．

解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则＝(1，0，0)＋(0，1，0)＋(0，0，1)＝.

＝(1，0，0)，·＝，

所以P点到AB的距离为d＝＝ ＝.

答案：

8．如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则点B1到平面ABC1的距离为________．

解析：建立如图所示的空间直角坐标系，

则A，B(0，1，0)，B1(0，1，1)，C1(0，0，1)，则＝，＝(0，1，0)，＝(0，1，－1).

设平面ABC1的一个法向量为n＝(x，y，1)，

则有

解得n＝，则所求距离为＝＝.

答案：

9．已知在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是C1C，D1A1的中点，求点A到EF的距离．

解：以D点为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示，设DA＝2，则A(2，0，0)，E(0，2，1)，F(1，0，2)，则＝(1，－2，1)， ＝(1，0，－2).

||＝＝，

·＝1×1＋0×(－2)＋(－2)×1＝－1，

在上的投影长为＝ .

所以点A到EF的距离

d＝

＝＝.

10.在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AA1＝AD＝1，E，F分别是A1D1，BC的中点，P是BD上一点，PF∥平面EC1D.

(1)求BP的长；

(2)求点P到平面EC1D的距离．

解：(1)以A1为原点，A1B1，A1D1，A1A所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．

B(1，0，1)，D(0，2，1)，F(1，1，1)，E(0，1，0)，C1(1，2，0)，

设P(a，b，1)，＝λ，λ∈[0，1]，＝(0，1，1)，＝(1，1，0)，＝(－1，2，0)，

则＝(a－1，b，0)＝(－λ，2λ，0)，

∴P(1－λ，2λ，1)，＝(λ，1－2λ，0)，

设平面DEC1的法向量n＝(x，y，z)，

则取x＝1，得n＝(1，－1，1)，

∵PF∥平面EC1D，

∴·n＝λ－1＋2λ＝0，

解得λ＝，

∴P，

∴BP的长||＝＝.

(2)由(1)得平面DEC1的法向量n＝(1，－1，1)，＝，

∴点P到平面EC1D的距离：

d＝＝＝.

[B级　综合运用]

11.如图所示，在正四棱柱ABCD ­A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，动点P，Q分别在线段C1D，AC上，则线段PQ长度的最小值是(　　)

A．     B．

C．     D．

解析：选C　建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，C1(0，1，2).

根据题意，可设点P的坐标为(0，λ，2λ)，λ∈[0，1]，点Q的坐标为(1－μ，μ，0)，μ∈[0，1]，

则PQ＝

＝

＝ ，当且仅当λ＝，μ＝时，线段PQ的长度取得最小值.

12．(多选)如图所示，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，若CF⊥平面B1DF，则AF的长为(　　)

A．a     B．a

C．2a     D．2a

解析：选AC　∵CF⊥平面B1DF，∴CF⊥DF.

在矩形ACC1A1中，设AF＝m.

CD2＝DF2＋CF2＝CC＋DC＝10a2，①

CF2＝4a2＋m2，DF2＝(3a－m)2＋a2，②

联立①②得m＝a或m＝2a，则AF的长度为a或2a.

13.如图所示，在已知直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面为直角梯形，AB∥CD，且∠ADC＝90°，AD＝1，CD＝，BC＝2，AA1＝2，E是CC1的中点，则A1B1到平面ABE的距离为________，二面角A­BE­C的余弦值为________．

解析：如图，以D为原点，、、的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，则A1(1，0，2)，A(1，0，0)，E(0，，1)，

过C作AB的垂线交AB于F，易得BF＝，∴B(1，2，0)，

∴＝(0，2，0)，＝(－1，－，1).

设平面ABE的一个法向量为n＝(x，y，z)，

则由

得

∴y＝0，x＝z，不妨取n＝(1，0，1).

∵＝(0，0，2)，

∴A1B1到平面ABE的距离d＝＝＝.

又B1(1，2，2)，∴＝(0，0，2)，＝(1，，0).

设平面BCE的一个法向量为n′＝(x′，y′，z′)易得x′＝－y′，z′＝0，取n′＝(，－1，0)，n′与n所成的角为θ，

则cos θ＝＝＝.

答案：　

14.如图，四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AD＝CD＝1，∠BAD＝120°，∠ACB＝90°.

(1)求证：BC⊥平面PAC；

(2)若二面角D­PC­A的余弦值为，求点A到平面PBC的距离．

解：(1)证明：∵PA⊥底面ABCD，BC⊂平面ABCD，

∴PA⊥BC，

∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC，又PA∩AC＝A，

∴BC⊥平面PAC.

(2)设AP＝h，取CD的中点E，连接AE，则AE⊥CD，∴AE⊥AB.又PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AE，PA⊥AB，故建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，P(0，0，h)，C，

D，B(0，2，0)，

＝，＝(0，1，0)，

设平面PDC的法向量n1＝(x1，y1，z1)，

则即

取x1＝h，∴n1＝.

由(1)知平面PAC的一个法向量为＝，

∴|cos 〈n1，〉|＝＝，

解得h＝，

同理可求得平面PBC的一个法向量n2＝(3，，2)，

∴点A到平面PBC的距离为

d＝＝＝.

[C级　拓展探究]

15.如图所示，在四棱锥P­ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD＝，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2，问：线段AD上是否存在一点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

解：取AD的中点O，连接PO，OC.在△PAD中，∵PA＝PD，∴PO⊥AD.

又侧面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，

∴PO⊥平面ABCD.

建立如图所示的空间直角坐标系，易得A(0，－1，0)，B(1，－1，0)，C(1，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)，

则＝(－1，0，1)，＝(－1，1，0).

假设存在点Q，使它到平面PCD的距离为，

设Q(0，y，0)(－1≤y≤1)，则＝(－1，y，0).

设平面PCD的法向量为n＝(x0，y0，z0)，

则∴即x0＝y0＝z0，取x0＝1，

则平面PCD的一个法向量为n＝(1，1，1).

∴点Q到平面PCD的距离d＝＝＝，

∴y＝－或y＝(舍去).此时＝，＝，则||＝，||＝.

∴存在点Q满足题意，此时＝.