2021福建省泰宁一中高一下学期期中考试数学试题含答案

这是一份2021福建省泰宁一中高一下学期期中考试数学试题含答案，共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
泰宁一中2020-2021学年下学期学分认定暨期中考试高一数学科必修二模块试卷(考试时间：120分钟，满分：150分）第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一个符合要求.1．已知，其中为虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．下列关于向量的命题正确的是（    ）A．若，则 B．若，则C．若，，则 D．若，，则3．在中,已知,则(    )A．6 B．12 C．6或12 D．无解4．已知向量，，且，则实数等于(    )A．         B．          C．     D．5．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（    ）A．      B．      C．    D．6．如皋定慧寺原有佛塔毁于五代时期，现在的观音塔为2002年6月12日奠基，历时两年完成的，是仿明清古塔建筑，框架七层、八角彩绘，总建筑面积700多平方米.塔内供奉观音大士铜铸32应身，玻璃钢彩铸大悲咒出相84尊，有通道拾级而上可登顶层.塔名由中国书法协会名誉主席、中国佛教协会顾问、国学大师启功先生题写.塔是佛教的工巧明（即工艺学，比如建筑学就是工巧明之一），东汉明帝永平年间方始在我国兴建.所谓救人一命胜造七级浮屠，这七级浮屠就是指七级佛塔.下面是观音塔的示意图，游客（视为质点）从地面点看楼顶点的仰角为，沿直线前进51米达到点，此时看点点的仰角为，若，则该八角观音塔的高约为（    ）（）A．8米 B．9米 C．40米 D．45米7．是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（    ）A． B． C． D．8．已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的底面边长为，高为，球的体积为，则这个正四棱柱的侧面积的最大值为（    ）A． B． C． D．二、多项选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合要求.全部选对得5分，部分选对得2分，错选得0分.9．已知复数则（    ）A．是纯虚数 B．对应的点位于第二象限C． D．10．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列结论正确的是（    ）A．若m⊥α，n⊥α，则m∥nB．若m∥n，m∥α，则n∥αC．若m⊂α，n⊂β，则m，n是异面直线D．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n或m，n是异面直线  11．设P是所在平面内的一点，则(      )A． B．C． D．12．如图，M、N分别为边长为1的正方形ABCD的边BC、CD的中点，将正方形沿对角线AC折起，使点D不在平面ABC内，则在翻折过程中，以下结论正确的是（    ）A．MN∥平面ABDB．异面直线AC与BD所成的角为定值C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D．三棱锥M-ACN体积的最大值为第II卷（非选择题）三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.13．复数（为虚数单位），则________.14．在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,则角C＝ ______.15．在中，已知，为边中点，点在直线上，且，则边的长度为___________。16．四棱锥中，平面，，，且，则点到平面的距离为        ；若为侧棱上一点，且，则        .四、解答题：本大题共6个大题，满分70分.解答题应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤.17．（本题满分10分）已知向量，，且与的夹角为.（1）求；（2）若与垂直，求实数λ的值.  18.（本题满分12分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，点D在直线AC上，且AD=4DC.（I）求BD的长；（II）求sin∠CBD的值.  19．（本题满分12分）如图，已知圆锥的顶点为，底面圆心为，半径为4；（1）若圆锥的侧面积为，求圆锥的体积.（2）若，，是底面半径，且，为线段的中点，求异面直线与所成的角的余弦值. 20.(本题满分12分)如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，点M，N分别是AB，PC的中点，且PA=AD(1)求证：MN∥平面PAD        (2)求证：平面PMC⊥平面PCD  21．在中，分别为角所对的边.在①；        ②；③这三个条件中任选一个，作出解答.（1）求角的值；（2）若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围. 22.如图，直三棱柱中，，，分别为上的点，且（1）当为的中点时，求证：；（2）当在线段上运动时（不含端点），求三棱锥体积的最小值.
