数学选择性必修 第一册2.5.2 椭圆的几何性质课时练习

课时跟踪检测（二十四）  椭圆的几何性质（二）

[A级　基础巩固]

1．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则C的方程是(　　)

A．＋＝1　　　　　　　  B．＋＝1

C．＋＝1     D．＋＝1

解析：选D　右焦点为F(1，0)说明两层含义：椭圆的焦点在x轴上；c＝1.又离心率为＝，故a＝2，b2＝a2－c2＝4－1＝3，故椭圆的方程为＋＝1.

2．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P，若＝2，则椭圆的离心率是(　　)

A．     B．

C．     D．

解析：选D　如图，∵＝2，∴OA＝2OF，∴a＝2c，∴e＝.

3．F是椭圆的左焦点，A，B分别是其在x轴正半轴和y轴正半轴的顶点，P是椭圆上一点，且PF⊥x轴，OP∥AB，那么该椭圆的离心率为(　　)

A．     B．

C．     D．

解析：选A　如图所示，设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，P(－c，m).

∵OP∥AB，∴△PFO∽△BOA，

∴＝，①

又∵P(－c，m)在椭圆上，

∴＋＝1,    ②

将①代入②得＝1，

即e2＝，∴e＝，故选A.

4．阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积公式，设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为a，b，则椭圆的面积公式为S＝πab.若椭圆C的离心率为，面积为8π，则椭圆的C的标准方程为(　　)

A.＋＝1或＋＝1

B．＋＝1或＋＝1

C．＋＝1或＋＝1

D．＋＝1或＋＝1

解析：选A　由题意解得

∴椭圆方程为＋＝1或＋＝1，故选A.

5．(多选)2020年11月28日，“嫦娥五号”顺利进入环月轨道，其轨道是以月球的球心F为一个焦点的椭圆(如图所示).已知它的近月点A(离月球表面最近的点)距离月球表面m千米，远月点B(离月球表面最远的点)距离月球表面n千米，AB为椭圆的长轴，月球的半径为R千米．设该椭圆的长轴长，焦距分别为2a，2c，则下列结论正确的有(　　)

A．a＝　　　　　　  B．a＝＋R

C．c＝     D．c＝＋R

解析：选BC　由题意可知2a＝2R＋m＋n，所以a＝＋R，因为a－c＝R＋m，a＋c＝R＋n，所以c＝，故选B、C.

6．已知椭圆C：＋＝1的一个焦点为(2，0)，则C的离心率为________．

解析：不妨设a＞0，因为椭圆C的一个焦点为(2，0)，所以c＝2，所以a2＝4＋4＝8，所以a＝2，所以椭圆C的离心率e＝＝.

答案：

7．若椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，短轴长为4，则椭圆的标准方程为________．

解析：由题意可知e＝＝，2b＝4，得b＝2，

所以解得

所以椭圆的标准方程为＋＝1.

答案：＋＝1

8．若椭圆＋＝1(a>b>0)上存在一点M，使得∠F1MF2＝90°(F1，F2分别为椭圆的左、右焦点)，则椭圆的离心率e的取值范围为________．

解析：设点M的坐标是(x0，y0)，则|x0|<a.

∵F1(－c，0)，F2(c，0)，∴＝(－c－x0，－y0)，＝(c－x0，－y0).

∵∠F1MF2＝90°，∴·＝0，∴x＋y＝c2.

又y＝b2－x，∴x＋y＝b2＋x∈[b2，a2)，即c2∈[b2，a2)，∴c2≥b2＝a2－c2，∴≥，∴e≥，

又0<e<1，故椭圆的离心率e的取值范围是.

答案：

9．过椭圆的左焦点F1且倾斜角为60°的直线交椭圆于A，B两点，若|F1A|＝2|F1B|，求椭圆的离心率e.

解：如图，设椭圆的右焦点为F2，长轴长为2a，焦距为2c，|BF1|＝m，则|AF1|＝2m.

由椭圆的定义知：|AF2|＝2a－2m，|BF2|＝2a－m.

在△AF1F2及△BF1F2中，分别用余弦定理，整理，

可得

①÷②，得＝，即＝，解得e＝.

10．已知地球运行的轨道是长半轴长a＝1.50×108 km，离心率e＝0.019 2的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，求地球到太阳的最大和最小距离．

解：∵e＝＝0.019 2，a＝1.50×108 (km)，

∴c＝ea＝2.88×106 (km).

∴地球到太阳的最大距离为a＋c＝1.528 8×108 (km)，

地球到太阳的最小距离为a－c＝1.471 2×108 (km).

