数学选择性必修 第一册第二章　平面解析几何2.2 直线及其方程2.2.1 直线的倾斜角与斜率一课一练

课时跟踪检测（十三）  直线的点斜式方程与斜截式方程

[A级　基础巩固]

1．经过点(－1，1)，斜率是直线y＝x－2的斜率的2倍的直线方程是(　　)

A．x＝－1　　　　　　　  B．y＝1

C．y－1＝(x＋1)     D．y－1＝2(x＋1)

解析：选C　由方程知，已知直线的斜率为，所以所求直线的斜率是.由直线的点斜式方程可得方程为y－1＝(x＋1).

2．(多选)给出下列四个结论，正确的是(　　)

A．方程k＝与方程y－2＝k(x＋1)可表示同一直线

B．直线l过点P(x1，y1)，倾斜角为90°，则其方程是x＝x1

C．直线l过点P(x1，y1)，斜率为0，则其方程是y＝y1

D．所有的直线都有点斜式和斜截式方程

解析：选BC　A不正确，方程k＝不含点(－1，2)；B正确；C正确；D只有k存在时成立．

3．直线y－b＝2(x－a)在y轴上的截距为(　　)

A．a＋b     B．2a－b

C．b－2a     D．|2a－b|

解析：选C　由y－b＝2(x－a)，得y＝2x－2a＋b，故在y轴上的截距为b－2a.

4．直线y＝ax＋的图像可能是(　　)

解析：选B　根据点斜式方程，可得其斜率与在y轴上的截距同号，故选B.

5．过点P(－5，－4)，且满足倾斜角是直线y＝－x－3的倾斜角的的直线方程为(　　)

A．y＋4＝－(x＋5)     B．y＋4＝(x＋5)

C．y－4＝(x－5)     D．y－4＝－(x－5)

解析：选B　直线y＝－x－3的斜率k＝－，倾斜角为120°，从而所求直线的斜率k＝tan 60°＝，则所求直线的方程为y＋4＝(x＋5).

6．已知直线l的方程为9x－4y＝36，则l在y轴上的截距为________．

解析：把直线方程9x－4y＝36化为y＝＝x－9的形式，便可知道直线l在y轴上的截距．令x＝0，则y＝－9.

答案：－9

7．已知直线l的倾斜角是直线y＝x＋1的倾斜角的2倍，且过定点P(3，3)，则直线l的方程为________．

解析：直线y＝x＋1的斜率为1，所以倾斜角为45°，又所求直线的倾斜角是已知直线倾斜角的2倍，所以所求直线的倾斜角为90°，其斜率不存在．又直线过定点P(3，3)，所以直线l的方程为x＝3.

答案：x＝3

8．直线y＝kx＋2(k∈R)不过第三象限，则斜率k的取值范围是________．

解析：当k＝0时，直线y＝2不过第三象限；

当k>0时，直线过第三象限；

当k<0时，直线不过第三象限．

答案：(－∞，0]

9．已知在第一象限的△ABC中，A(1，1)，B(5，1)，且∠CAB＝60°，∠CBA＝45°，求边AB，AC和BC所在直线的点斜式方程．

解：由A(1，1)，B(5，1)可知边AB所在直线的斜率为0，故边AB所在直线的方程为y－1＝0.

由AB∥x轴，且△ABC在第一象限知边AC所在直线的斜率kAC＝tan 60°＝，边BC所在直线的斜率kBC＝tan (180°－45°)＝－1，所以，边AC所在直线的方程为y－1＝(x－1)，边BC所在直线的方程为y－1＝－(x－5).

10．直线l1过点P(－1，2)，斜率为－，把l1绕点P按顺时针方向旋转30°角得直线l2，求直线l1和l2的方程．

解：直线l1的方程是y－2＝－(x＋1).

∵k1＝－＝tan α1，∴α1＝150°.如图，l1绕点P按顺时针方向旋转30°，得到直线l2的倾斜角为α2＝150°－30°＝120°，∴k2＝tan 120°＝－，∴l2的方程为y－2＝－(x＋1).

[B级　综合运用]

11．经过点A(－1，4)且在x轴上的截距为3的直线方程是(　　)

A．y＝－x－3     B．y＝x＋3

C．y＝－x＋3     D．y＝x－3

解析：选C　过点A(－1，4)且在x轴上的截距为3的直线方程可以设为y－4＝k(x＋1).令y＝0，得x＝－－1＝3，解得k＝－1，即所求直线方程为y＝－x＋3.

12．(多选)直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx＋y－a＝0(ab≠0)的图像可能是(　　)

解析：选BC　直线l1的方程是ax－y＋b＝0，可化为y＝ax＋b，

l2的方程是bx＋y－a＝0，可化为y＝－bx＋a(ab≠0)，

在A中，假设直线l1正确：由l1知a>0，b<0，则－b>0，与l2的图像不符；

在B中，假设直线l1正确：由l1知a>0，b>0，则－b<0，与l2的图像相符；

在C中，假设直线l1正确：由l1知a<0，b>0，则－b<0，与l2的图像相符；

在D中，假设直线l1正确：由l1知a>0，b>0，则－b<0，与l2的图像不符. 故选B、C.

13．已知直线l过点(1，0)，且与直线y＝(x－1)的夹角为30°，则直线l的方程为________________．

解析：∵直线y＝(x－1)的斜率为，

∴其倾斜角为60°，且过点(1，0).

又直线l与直线y＝(x－1)的夹角为30°，且过点(1，0)，

如图所示，易知直线l的倾斜角为30°或90°.

故直线l的方程为

y＝(x－1)或x＝1.

答案：y＝(x－1)或x＝1

14．直线l过点(2，2)，且与x轴和直线y＝x围成的三角形的面积为2，求直线l的方程．

解：当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝2，经检验符合题目的要求．

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x－2)，即y＝kx－2k＋2.

令y＝0得，x＝.

由三角形的面积为2，得××2＝2.

解得，k＝.

可得直线l的方程为y－2＝(x－2)，

综上可知，直线l的方程为x＝2或y－2＝(x－2).

[C级　拓展探究]

15．在路边安装路灯，路宽23 m，灯杆长2.5 m，且与灯柱成120°角．路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线与灯杆垂直．当灯柱高h为多少m时，灯罩轴线正好通过道路路面的中线？(精确到0.01 m)

解：如图所示，记灯柱顶端为B，灯罩处为A，灯杆为AB，灯罩轴线与道路路面的中线交于点C.以灯柱底端O点为原点，灯柱OB为y轴，建立如图所示的直角坐标系，则点B的坐标为(0，h)，点C的坐标为(11.5，0).

因为∠OBA＝120°，所以直线BA的倾斜角为30°，则点A的坐标为(2.5cos 30°，h＋2.5sin 30°)，即(1.25，h＋1.25).

因为CA⊥BA，所以kCA＝－＝－＝－.

由点斜式，得直线CA的方程是y－(h＋1.25)＝－(x－1.25).

因为灯罩轴线CA过点C(11.5，0)，故－(h＋1.25)＝－(11.5－1.25)，解得h≈14.92(m).

所以，灯柱高约为14.92 m．