 参考答案1．D     2．C    3．C    4． A     5．D      6．D7．B【解析】：设，，∴，，，∴.8．B【解析】设球的半径为，则，解得.如图， 正四棱柱底面对角线，在中，由，，，则侧面积，即侧面积的最大值为.故选：B.9．AD【详解】利用复数的相关概念可判断A正确；对于B选项，对应的点位于第四象限，故B错；对于C选项，，则，故C错；对于D选项，，则，故D正确.故选：AD10．AD【详解】由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，得：对于A，若m⊥α，n⊥α，则由线面垂直的性质定理得m∥n，故A正确；对于B，若m∥n，m∥α，则n∥α或n⊂α，故B错误；对于C，若m⊂α，n⊂β，则m，n相交、平行或异面，故C错误；对于D，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n或m，n是异面直线，故D正确.  故选：AD.11．CD【详解】由题意：故 即      ,故选：CD12．ABD【详解】选项，因为，平面，平面，所以平面，故选项正确；选项，取中点，连接，则，且，所以平面，所以，异面直线与所成的角为，为定值，故选项正确；选项若直线与直线垂直，因为直线与直线也垂直，则直线平面，所以直线直线，又因为，所以平面，所以，而是以和为腰长的等腰三角形，这显然不可能，故选项不正确；选项，，当平面平面时取最大值，此时，故选项正确.故选：ABD.13．      14．        15．      16．    1.    16.【详解】因为，，且，所以，所以，又平面，所以，又，所以平面，所以点到平面的距离为.如图，过棱上点作于点，因为，，所以平面，所以，又，所以，由平面，所以，所以，所以.故答案为：；1.17．（1）；（2）【详解】解：（1）由向量夹角的坐标表示得：，解得：，所以   所以（2）由（1）知，故，由于与垂直，所以，解得：.18.（本题满分12分）（I）解：因为∠ABC=90°，AB=4，BC=3，所以，AC=5，又因为AD=4DC，所以AD=4，DC=1.在△BCD中，由余弦定理，得，所以.……………………6分（II）在△BCD中，由正弦定理，得，所以，    所以.……………………12分19．(1) ;(2) 【详解】（1）∵圆锥的顶点为，底面圆心为，半径为，圆锥的母线长为，∴圆锥的侧面积，，则.∴圆锥的体积．（2）∵，，是底面半径，且，为线段的中点，∴以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，，，，，，，，设异面直线与所成的角为，则．∴．∴异面直线与所成的角的为．20、（1）设PD的中点为点E，连接AE，NE，由点N为PC的中点知ENDC，又ABCD是矩形，所以DCAB，所以ENAB，又点M是AB的中点，所以ENAM，所以AMNE是平行四边形，所以MN∥AE，而AE⊂平面PAD，NM⊄平面PAD，所以MN∥平面PAD. （6分）(2)因为PA=AD，所以AE⊥PD，又因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以CD⊥PA，而CD⊥AD，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥AE，因为PD∩CD=D，所以AE⊥平面PCD，因为MN∥AE，所以MN⊥平面PCD，又MN⊂平面PMC，所以平面PMC⊥平面PCD. （12分）21．条件选择见解析；（1）；（2）.【详解】解：（1）选①，由正弦定理得：，∴，∵，∴，∴，∵，∴；选②，∴，∴，∵，∴，则，∴；选③，得，∴，∴，∵，∴，∴，∴.（2）已知为锐角三角形，且，由正弦定理得：，  ∴，，∴，∵为锐角三角形，∴，∴   ∴.22.（1）见解析； （2）当， 取得最小值，最小值为18.【详解】（1）证明：因为D为的中点，，所以为的中点.因为三棱柱为直三棱柱，，所以四边形为正方形，所以.因为，D为的中点，所以.因为平面平面，且平面平面，所以平面，又平面，所以.因为，所以平面，又平面，所以.（2）解：设，则，，．由已知可得到面距离即为的边所对应的高．当时，有最小值为18．【点睛】本题考查异面直线垂直的证明，考查当为何值时，三棱锥的体积最小，并求出最小体积，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．