 [B级　综合运用]

11．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，A，B是椭圆的左、右顶点，点P是椭圆上不同于A，B的一点，直线PA，PB的倾斜角分别为α，β，则＝(　　)

A．4     B．5

C．6     D．7

解析：选D　由已知，A(－a，0)，B(a，0)，P(x，y)，

则tan α＝，tan β＝，

∴tan αtan β＝·＝，

∵椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，

∴＝，∴a2＝b2，∴＋＝1，

∴y2＝b2－，∴＝＝－，

∴tan αtan β＝－，

∴＝＝＝＝7.故选D.

12．(多选)已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点F1，F2在y轴上，短轴长等于2，离心率为，过焦点F2作y轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，则下列说法正确的是(　　)

A．椭圆C的方程为＋x2＝1

B．椭圆C的方程为＋y2＝1

C．|PQ|＝

D．△PF1Q的周长为4

解析：选ACD　由已知得2b＝2，b＝1，＝，

又a2＝b2＋c2解得a2＝3.

∴椭圆C方程为＋x2＝1，

由此选项B是错误的．∵c＝ ＝，

不妨设F2为椭圆上焦点，

∴F2(0，)，

∴直线PQ的方程为y＝.

由可解得x＝±.

∴|PQ|＝，故C正确．

∵|PQ|＋|PF1|＋|QF1|

＝|PF2|＋|QF2|＋|PF1|＋|QF1|

＝(|PF1|＋|PF2|)＋(|QF1|＋|QF2|)

＝2a＋2a＝4a＝4，∴D正确．

13.如图，底面直径为12 cm的圆柱被与底面成30°的平面所截，其截口是一个椭圆，则这个椭圆的长轴长为________，短轴长为________，离心率为________．

解析：由题图知短轴长为底面直径12 cm，长轴长为＝8(cm)，则c2＝(4)2－62＝12，

∴c＝2，∴离心率e＝＝.

答案：8 cm　12 cm　

14．(1)设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，M为直线y＝2b上一点，△F1MF2是等边三角形，求椭圆C的离心率；

(2)椭圆＋＝1(a>b>0)的右顶点是A(a，0)，其上存在一点P，使∠APO＝90°，求椭圆离心率的取值范围．

解：(1)∵△F1MF2是等边三角形，则易知M(0，2b)，∴|MF1|＝|F1F2|，即＝2c，即4b2＋c2＝4c2，又b2＝a2－c2，∴4(a2－c2)＋c2＝4c2，即4a2＝7c2，则e2＝＝，故e＝(负值舍去).

(2)设P(x，y)，由∠APO＝90°知，点P在以OA为直径的圆上，圆的方程是＋y2＝.

∴y2＝ax－x2.①

又P点在椭圆上，故＋＝1.②

把①代入②化简，得(a2－b2)x2－a3x＋a2b2＝0，即

(x－a)[(a2－b2)x－ab2]＝0，∵x≠a，x≠0，

∴x＝，又0<x<a，

∴0<<a，即2b2<a2.

由b2＝a2－c2，得a2<2c2，∴e>.

又∵0<e<1，∴<e<1.

[C级　拓展探究]

15．有一椭圆形溜冰场，长轴长是100 m，短轴长是60 m．现要在这个溜冰场上划定一个各顶点都在溜冰场边界上的矩形，且使这个矩形的面积最大，试确定这个矩形的顶点的位置．这时矩形的周长是多少？

解：分别以椭圆的长轴、短轴所在的直线为x轴，y轴，以长轴的中点为坐标原点O，建立如图所示的平面直角坐标系xOy.设矩形ABCD的各顶点都在椭圆上．

易知矩形ABCD关于原点O及x轴，y轴对称．已知椭圆的长轴长2a＝100 m，短轴长2b＝60 m，则a＝50 m，b＝30 m，所以椭圆的方程为＋＝1.

设点A的坐标为(x0，y0)，x0＞0，y0＞0，

则＋＝1，即y＝(502－x).

根据矩形ABCD的对称性，可知它的面积S＝4x0y0.

因为xy＝x·(502－x)

＝，

所以当x＝时，xy取得最大值，此时S也取得最大值．

这时x0＝25，y0＝15.

矩形ABCD的周长为4(x0＋y0)＝4×(25＋15)＝160(m).

因此，在椭圆形溜冰场的两侧分别画一条与短轴平行且与短轴相距25 m的直线，这两条直线与椭圆的交点就是所划定的矩形的顶点，这个矩形的周长为160 m.