高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.1 坐标法当堂检测题

课时跟踪检测（十一）  坐标法

[A级　基础巩固]

1．数轴上A，B，C的坐标分别为－7，2，3，则|AB|＋|CA|的值为(　　)

A．1　　　　　　　　　　  B．19

C．3     D．11

解析：选B　|AB|＋|CA|＝|xB－xA|＋|xA－xC|＝|2－(－7)|＋|(－7)－3|＝19.

2．已知点A(x，5)关于点(1，y)的对称点为(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是(　　)

A．2     B．4

C．5     D．

解析：选D　根据中点坐标公式得到＝1且＝y，解得x＝4，y＝1，所以点P的坐标为(4，1)，则点P(x，y)到原点的距离d＝＝.

3．以A(5，5)，B(1，4)，C(4，1)为顶点的△ABC的形状是(　　)

A．直角三角形     B．等边三角形

C．等腰非等边三角形     D．等腰直角三角形

解析：选C　根据两点间的距离公式，得

|AB|＝＝，

|AC|＝＝，

|BC|＝＝3，

所以|AB|＝|AC|≠|BC|，且|AB|2＋|AC|2≠|BC|2，故△ABC是等腰非等边三角形．

4．已知平面上两点A(x，－x)，B，则|AB|的最小值为(　　)

A．3     B．

C．2     D．

解析：选D　∵|AB|＝＝≥，当且仅当x＝时等号成立，∴|AB|min＝.

5．(多选)已知A(3，1)，B(－2，2)，在y轴上的点P满足PA⊥PB，则P的坐标为(　　)

A．(0，4)     B．(0，1)

C．(0，－1)     D．(0，－4)

解析：选AC　设P点坐标为(0，y)，由PA⊥PB，则|PA|2＋|PB|2＝|AB|2，

即9＋(y－1)2＋4＋(y－2)2＝25＋1，

解得y＝4或－1.

6．数轴上点P(x)，A(－8)，B(－4)，若|PA|＝2|PB|，则x等于________．

解析：∵|PA|＝2|PB|，

∴|x＋8|＝2|x＋4|，解得x＝0或－.

答案：0或－

7．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|等于________．

解析：设A(x，0)，B(0，y)，∵AB中点P(2，－1)，∴＝2，＝－1，∴x＝4，y＝－2，即A(4，0)，B(0，－2)，

∴|AB|＝＝2.

答案：2

8．已知函数f(x)的图像与函数h(x)＝x＋＋2的图像关于点A(0，1)对称，则解析式f(x)＝________．

解析：设f(x)图像上任一点P(x，y)，则点P关于点(0，1)的对称点P′(－x，2－y)在h(x)的图像上，

即2－y＝－x－＋2，

所以y＝f(x)＝x＋(x≠0).

答案：x＋(x≠0)

9．已知▱ABCD的两个顶点坐标分别为A(4，2)，B(5，7)，对角线的交点为E(－3，4)，求另外两个顶点C，D的坐标．

解：设C(x1，y1)，D(x2，y2).

∵E为AC的中点，

∴－3＝，4＝，解得x1＝－10，y1＝6.

又∵E为BD的中点，

∴－3＝，4＝，解得x2＝－11，y2＝1.

∴C的坐标为(－10，6)，D的坐标为(－11，1).

10.如图，已知矩形ABCD的中心与原点重合，且对角线BD与x轴重合，A在第一象限内，|AB|＝，|BC|＝.求矩形各顶点的坐标．

解：∵ABCD为矩形，|AB|＝，|BC|＝，

∴|AC|＝ ＝＝3.

∵|BD|＝|AC|，∴|BD|＝3.

∴B，D.

设A点坐标为(x，y)，则

|AD|＝ ＝，①

|AO|＝ ＝|AC|＝，②

由①②联立，解得

即A.

由C点与A点关于原点对称得C，

由以上可知，矩形各顶点的坐标为

A，B，C，D.

[B级　综合运用]

11．已知点A(－1，3)，B(3，1)，点C在坐标轴上，∠ACB＝90°，则满足条件的点C的个数是(　　)

A．1     B．2

C．3     D．4

解析：选C　若点C在x轴上，

设C(x，0)，由∠ACB＝90°，

得|AB|2＝|AC|2＋|BC|2，

即[3－(－1)]2＋(1－3)2＝(x＋1)2＋32＋(x－3)2＋12，解得x＝0或x＝2.

