2021宜春铜鼓中学高一下学期第一次月考数学（理实验班）试题含答案

这是一份2021宜春铜鼓中学高一下学期第一次月考数学（理实验班）试题含答案，共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020级高一第二学期一考理科数学试卷（实验班）
考试范围：必修五；考试时间：120分钟；命题人：

第I卷（选择题）
一、单选题
1．设，且，则( )
A． B． C． D．
2．等差数列中，，，则数列前6项和为（）
A．18 B．24 C．36 D．72
3．在中，内角所对的边分别是，若，则角的值为（ ）
A． B． C． D．
4．设等差数列的前项和为，，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．设，，若是与的等比中项，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．设等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A． B． C． D．
8．设f(x)＝x2－bx＋c，不等式f(x)f(1＋t2)，则实数t的取值范围是（ ）
A．(－1，2) B．(－3，3) C．(2，3) D．(－1，3)
9．在锐角三角形ABC中,若，且满足关系式，则的面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
10．正实数、满足，若不等式对任意正实数、以及任意实数恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．在中，为的中点，为边上靠近点的三等分点，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
12．已知数列的前项和为，数列的前项和为，满足，，，且.若存在，使得成立，则实数的最小值为（ ）
A． B． C． D．

第II卷（非选择题）

二、填空题
13．在中，内角所对的边分别为，若，，，则__________．
14．数列为单调递增数列，且，则的取值范围是__________．
15．设等差数列的公差为前项和为且则的取值范围是_________.
16．已知正项数列的前项和为，且满足，则______（其中表示不超过的最大整数）.

三、解答题
17．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
（1）求的值；
（2）若，，求a，c的值.


18．已知二次函数，数列的前n项和为，点均在函数的图象上．
Ⅰ求数列的通项公式；
Ⅱ设，是数列的前n项和，求使得对所有的都成立的最小正整数m．


19．设函数.
（1）设对于任意，恒成立，求实数的取值范围；
（2）解关于的不等式.


20．如图，在中，内角的对边分别为.已知，，，且为边上的中线，为的角平分线.
（1）求线段的长；
（2）求的面积.




21．设数列的前n项和为，已知，，数列是公差为的等差数列，n∈N*.
（1）求的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）求证：.


