高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.3.2 圆的一般方程课后复习题

课时跟踪检测（十八）  圆的一般方程

[A级　基础巩固]

1．将圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0平分的直线是(　　)

A．x＋y－1＝0　　　　　  B．x＋y＋3＝0

C．x－y＋1＝0     D．x－y＋3＝0

解析：选C　要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，圆心坐标为(1，2).A、B、C、D四个选项中，只有C选项中的直线经过圆心，故选C.

2．如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)所表示的曲线关于直线y＝x对称，则必有(　　)

A．D＝E     B．D＝F

C．E＝F     D．D＝E＝F

解析：选A　由D2＋E2－4F＞0知，方程表示的曲线是圆，其圆心在直线y＝x上，故D＝E.

3．过坐标原点，且在x轴和y轴上的截距分别为2和3的圆的方程为(　　)

A．x2＋y2－2x－3y＝0     B．x2＋y2＋2x－3y＝0

C．x2＋y2－2x＋3y＝0     D．x2＋y2＋2x＋3y＝0

解析：选A　设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，

由题意知圆过(0，0)，(2，0)和(0，3)点，

∴解得

∴所求圆的方程为x2＋y2－2x－3y＝0.

4．(多选)已知方程x2＋y2＋3ax＋ay＋a2＋a－1＝0，若方程表示圆，则a的值可能为(　　)

A．－2     B．0

C．1     D．3

解析：选AB　因为方程x2＋y2＋3ax＋ay＋a2＋a－1＝0表示圆，所以(3a)2＋a2－4>0，

解得a<1，所以满足条件的只有－2与0.故选A、B.

5．(多选)已知曲线C：Ax2＋By2＋Dx＋Ey＋F＝0(　　)

A．若A＝B＝1，则C是圆

B．若A＝B≠0，D2＋E2－4AF>0，则C是圆

C．若A＝B＝0，D2＋E2>0，则C是直线

D．若A≠0，B＝0，则C是直线

解析：选BC　已知曲线C：Ax2＋By2＋Dx＋Ey＋F＝0.

对于A，当A＝B＝1时，C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

只有D2＋E2－4F>0时，C才表示圆，故A错误．

对于B，当A＝B≠0时，C：Ax2＋Ay2＋Dx＋Ey＋F＝0，且D2＋E2－4AF>0，则C是圆，故B正确．

对于C，当A＝B＝0时，C：Dx＋Ey＋F＝0，且D2＋E2>0，则C是直线，故C正确．

对于D，当A≠0，B＝0时，C：Ax2＋Dx＋Ey＋F＝0，显然不是直线，故D错误．故选B、C.

6．已知圆C：x2＋y2－2x＋2y－3＝0，AB为圆C的一条直径，点A(0，1)，则点B的坐标为________．

解析：由x2＋y2－2x＋2y－3＝0得，(x－1)2＋(y＋1)2＝5，所以圆心C(1，－1).设B(x0，y0)，又A(0，1)，由中点坐标公式得解得所以点B的坐标为(2，－3).

答案：(2，－3)

7．圆C：x2＋y2－2x－4y＋4＝0的圆心到直线3x＋4y＋4＝0的距离d＝________．

解析：圆C：x2＋y2－2x－4y＋4＝0的圆心坐标为，即(1，2)，故圆心到直线3x＋4y＋4＝0的距离d＝＝＝3.

答案：3

8．已知圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x＋b成轴对称图形，则a－b的取值范围是________．

解析：由题意知，直线y＝2x＋b过圆心，而圆心坐标为(－1，2)，代入直线方程，得b＝4，圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a，所以a＜5，由此，得a－b＜1.

答案：(－∞，1)

9．当实数m的值为多少时，关于x，y的方程(2m2＋m－1)x2＋(m2－m＋2)y2＋m＋2＝0表示的图形是一个圆．

解：要使方程(2m2＋m－1)x2＋(m2－m＋2)y2＋m＋2＝0表示的图形是一个圆，需满足2m2＋m－1＝m2－m＋2，得m2＋2m－3＝0，

所以m＝－3或m＝1.

①当m＝1时，方程为x2＋y2＝－，不合题意，舍去；

②当m＝－3时，方程为14x2＋14y2＝1，即x2＋y2＝，表示以原点为圆心，以为半径的圆．

综上，m＝－3时满足题意．

10．已知圆C过点M(1，1)，N(5，1)，且圆心在直线y＝x－2上，求圆C的方程．

解：设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心坐标为，

由题设可得解得

所以所求圆的方程为x2＋y2－6x－2y＋6＝0.

