2021张掖二中高一下学期期中考试数学试题含答案

张掖二中2020—2021学年度第二学期期中考试试卷

高一数学（特部）

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1. 设全集，，，则图中阴影部分所

表示的集合是（    ）

A．                 B．

C．                D．

2. 设α为第四象限角，其终边上的一个点是P(x，－)，且cosα＝，则sinα＝（    ）

A． B． C． D．

3. 有标号分别为1、2、3.的蓝色卡片和标号分别为1、2的绿色卡片，从这五张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率是(      )

A． B． C． D．

4. 定义在R上的函数既是奇函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，，则的值为 (   )               

A.         B.           C.         D.

5. 把189化为三进制数，则末位数是(　　)

A.0              B.1             C.2            D.3

6. 下面左图是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次为A1，A2，…，A16，右图是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的算法流程图，那么该算法流程图输出的结果是(　　)

A．6            B．10              C．91             D．92

7. 1876年4月1日，加菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了勾股

定理的一种证明方法，即在如图的直角梯形中，利用“两

个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形的面积之和等于直角

梯形面积”，可以简洁明了地推证出勾股定理.1881年加菲尔德就

任美国第二十任总统.后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、易

懂的证明，就把这一证明方法称为“总统证法”.如图，设

，在梯形中随机取一点，则此点取自等腰直

角中（阴影部分）的概率是（    ）

A．  B． C． D．

8. 某校高一、高二、高三分别有学生人数为495，493，482，现采用系统抽样方法，抽取49人做问卷调查，将高一、高二、高三学生依次随机按1，2，3，…，1 470编号，若第1组用简单随机抽样方法抽取的号码为23，则高二应抽取的学生人数为(　　)

A．15            B．16             C．17　　　　       D．18

9. 若＝2，则sinθcosθ的值是

A．－ B． C．± D．

10. 已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在(-∞,0]上是减函数,设a=f(log26),b=f(lo3),c=f（）,则a,b,c的大小关系是(　　)

A.c<b<a      B.b<c<a         C.b<a<c        D.a<b<c

11. 已知A＝{1,2,3}，B＝{x∈R|x2－ax＋b＝0，a∈A，b∈A}，则事件“A∩B＝B”发生的概率是(　　)

A.　　   　  B.            C.　　   　   D．1

12. 已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的部分图

象如图所示，将函数f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位后，

得到函数g(x)的图象关于点对称，则m的值可能为

(　　)

A.           B．          C.     D．

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)

13. 某单位为了了解用电量y度与气温x℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温的数据如下表.

由表中数据得线性回归方程y＝bx＋a中b＝－2，据此预测当气温为5℃时，用电量的度数

约为________．

14. 函数f(x)＝sin2x＋cos x－的最大值是        ．

15. 实数x，y满足x2+(y-1)2=1，则的取值范围是          .

16. 已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45°.若△SAB的面积为5，则该圆锥的侧面积为________．

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17. (10分)  已知f(α)＝.

(1)化简f(α)；     

(2)若f(α)＝，且<α<，求cos α－sin α的值；

18. (12分)已知函数.

(1)若 ，求方程的根；

(2)若对任意 ， 恒成立，求的取值范围.

19. (12分)已知函数f(x)＝asin＋a＋b.

(1)当a＝1时，求函数f(x)的单调递减区间；

(2)当a<0时，函数f(x)在[上的值域为[]，求a，b的值．

20. (12分)如图，四棱锥P－ABCD中，侧面PAD是边长为4的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是菱形，且∠ABC＝60°，M为PC的中点．

(Ⅰ)求证：PC⊥AD；

(Ⅱ)求点D到平面PAM的距离．

21. (12分)已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.

(1) 若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；

(2) 从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，

求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．

22. (12分)某“双一流A类”大学就业部从该校2018年已就业的大学本科毕业生中随机抽取了100人进行问卷调查，其中一项是他们的月薪收入情况，调查发现，他们的月薪收入在人民币1.65万元到2.35万元之间，根据统计数据分组，得到如下的频率分布直方图：

（1）为感谢同学们对这项调查工作的支持，该校利用分层抽样的方法从样本的前两组中抽出

6人，各赠送一份礼品，并从这6人中再抽取2人，各赠送某款智能手机1部，求获赠

智能手机的2人月薪都不低于1.75万元的概率；

（2）同一组数据用该区间的中点值作代表.

（i）求这100人月薪收入的样本平均数和样本方差；

（ii）该校在某地区就业的2018届本科毕业生共50人，决定于2019国庆长假期间举办一

次同学联谊会，并收取一定的活动费用，有两种收费方案：

方案一：设，月薪落在区间左侧的每人收取400

元，月薪落在区间内的每人收到600元，月薪落在区间右侧的每人收取800元.