22．已知数列的前项和为，且．
（1）求的通项公式；
（2）设，若恒成立，求实数的取值范围；
（3）设,是数列的前项和，证明．



2020级高一第二学期一考理科数学试卷（实验班）
考试范围：必修五；考试时间：120分钟；命题人：

第I卷（选择题）
一、单选题
1．设，且，则( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
取特殊值判断A,D,根据不等式的性质判断B,根据幂函数的性质判断C.
【详解】
A选项，取时，不等式不成立；
B选项，不等式两边加上同一个数，不等号方向不发生改变，故错误；
C选项，根据幂函数在R上为增函数知，故正确；
D选项，取，不等式不成立，故错误.
故选：C
【点睛】
本题主要考查了不等式的性质，幂函数的单调性，特值法，属于中档题.
2．等差数列中，，，则数列前6项和为（）
A．18 B．24 C．36 D．72
【答案】C
【解析】
【分析】
由等差数列的性质可得，根据等差数列的前项和公式可得结果.
【详解】
∵等差数列中，，∴，即，
∴，
故选C.
【点睛】
本题主要考查了等差数列的性质以及等差数列的前项和公式的应用，属于基础题.
3．在中，内角所对的边分别是，若，则角的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用正弦定理，求得，再利用余弦定理，求得，即可求解．
【详解】
在，因为，
由正弦定理可化简得，即，
由余弦定理得，
因为，所以，
故选C.
【点睛】
本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
4．设等差数列的前项和为，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据题意，由等差数列的前项和公式可得，变形可得，又由，变形可得，结合等差数列的性质分析可得答案.
【详解】
根据题意，等差数列中，，则，变形可得，
又由，，
则，则，
又由，则，解可得.
故选：A.
【点睛】
本题考查利用等差数列求和公式求参数，同时也考查了等差数列基本性质的应用，考查计算能力，属于中等题.
5．设，，若是与的等比中项，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据等比中项的定义与指数运算可得出，即，然后将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求出的最小值.
【详解】
由题意可得，即，得，所以，，
，，由基本不等式得，
当且仅当时，即当时，等号成立，
因此，的最小值为.
故选：C.
【点睛】
本题考查利用基本不等式求代数式的最值，同时也考查了等比中项的性质以及指数运算，考查计算能力，属于中等题.
6．若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先根据奇偶数对n讨论，再分离参数a，转化函数最值问题即得解.
【详解】
（1）当n为偶数时，恒成立，即转化为恒成立，
而数列是递增数列，故时，，故；
（2）当n为奇数时，恒成立，即，转化为恒成立，
而数列是递增数列，n为奇数时，，故；
综上可得a的范围为.
故选：A.
【点睛】
本题考查了数列不等式恒成立问题的解法和分类讨论思想，属于中档题.
7．设等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由等比数列的性质，求得，得到，再结合对数的运算性质，即可求解.
【详解】
由题意，等比数列的各项均为正数，可得
因为，所以，所以，
又由.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了等比数列的性质，以及对数的运算法则的应用，其中解答中熟记等比数列的性质，结合对数的运算法则求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.
8．设f(x)＝x2－bx＋c，不等式f(x)f(1＋t2)，则实数t的取值范围是（ ）
A．(－1，2) B．(－3，3) C．(2，3) D．(－1，3)
【答案】B
【分析】
根据一元二次不等式的解集知且对称轴方程为，利用二次函数的单调性解不等式即可求解.
【详解】
f(x)f(1＋t2)
，
即，
解得，
所以，故不等式的解集为(－3，3).
故选：B
【点睛】
本题主要考查了一元二次不等式与一元二次函数的关系，二次函数的单调性，二次不等式的解法，属于中档题.
9．在锐角三角形ABC中,若，且满足关系式，则的面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由结合同角三角函数基本关系，可求出B，根据正余弦定理由可得b,再利用余弦定理及均值不等式求最大值，代入面积公式即可.
【详解】
由得,
所以，
即,
解得,
由锐角三角形知,
，
，
即，
得，
，当且仅当时等号成立，
解得，
,当且仅当时等号成立，
故选：C
【点睛】
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，均值不等式，三角形面积公式，属于难题.
10．正实数、满足，若不等式对任意正实数、以及任意实数恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由参变量分离法得出，将代数式和相乘，利用基本不等式求出的最小值，并利用配方法求出的最小值，由此可求出实数的取值范围.
【详解】
由参变量分离法可得，
由基本不等式得，
当且仅当时等号成立，
又，所以，，则.
因此，实数的取值范围是.
故选C.
【点睛】
本题考查利用基本不等式、二次函数的最值求解不等式恒成立问题，解题时可充分利用参变量分离法转化为最值来求解，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.
11．在中，为的中点，为边上靠近点的三等分点，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
作出图形，用、表示向量、，由可得出，利用基本不等式求得的最小值，结合二倍角的余弦公式可求得的最小值.
【详解】
如下图所示：

，，
，则，
即，可得，
当且仅当时，等号成立，
所以，.
故选：D.
【点睛】
本题考查二倍角余弦值最值的求解，考查平面向量垂直的数量积的应用，同时也考查了基本不等式的应用，考查计算能力，属于中等题.
12．已知数列的前项和为，数列的前项和为，满足，，，且.若存在，使得成立，则实数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先根据数列的递推公式求出，再利用累乘法求出通项公式，再构造数列，判断数列的单调性，即可求出.
【详解】
解：因为，所以，解得，
所以
当时，
所以，即，
所以，
所以，
累乘可得，，经检验符合题意
所以，
因为，所以，
令，
则，
所以数列为递增数列，
所以
因为存在，使得成立，
所以
故选：A
【点睛】
此题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前项和，以及数列的函数特征，考查满足条件的实数值是否存在和判别断与求法，综合性强，属于难题.

