2021北京师范大学万宁附中高一下学期期中考试数学试题含答案

北师大万宁附中2020-2021学年下学期期中考试(高一)

数学试题

（考试时间120分钟  满分150分 ）

一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1．若向量a＝(x,2)，b＝(－1,3)，a·b＝3，则x等于(　　)

A．3          B．－3        C.        D．－

2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2－b2＋c2＝ac，则角B为(　　)

A.                B.             C.或                 D.或

3. 在△中，为边上的中线，为的中点，则(　　)

A.    B.   C.    D.

4．把△ABC按斜二测画法得到△A′B′C′(如图所示)，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝，那么△ABC是一个(　　)

A．等边三角形　　　B．直角三角形

C．等腰三角形      D．三边互不相等的三角形

5．正四面体的棱长为，，分别为，的中点，则的长为（    ）

A． B． C． D．

6．设、是两条不同的直线，是平面，、不在内，下列结论中错误的是（    ）

A．，，则 B．，，则

C．，，则 D．，，则

7．若正三棱台上、下底面边长分别为和，棱台的高为，则此正三棱台的侧面积为（    ）

A． B． C． D．

8．已知正方体的棱长为2，为的中点，点在侧面内，若，则面积的最小值为（    ）

A． B． C．1 D．5

二．多选题（本题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得5分，漏选得3分，选错得0分）

9．两平面α，β平行，直线a⊂α，则下列四个命题正确的是(　　)

A．a与β内的所有直线平行     B．a与β内无数条直线平行

C．a与β至少有一个公共点     D．a与β没有公共点

10.下列说法正确的是（    ）

A. 在中，
B. 在中，若，则
C. 在中，若，则；若，则
D. 在中，

11．已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则(　　)

A．三棱锥S－ABC的体积为     B．三棱锥S－ABC的体积为

C．三棱锥O－ABC的体积为     D．三棱锥O－ABC的体积为

12．如图，正方体的棱长为1，，，分别为，，的中点，则（    ）

A．直线A1G与直线DC所成的角的正切值为

B．直线与平面平行

C．点C与点G到平面的距离相等

D．平面截正方体所得的截面面积为

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）

13．已知矩形中，，，设与交于点，则_____．

14．如图，在直角梯形中，，，，，，将此梯形以所在直线为轴旋转一周，所得几何体的体积是_____________．

15．如图，四棱锥的底面是正方形，顶点在底面上的射影是底面正方形的中心，侧棱长为，侧面的顶角为．过点作一截面与、、分别相交于、、，则四边形周长的最小值是________．

16.三棱锥中，平面平面，，，，则三棱锥外接球的表面积为________．

四、解答题（本大题共6道题，共70分.解答应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤.）

17．（10分）已知复数， .

（1）求；      （2）若，求.

18.（12分）如图，在棱长为1的正方体中，求（1）直线A1B与B1C所成的角的大小

（2）直线D1B与平面ABCD所成的角的余弦值.

19．（12分）已知向量a＝(1，)，b＝(－2,0)．

(1)求a－b的坐标以及a－b与a之间的夹角；

(2)当t∈[－1,1]时，求|a－tb|的取值范围．

20．（12分）从①B，②a＝3sinB这两个条件中选一个，补充到下面问题中，并完成解答．

已知△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，且sin2A＝sin2B+sin2C+sinBsinC．

（1）求角A；

（2）已知b，且____，求sinC的值及△ABC的面积．

21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．

（1）证明MN∥平面PAB；

（2）求四面体N﹣BCM的体积．

22.（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且

（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；

（2）若PA=PD=AB=DC=1,,求二面角P-AC-D的大小.

数学答案

1．答案　A

解析　a·b＝－x＋6＝3，故x＝3.

2．答案　A

解析　∵a2－b2＋c2＝ac，

∴cosB＝＝＝，

又B为△ABC的内角，∴B＝.

3.A

分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.

