2021武汉钢城四中高一下学期期中考试数学试卷含答案

钢城四高2020—2021（下）期中考数学试卷

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．式子的值为（    ）

A． B．0 C．1 D．

2．若角的终边经过点，则（    ）

A． B． C． D．

3．在△中，为边上的中线，为的中点，则

A．           B．

C．           D．

4．设m，n为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

5．若函数对任意实数都有，那么的值等于（    ）

A． B． C． D．不能确定

6．已知，则（    ）

A． B． C． D．

7．已知函数，则下列说法错误的是（   ）

A．的周期为 B．是的一条对称轴

C．是的一个递增区间 D．是的一个递减区间

8．已知，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

二、多项选择题：本大题共包括4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，至少有两个选项符合题意，全对得5分，漏选得2分，选错不得分.

9．与函数的图象相交的直线是（    ）

A． B． C． D．

10．如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O，   

记 ，，，则错误的选项是

A．I１<I２<I３ B．I１<I３<I２           C．I３< I１<I２                D．I２<I１<I３

11．如图，在平面四边形ABCD中，

若点E为边CD上的动点，则的值可以为

A．1 B．            C．0        D．

12．关于函数有下述四个结论，其中正确的结论是（    ）

A．f(x)是偶函数 B．f(x)在区间（,）单调递增

C．f(x)在有4个零点 D．f(x)的最大值为2

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．已知，，是锐角，则=_________．

14．已知为单位向量，且=0，若 ，则_________．

15．在如图的平面图形中，已知，

则的值为_________．

16. =_________．

四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．已知cosα是方程5x2－7x－6＝0的根，求 的值．

18．已知非零向量，满足，且.

（1）求与的夹角；

（2）若，求.

19．已知曲线y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)上的一个最高点的坐标为（，）此点与相邻最低点之间的曲线与x轴交于点（，0）且φ∈（-，）

(1)求曲线的函数表达式;

(2)用“五点法”画出函数在[0，2]上的图象.

20．设函数.

（Ⅰ）求的最小值，并求使取得最小值的的集合；

（Ⅱ）不画图，说明函数的图像可由的图象经过怎样的变化得到.

21．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F，G分别在边AB，AD，BC上，且满足AE＝AB，

AF＝AD，BG＝BC，设，.

（1）用，表示，；

（2）若EF⊥EG，，求角A的值.

22．已知函数，其中常数．

（1）在上单调递增，求的取值范围；

（2）若，将函数图象向左平移个单位，得到函数的图象，且过，若函数在区间（，且）满足：在上至少含30个零点，在所上满足上述条件的中，求的最小值；

（3）在（2）问条件下，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．

数学参考答案

一、单项选择题

二、多项选择题

三、填空题

13．        14．       15．-6         16．

四、解答题⋯

17【解】由题得，所以.

..........(5分)

当在第二象限时，所以；

当在第三象限时，所以.

综合得=..........................(10分)

18．已知曲线y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)上的一个最高点的坐标为（，）此点与相邻最低点之间的曲线与x轴交于点（，0）且φ∈（-，）

(1)求曲线的函数表达式;

(2)用“五点法”画出函数在[0，2]上的图象.

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】（1）由题得,由题得.

所以，因为.

所以......................................................(6分)

（2）由题得

所以函数在[0，2]上的图象为：

............................................(12分)

19．设函数.

（Ⅰ）求的最小值，并求使取得最小值的的集合；

（Ⅱ）不画图，说明函数的图像可由的图象经过怎样的变化得到.

【解析】

（1）

.........(4分)

当时，，此时

所以，的最小值为，此时x的集合......................(8分)

（2）横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得；

然后向左平移个单位，得....................(12分)

20．（1）；（2）.

【详解】

（1）∵，∴，

∴，

∴，

∵，∴，

∴，

∵，∴与的夹角为.             ....................(6分)

（2）∵，∴，

∵，又由（1）知，

∴，∴                          ....................(12分)

21．（1），；（2）.

【详解】

（1）由平面向量的线性运算可知，

.            ....................(6分)

（2）由题意，因为EF⊥EG，所以

，解得，

所以，则可化简上式为，解得，又，故.                       ....................(12分)

22．（1）；（2）；（3）．

【详解】

解（1）由题意，有，又则最小正周期

由正弦函数的性质，当，函数取得最小值，函数取得最大值

∴是函数的一个单调递增区间

若函数在上单调递增，则且

解得                                             ....................(4分)

（2）∵由（1）：

∴将函数图象向左平移个单位，得到函数的图象

∵的图象过．

∴，可得：，解得：，，

即：，，

∵

∴，可得的解析式为：

∴的周期为

在区间（，且）满足：在上至少有30个零点，

即在上至少有30个解．

∴有或

解得：或

分析：直线与三角函数图象的一个周期内的交点中，两个交点距离：最小为波谷跨度，最大为波峰跨度：

∴当交点正好跨过15个波谷，即跨过14个整周期和一个波谷时，有最小值

即，在所有满足上述条件的中的最小值为        ....................(8分)

（3），设，

∵即可

只需要解得综上所述    ..................(12分)