第II卷（非选择题）

二、填空题
13．在中，内角所对的边分别为，若，，，则__________．
【答案】
【分析】
由题已知角度的关系可求得,再根据正弦定理求即可.
【详解】
由且可求得,
.
故.
又由正弦定理 .
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了正弦定理的运用以及和差角公式等.需要根据题中所给的信息决定所用的定理并计算,属于中等题型.
14．数列为单调递增数列，且，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
要使数列为单调递增数列，则.当n0，即t>.①.当n≥4时，也必须单调递增，∴t>1　②另外，由于这里类似于分段函数的增减性，因而，即3(2t－3)－8t＋145；③当时，＋2t>5；当时，＋2t>5；当时，＋2t>5，故③式对任意恒成立，综上，解的取值范围是.
15．设等差数列的公差为前项和为且则的取值范围是_________.
【答案】
【分析】
利用等差数列通项公式和求和公式可得到不等式组，将看成关于的函数，从而所求范围变为求解的范围.由不等式组可得可行域，由二次函数性质可确定中的最大值和最小值分别在动点落在直线和上时取得；利用直线方程可将所求式子化为二次函数形式，利用二次函数值域的求解方法可求得的范围，即为的范围.
【详解】
由题意得：，即

将看成关于的函数，即，
求得范围即求的范围
由不等式组可得动点构成的可行域如下图阴影部分（含边界）所示：

则，，
设，则
由二次函数性质可知，对于每一个固定的，当越接近时越大；当越远离时，越小
要使取最小值，则必在直线上
当时，，

要使取最大值，则必在直线上
当时，，

综上所述：的取值范围为
故答案为：
【点睛】
本题考查利用线性规划的思想求解取值范围的问题，难点在于不能对问题进行等价转化，从而无法确定解题思路；同时本题中涉及到了二次函数的图象和性质的应用，需要根据二次函数的性质确定最值取得的位置.本题综合性较强，属于难题.
16．已知正项数列的前项和为，且满足，则______（其中表示不超过的最大整数）.
【答案】14
【分析】
首先通过，代入整理可得，所以是以1为首项，1为公比的等差数列，再通过放缩和裂项相消法，
即可得到，即可得解.
【详解】
当时，，
则，
整理可得：，
即：，
当时，，
解得，则，
所以是以1为首项，1为公差的等差数列，
则 ，
所以，
因为
故当时，
所以，
所以，
则，
则.
故答案为：14.
【点睛】
本题考查了利用和的关系求得通项公式，考查了裂项相消法和放缩法求范围，整体计算量比较大，属于难题.