方案二：按每人一个月薪水的3%收取；用该校就业部统计的这100人月薪收入的样

本频率进行估算，哪一种收费方案能收到更多的费用？

参考数据：.

张掖二中2020—2021学年度第二学期期中考试试卷

高一数学（特部）答案

1.B

2.【答案】B【分析】利用余弦函数的定义求得x，再利用正弦函数的定义即可求得sinα的值．

【详解】解：∵α为第四象限角，其终边上一个点为（x，），则cosαx（x＞0），∴，∴x2＝3，又α为第四象限角，x＞0，∴x，

∴sinα；故选：B

3.【答案】D【分析】先确定从这五张卡片中任取两张的事件数，再确定两张卡片颜色不同且标号之和小于4的事件数，最后根据古典概型概率公式求结果.

【详解】因为从这五张卡片中任取两张共有种基本事件，两张卡片颜色不同且标号之和小于4有种基本事件，因此所求概率是，选D.

4．C【解析】试题分析：根据题意，由于定义在R上的函数既是奇函数又是周期函数，且可知的最小正周期是，那么可知=== - =-，故可知答案为C

5.考点　十进位制化k进制题点　十进位制化其它进制

答案　A解析　采用“除k取余法”，得即189＝21 000(3).

6. 解析：选B.由算法流程图可知，其统计的是数学成绩大于或等于90的学生人数，由茎叶图知：数学成绩大于或等于90的学生人数为10，因此输出的结果为10.故选B.

7.【答案】C【分析】在直角三角形中，求得的表达式，利用计算出所求的概率.

【详解】在直角中，，，

则，故选C.

【点睛】本小题主要考查几何概型，考查三角形的面积公式，考查梯形的面积公式，考查同角三角函数的基本关系式，属于中档题.

8.解析：选C.由系统抽样方法，知按编号依次每30个编号作为一组，共分49组，高二学生的编号为496到988，在第17组到第33组内，第17组抽取的编号为16×30＋23＝503，为高二学生，第33组抽取的编号为32×30＋23＝983，为高二学生，故共抽取高二学生人数为33－16＝17.

9.【答案】B【分析】根据同角三角函数的基本关系式，求得，再化简，代入即可求解，得到答案.

【详解】根据同角三角函数的基本关系式，可得，解得，所以，故选B.

10. A   解析:由f(x)是R上的偶函数,且在(-∞,0]上是减函数,则f(x)在[0,+∞)上是增函数,由b=f（lo3）=f(-log23)=f(log23),由0<<log23<log26,得f（）<f(log23)<f(log26),即c<b<a.故选A.

11.解析：∵A∩B＝B，∴B可能为∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{2,3}，{1,3}．当B＝∅时，a2－4b＜0，满足条件的a，b为a＝1，b＝1,2,3；a＝2，b＝2,3；a＝3，b＝3.当B＝{1}时，满足条件的a，b为a＝2，b＝1.当B＝{2}，{3}时，没有满足条件的a，b.当B＝{1,2}时，满足条件的a，b为a＝3，b＝2.当B＝{2,3}，{1,3}时，没有满足条件的a，b，∴事件“A∩B＝B”发生的概率为＝.故选C.

12.解析：选D.由题图知解得又由题图知＝＝－＝，故ω＝2，则f(x)＝sin (2x＋φ)＋.

又f＝sin＋＝，故＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，即φ＝＋2kπ(k∈Z)，因为|φ|<，故φ＝，所以f(x)＝sin＋.将函数f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位后得到g(x)＝sin＋的图象，又函数g(x)的图象关于点对称，即h(x)＝·sin的图象关于对称，故·sin＝0，即＋2m＝kπ(k∈Z)，故m＝－(k∈Z)，令k＝2，则m＝，故选D.

13.答案　40解析　∵＝(14＋12＋8＋6)＝10，＝(22＋26＋34＋38)＝30，

∴a＝－b＝30＋2×10＝50，∴线性回归方程为y＝－2x＋50.

∴当x＝5时，y＝－2×5＋50＝40.

14.答案　1解析　f(x)＝1－cos2x＋cos x－＝－2＋1.∵x∈，∴cos x∈[0,1]，∴当cos x＝时，f(x)取得最大值，最大值为1.

15.【答案】  【解析】设，则，表示斜率为的直线在y轴上的截距 又满足，所以直线与圆有公共点，圆心到直线的距离   ，解得

16.答案：40π解析：由题意，cos∠ASB＝，所以sin∠ASB＝＝，所以S△SAB＝SA·SB·sin∠ASB＝SA2·sin∠ASB＝SA2＝5，所以SA＝4.设圆锥底面的圆心为O，连接SO，OA，则SO与底面垂直，所以∠SAO即为SA与底面所成的角，所以∠SAO＝45°，所以OA＝SA＝2，所以底面周长l＝2π·OA＝4π，　所以圆锥的侧面积S＝l·SA＝40π.