4．A　根据斜二测画法还原三角形在直角坐标系中的图形，如图所示：由图易得AB＝BC＝AC＝2，故△ABC为等边三角形，故选A。

5．A

【解析】如题所示：连接，，

因为，为的中点，

所以，所以，

同理．

又因为，为的中点，所以，

所以，故选A．

6．D

【解析】对于A，，由线面平行的性质定理可知，过直线的平面与平面的交线平行于，

，，，，故A正确；

对于B，若，，由直线与平面垂直的性质，可得，故B正确；

对于C，若，，则或，

又，，故C正确；

对于D，若，，则或与相交或，

而，则或与相交，故D错误，

故选D．

7．C

【解析】如图，分别为上、下底面的中心，分别是，的中点，过作于点E.在直角梯形中，，，.

在中，，

则

.

.

     故选：C

8．B

【解析】如图，取的中点为E，易知．

取的中点，则在正方形中，，

则，，则，

可得，即，所以点的轨迹为线段．

因为平面，平面，则，

所以为直角三角形，

当时，取最小值为，

此时面积最小，最小值为，故选B．

9．BD

10.ACD

11．AC

解析　由于三棱锥S－ABC与三棱锥O－ABC的底面都是△ABC，O是SC的中点，因此三棱锥S－ABC的高是三棱锥O－ABC高的2倍，所以三棱锥S－ABC的体积也是三棱锥O－ABC体积的2倍，在三棱锥O－ABC中，其棱长都为1，如图，S△ABC＝，高OD＝＝，则VO－ABC＝××＝，VS－ABC＝2VO－ABC＝.

12．ABD

【解析】A正确；

对于B，取中点，连接，，

在正方体中，，，

平面，平面，

所以平面，同理可证平面，，

所以平面平面，

平面，所以平面，故B正确；

对于C，假设C与G到平面的距离相等，即平面将平分，

则平面必过的中点，连接交于H，而H不是中点，

则假设不成立，故C错；

对于D，在正方体中，，

把截面补形为四边形，

由等腰梯形计算其面积，故D正确，

13．

解：

，（建系更快）

14．

15．

【解析】依题意，四棱锥为正四棱锥，且每个侧面的顶角为，

将四棱锥的侧面沿展开，如图，A展开后到，

则，且，

则当如图，，，和在同一直线上时，四边形的周长的最小值，最小值为．

所以在三角形中，由余弦定理得：

，

所以，

故答案为．

16.

解：，，，

，，S表=

17．（1）.

（2）由，得，

18.（1）60○（2）

19．解：　(1)因为向量a＝(1，)，b＝(－2,0)，

所以a－b＝(1，)－(－2,0)＝(3，)，

设a－b与a之间的夹角为θ，

所以cos θ＝＝＝.

因为θ∈[0，π]，所以向量a－b与a的夹角为.

(2)|a－tb|2＝a2－2ta·b＋t2b2＝4t2＋4t＋4＝42＋3.易知当t∈[－1,1]时，|a－tb|2∈[3,12]，所以|a－tb|的取值范围是[，2 ]．

20．解：（1）因为sin2A＝sin2B+sin2C+sinBsinC，

由正弦定理可得a2＝b2+c2+bc，

可得cosA，

因为0＜A＜π，

所以A．

（2）选择①时，A，B，

故sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB，

根据正弦定理，可得a＝3，

可得SabsinC．

选择②时，a＝3sinB，根据正弦定理，可得，解得sinB，

sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB，

根据正弦定理，可得a＝3，

可得SabsinC．

21．解：（Ⅰ）由已知得，取的中点，连接，由为中点知，.    ......3分

又，故平行且等于，四边形为平行四边形，于是.

因为平面，平面，所以平面.     ........6分

（Ⅱ）因为平面，为的中点，

所以到平面的距离为.    ....9分

取的中点，连结.由得，.

由得到的距离为，故.

所以四面体的体积.     .....12分

22.（1）由已知，得,.

由于，故，从而平面.

又平面，所以平面平面.

（2）60○