三、解答题
17．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
（1）求的值；
（2）若，，求a，c的值.
【答案】（1）； （2）.
【分析】
（1）利用正弦定理统一为三角函数，利用两角和正弦公式的逆用，即可得出，化简即可求出cosB（2）利用余弦定理得，再利用可求出，联立，即可求解.
【详解】
（1），由正弦定理可得：，
，即.
.
（2）由及余弦定理得，即又 .
【点睛】
本题主要考查了利用正弦定理，余弦定理解三角形，属于中档题.
18．已知二次函数，数列的前n项和为，点均在函数的图象上．
Ⅰ求数列的通项公式；
Ⅱ设，是数列的前n项和，求使得对所有的都成立的最小正整数m．
【答案】Ⅰ ；Ⅱ10
【解析】
【分析】
Ⅰ由题意可得，运用数列的递推式：当时，，当时，，计算可得所求通项公式；
Ⅱ求得，运用数列的求和方法：裂项相消求和，可得，由不等式的性质和恒成立思想可得m的最小值．
【详解】
Ⅰ，
又因为点均在函数的图象上，
所以，
当时，，
当时，，
检验：，将代入符合首项．
所以， ；
Ⅱ由Ⅰ得知设，
故，
因此，要使；成立的m，
必须且仅须满足，
即，所以满足要求的最小正整数m为10．
【点睛】
本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查数列的求和方法：裂项相消求和，以及数列不等式恒成立问题解法，注意运用不等式的性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
19．设函数.
（1）设对于任意，恒成立，求实数的取值范围；
（2）解关于的不等式.
【答案】（1）；（2）当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为
【分析】
（1）依题意等价于对于任意的，恒成立，利用不等式的性质求即可；
（2）等式转化为，对参数分类讨论，分别求出不等式的解集；
【详解】
（1），
又对任意的，
所以不等式等价于对于任意的，恒成立，
又，，即，
所以实数a的取值范围
（2） 不等式，即，
当时，不等式可化为，不等式的解集为；
当时，不等式可化为，此时，解得：或，不等式的解集为；
当时，，不等式的解集为；
当时，，解得：，不等式的解集为；
当时，，解得：．不等式的解集为
综上可得：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为
【点睛】
方法点睛：本题主要考查了不等式的恒成立问题，不等式恒成立问题常见方法：
①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；
②数形结合( 图像在 上方即可)；
③讨论最值或恒成立.
20．如图，在中，内角的对边分别为.已知，，，且为边上的中线，为的角平分线.
（1）求线段的长；
（2）求的面积.


【答案】（1）； （2）.
【分析】
（1）根据题意，哟祖新大陆可得.进而得到；又由，可得.最后在在中，由余弦定理得，即可求出.
（2）根据题意，因为平分，所以，由此可得，由，则，故即可.
【详解】
（1）根据题意，，
∴.
又，，
∴；
又由，
解得，即，则.
在中，由余弦定理得，
解得.
（2）根据题意，因为平分，
所以，
故，
变形可得，，则，
所以.
【点睛】
本题考查利用正弦定理，余弦定理解三角形，考查三角形面积的求法，属中档题.
21．设数列的前n项和为，已知，，数列是公差为的等差数列，n∈N*.
（1）求的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）求证：.
【答案】（1）d＝4；（2）；（3）见解析.
【解析】试题分析：(1)由,求出,从而得到d的值;
(2)根据(1)的结果先求出,得到关于和的关系式,再利用求出数列;
(3)由(2)得:
所以,显然可利用不等式的性质得到要证的不等式成立.
试题解析：
解：
（1）


3分
（2）因为数列是等差数列
，
即①
当时，②
①-②，得:
，即
则
以上各式相乘得：
因为，8分
（3）
则
③
因为当时，，所以上式等号不成立.
则12分
考点：1、数列的概念，等差数列；2、不等式的性质.
22．已知数列的前项和为，且．
（1）求的通项公式；
（2）设，若恒成立，求实数的取值范围；
（3）设,是数列的前项和，证明．
【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析．
【解析】试题分析：（1）先化简递推公式，由等比数列的定义判断出，数列是公比为的等比数列，根据等比数列的通项公式求出；
（2）由（1）和条件求出，利用作差法判断出数列的单调性，可求出的最大值，再求实数的取值范围；
（3）由（1）化简，利用裂项相消法求出，利用函数的单调性判断出的单调性，结合的取值范围求出的范围，即可证明结论．
试题解析：（1）由已知得，其中
所以数列是公比为的等比数列，首项
，所以
（2）由（1）知所以
所以

因此，
所以，当即，即
所以是最大项所以．
（3）


又令，显然在时单调递减，所以
故而
考点：（1）数列的递推式（2）数列的求和
【一题多解】针对第二问的数列求和问题，我们经常对形如，其中为等差数列， 为等比数列，这种数列的求和一般利用错位相减法;这里给大家提供一种简单方法．把我们常见的形式改写成，其前项和为，其中．例如可以改写为．