17.考点　综合运用诱导公式化简、求值      题点　综合运用诱导公式化简、求值

解　(1)f(α)＝＝sin α·cos α.-----5分

(2)由f(α)＝sin α·cos α＝可知，(cos α－sin α)2＝cos2α－2sin α·cos α＋sin2α

＝1－2sin α·cos α＝1－2×＝.------7分

又∵<α<，∴cos α<sin α，即cos α－sin α<0，------9      ∴cos α－sin α＝－.-------10分

18.【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）时，，

可得：，--------4分       ，，解得---6分

（2）令，，-----7分

由，可得，对恒成立，-----9分

因为，当且仅当，即时，的最小值为；--10分

，故，的取值范围为.------------12分

19.考点　正弦、余弦函数性质的综合应用     题点　正弦、余弦函数性质的综合应用

解　(1)当a＝1时，函数f(x)＝sin＋1＋b.

因为函数y＝sin x的单调递减区间为(k∈Z)，

所以当2kπ＋≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，------3分

即2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)时，f(x)是减函数．-----------5分

所以函数f(x)的单调递减区间是(k∈Z)．------6分

(2)f(x)＝asin＋a＋b，因为x∈[0，π]，所以－≤x－≤，---7分

所以－≤sin≤1.又因为a<0，所以a≤asin≤－a，---9分

所以a＋a＋b≤f(x)≤b.因为函数f(x)的值域是[2,3]，

所以a＋a＋b＝2且b＝3，解得a＝1－，b＝3.----12分

20.解：(Ⅰ)证明：如图，取AD的中点O，连接OP，OC，AC.

依题意可知，△PAD，△ACD均为正三角形，∴OC⊥AD，OP⊥AD.(3分)

又∵OC∩OP＝O, ∴AD⊥平面POC.

又PC⊂平面POC，∴PC⊥AD.(5分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知PO⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，

平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊂平面PAD,

∴PO⊥平面ABCD，即PO为三棱锥P－ACD的高．(7分)

由题意得PA＝AC＝4，∵M为PC的中点，∴AM⊥PC.

在Rt△POC中，PO＝OC＝2，∴PC＝2，PM＝，

∴在△PAC中，PC边上的高AM＝＝，

∴△PAC的面积S△PAC＝PC·AM＝×2×＝2.(9分)

△ACD的面积S△ACD＝AD·OC＝×4×2＝4.

点D到平面PAM的距离即点D到平面PAC的距离．

设点D到平面PAC的距离为h，

由VD－PAC＝VP－ACD，得S△PAC·h＝S△ACD·PO，即×2·h＝×4×2，解得h＝，即点D到平面PAM的距离为.(12分)

21.解：(1)将圆C的方程配方得：(x＋1)2＋(y－2)2＝2.

①当所求直线在两坐标轴上的截距为零时，设所求直线的方程为y＝，由直线与圆相切得，解得k=2±，所以切线方程为y＝(2±)x.---3分

②当所求直线在两坐标轴上的截距不为零时，设所求直线的方程为x＋y－a＝0，由直线与圆相切得：，解得a=－1或a=3，所以切线方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.---6分

综上，切线方程为y＝(2±)x或x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.

(2)由｜PO｜＝｜PM｜，得：

＝(x1＋1)2＋(y1－2)2－22x1－4y1＋3＝0.即点P在直线l：2x－4y＋3＝0上，当｜PM｜取得最小值时，｜OP｜取得最小值，此时直线OP⊥l.-----9分

∴直线OP的方程为：2x＋y＝0.解方程组得P点坐标为.----12分

22.【详解】（1）第一组有人，第二组有人.-----1分

按照分层抽样抽6人时，第一组抽1人，记为，第二组抽5人，记为，，，，.从这6人中抽2人共有15种：，，，，，，， ，，，，，，，.-----3分

获赠智能手机的2人月薪都不低于1.75万元的10种：，， ，，，，，，，.-----4分

于是获赠智能手机的2人月薪都超过1.75万元的概率.-----------5分

（2）（i）这100人月薪收入的样本平均数和样本方差分别是----6分

；------7分

（ii）方案一：

月薪落在区间左侧收活动费用约为（万元）；

月薪落在区间收活动费用约为（万元）；

月薪落在区间右侧收活动费用约为（万元）；、

因此方案一，这50人共收活动费用约为3.01（万元）.--------10分

方案二：这50人共收活动费用约为（万元）.------11分

故方案一能收到更多的费用.-------12分