若点C在y轴上，

设C(0，y)，同理可求得y＝0或y＝4，

综上，满足条件的点C有3个．故选C.

12．(多选)已知平面内平行四边形的三个顶点A(－2，1)，B(－1，3)，C(3，4)，则第四个顶点D的坐标为(　　)

A．(2，2)     B．(4，6)

C．(－6，0)     D．(2，－2)

解析：选ABC　如图，A项：构成▱ABCD(以AC为对角线)，设D1(x1，y1)，AC的中点坐标为，其也为BD1的中点坐标，

∴＝，＝，

∴x1＝2，y1＝2，即D1(2，2)，故A正确．B项：以BC为对角线构成▱ACD2B，同理得D2(4，6)，故B正确，C项：以AB为对角线构成▱ACBD3，同理得D3(－6，0)，故C正确．易知D不正确，故选A、B、C.

13．已知点A(1，3)，B(3，1)，C(0，0)，则AB边上的中线长|CM|＝________，△ABC的面积为________．

解析：设AB的中点M的坐标为(x，y)，则即M的坐标为(2，2)，

∴|CM|＝＝2，

又|AB|＝＝2，

|AC|＝＝，|BC|＝＝.

∵M(2，2)为AB的中点，∴|CM|2＋|BM|2＝|BC|2，故CM为△ABC底边AB上的高，

∴S△ABC＝|CM|·|AB|＝×2×2＝4.

答案：2　4

14．△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形，如图所示．试用坐标法证明：|AE|＝|CD|.

证明：如图所示，以B为坐标原点，取AC所在直线为x轴，建立直角坐标系．

设△ABD和△BCE的边长分别为a和c，则A(－a，0)，C(c，0)，E，

D，由距离公式，

得|AE|＝＝ ，

同理|CD|＝ ，所以|AE|＝|CD|.

[C级　拓展探究]

15．(定义新知)在数轴上，点M和点N分别表示数x1和x2，可以用绝对值表示点M，N两点间的距离d(M，N)，即d(M，N)＝|x1－x2|.

(初步应用)(1)在数轴上，点A，B，C分别表示数－1，2，x，解答下列问题：

①d(A，B)＝________；

②若d(A，C)＝2，则x的值为________；

③若d(A，C)＋d(B，C)＝d(A，B)，且x为整数，则x的取值有________个．

(综合应用)(2)在数轴上，点D，E，F分别表示数－2，4，6.动点P沿数轴从点D开始运动，到达F点后立刻返回，再回到D点时停止运动．在此过程中，点P的运动速度始终保持每秒2个单位长度．设点P的运动时间为t秒．

①当t＝________时，d(D，P)＝3；

②在整个运动过程中，请用含t的代数式表示d(E，P).

解析：(1)①d(A，B)＝|－1－2|＝3；

②∵d(A，C)＝2，

∴|－1－x|＝2，即－1－x＝2或－1－x＝－2.

∴x＝－3或1；

③∵d(A，C)＋d(B，C)＝d(A，B)，

∴|－1－x|＋|2－x|＝3，

当x≤－1时，|－1－x|＋|2－x|＝－1－x＋2－x＝3，x＝－1.

当－1＜x≤2时，|－1－x|＋|2－x|＝1＋x＋2－x＝3，x取0，1，2.

当x＞2时，|－1－x|＋|2－x|＝1＋x＋x－2＝3，x＝2(舍去)，

综上所述，x的取值有4个；

(2)①由题可得，d(D，F)＝8，点P从D到F的时间为4秒，运动路程为2t，

当0≤t≤4时，点P表示的数为2t－2，则

d(D，P)＝|－2－(2t－2)|＝3，解得t＝或－(舍去)，

当4＜t≤8时，点P表示的数为14－2t，则

d(D，P)＝|－2－(14－2t)|＝3，解得t＝(舍去)或，

综上所述，t＝1.5或6.5.

答案：(1)①3　②－3或1　③4　(2)①1.5或6.5

②解：当0≤t≤4时，点P表示的数为2t－2，则d(E，P)＝|4－(2t－2)|＝|6－2t|；

当4＜t≤8时，点P表示的数为14－2t，则d(E，P)＝|4－(14－2t)|＝|2t－10|.