[B级　综合运用]

11．若圆C：x2＋y2－2(m－1)x＋2(m－1)y＋2m2－6m＋4＝0过坐标原点，则实数m的值为(　　)

A．2或1     B．－2或－1

C．2     D．1

解析：选C　∵x2＋y2－2(m－1)x＋2(m－1)y＋2m2－6m＋4＝0表示圆，∴[－2(m－1)]2＋[2(m－1)]2－4(2m2－6m＋4)＞0，∴m＞1.又圆C过原点，∴2m2－6m＋4＝0，∴m＝2或m＝1(舍去)，∴m＝2.

12．已知圆x2＋y2＋2x－6y＋1＝0关于直线ax－by＋3＝0(a＞0，b＞0)对称，则＋的最小值是(　　)

A．2     B．

C．4     D．

解析：选D　由圆x2＋y2＋2x－6y＋1＝0知，其标准方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝9，

∵圆x2＋y2＋2x－6y＋1＝0关于直线ax－by＋3＝0(a＞0，b＞0)对称，

∴该直线经过圆心(－1，3)，即－a－3b＋3＝0，

∴a＋3b＝3(a＞0，b＞0)，

∴＋＝(a＋3b)＝

≥＝，

当且仅当＝，即a＝b时取等号，故选D.

13．若圆x2＋y2－4x＋2y＋m＝0与y轴交于A，B两点，且∠ACB＝90°(其中C为已知圆的圆心)，则实数m＝________，圆的面积为________．

解析：设A(0，y1)，B(0，y2)，在圆方程中令x＝0得y2＋2y＋m＝0，y1，y2即为该方程的两根，

由根与系数的关系及判别式得

又由∠ACB＝90°，C(2，－1)，知kAC·kBC＝－1，

即·＝－1，

即y1y2＋(y1＋y2)＋1＝－4，

即m－2＋1＝－4，

∴m＝－3，符合m<1的条件．

r＝＝2，

∴圆的面积为πr2＝π×(2)2＝8π.

答案：－3　8π

14．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为，求圆的一般方程．

解：圆心C，∵圆心在直线x＋y－1＝0上，∴－－－1＝0，即D＋E＝－2.  ①

又∵半径长r＝＝，

∴D2＋E2＝20.  ②

由①②可得或

又∵圆心在第二象限，∴－＜0，即D＞0.

则

故圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.

[C级　拓展探究]

15．公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius)在《平面轨迹》一书中，研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下著名结果：平面内到两个定点A，B距离之比为λ(λ>0且λ≠1)的点P的轨迹为圆，此圆称为阿波罗尼斯圆．

(1)已知两定点A(－2，0)，B(4，0)，若动点P满足＝，求点P的轨迹方程；

(2)已知A(－6，0)，P是圆C：(x＋4)2＋y2＝16上任意一点，在平面上是否存在点B，使得＝恒成立？若存在，求出点B坐标；若不存在，说明理由；

(3)已知P是圆D：x2＋y2＝4上任意一点，在平面内求出两个定点A，B，使得＝恒成立．只需写出两个定点A，B的坐标，无需证明．

解：(1)设点P(x，y)，由＝得|PB|2＝4|PA|2，

即(x－4)2＋y2＝4[(x＋2)2＋y2]，化简得(x＋4)2＋y2＝16.

即点P的轨迹方程为(x＋4)2＋y2＝16.

(2)假设存在点B(a，b)满足对圆C：(x＋4)2＋y2＝16上任意一点P，都有＝，

即|PB|2＝4|PA|2.

设P(x0，y0)，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝4[(x0＋6)2＋y]，

化简得3x＋3y＋(48＋2a)x0＋2by0＋144－a2－b2＝0. ①

又∵点P在圆C上，∴x＋y＝－8x0.  ②

将②代入①得(24＋2a)x0＋2by0＋144－a2－b2＝0.

根据题意有解得

∴B(－12，0).

故对于A(－6，0)，圆C：(x＋4)2＋y2＝16上任意一点P，在平面上存在点B，使得＝恒成立．

(3)设A(m，n)，B(s，t)，P(x1，y1).

由|PB|2＝4|PA|2得(x1－s)2＋(y1－t)2＝4(x1－m)2＋4(y1－n)2.

化简得3x＋3y＋(2s－8m)x1＋(2t－8n)y1＋4m2＋4n2－s2－t2＝0， ③

又∵P在圆D：x2＋y2＝4上，∴x＋y＝4， ④

将④代入③得(2s－8m)x1＋(2t－8n)y1＋4m2＋4n2－s2－t2＋12＝0.

根据题意有

即

答案不唯一，只需满足上面的方程组即可，例如A(1，0)，B(4，0)或A，B(2，2)等．