2021宜春铜鼓中学高一下学期第一次月考数学（文非实验班）试题含答案

铜鼓中学2020--2021学年第二学期第一次月考

高一年级数学(文科)试卷

一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（    ）

A．＝(2，2)，＝(1，1)           B．＝(1，－2)，＝(4，－8)

C．＝(1，0)，＝(0，－1)         D．＝(1，－2)，＝

2．函数y＝2sin的振幅、频率和初相分别为(　　)

A．2，，     B．2，，     C．2，，     D．2，，－

3已知，且，，则(　　)

A． B． C． D．

4.在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，C＝60°，a＝4b，c＝，则b＝(　　)

A．1           B．2          C．3          D.

5.在△ABC中，若点D满足＝2，点M为AC的中点，则＝(　　)

A.－       B.－      C.－    D.＋

6已知△ABC中，，则B=(      )

A． B． C． D．

7已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为(　　)

A.              B.               C.             D.

8设的三个内角所对的边分别为，如果，且，那么外接圆的半径为（   ）

A．2 B．4 C． D．1

9在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c－acos B＝(2a－b)cos A，则△ABC的形状为(　　)

A.等腰三角形   B.直角三角形        C.等腰直角三角形  D.等腰或直角三角形

10设D，E为正三角形ABC中BC边上的两个三等分点，且BC＝2，则·等于(　　)

A.       B.      C.        D.

11“三斜求积”法是由我国著名数学家秦九韶提出的求三角形面积的方法，公式为S＝，其中a，b，c是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，S为ABC的面积，若c2sinA＝4sin(A＋B)，(a－c)2＝b2－4，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为（    ）

A． B． C． D．2

12在矩形中，与相交于点，过点作，垂足为，则

A．  B． 

C．  D．

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.

13已知向量的夹角为，，，则在方向上的投影为          .

14函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为________．

15已知向量，，且，则的值为________．

16在平面向量中有如下定理：设点O，P，Q，R为同一平面内的点，则P，Q，R三点共线的充要条件是：存在实数t，使＝(1－t)＋t.试利用该定理解答下列问题：如图，在△ABC中，点E为AB边的中点，点F在AC边上，且CF＝2FA，BF交CE于点M，设＝x＋y，则x＋y＝________.

三．解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题10分）已知，，与夹角是．

（1）求的值及的值；

（2）当为何值时，？

18.（本小题12分）在△ABC中，角的对边分别为，已知向量，，且.

（1）求角的大小；

（2）若，且三角形周长为10时，求△ABC面积.

19（本小题12分）在△ABC中，，，分别为角，，的对边，.

（1）求角的大小；

（2）若△ABC为锐角三角形，，求的取值范围.

20（本小题12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

（1）求的值；

（2）在边BC上取一点D，使得，求的值．

21（本小题12分）在中，，，，为边的中点，为中线的中点．

（Ⅰ）求中线的长（Ⅱ）求与的夹角的余弦值.

22（本小题12分）如图,在等腰直角三角形中,,,点在线段上.

(1)若,求的长;(2)若点在线段上,且,问:当取何值时,的面积最小?并求出面积的最小值.

铜鼓中学2020--2021学年第二学期第一次月考

高一年级数学(文科)试卷

一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（ C   ）

A．＝(2，2)，＝(1，1)           B．＝(1，－2)，＝(4，－8)

C．＝(1，0)，＝(0，－1)         D．＝(1，－2)，＝

2．函数y＝2sin的振幅、频率和初相分别为(　A　)

A．2，，     B．2，，     C．2，，     D．2，，－

解析　函数y＝2sin的振幅是2，周期T＝＝π，频率f＝＝，初相是，故选A.

3已知，且，，则(　D　)

A． B． C． D．

4.在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，C＝60°，a＝4b，c＝，则b＝(　A　)

A．1           B．2          C．3          D.

解析　由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC.又因为c＝，a＝4b，C＝60°，所以13＝16b2＋b2－2×4b×b×cos60°，解得b＝1.

5.在△ABC中，若点D满足＝2，点M为AC的中点，则＝(　A　)

A.－       B.－      C.－    D.＋

解析　＝＋＝＋＝＋(－)＝－.

6已知△ABC中，，则B=(   C   )

A． B． C． D．

7已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为(　B　)

A.              B.               C.             D.

解析　本题考查平面向量的数量积运算．设向量a与b的夹角为θ，则由(a－b)⊥b，得(a－b)·b＝a·b－b2＝|a||b|cosθ－|b|2＝2|b|2cosθ－|b|2＝0，所以cosθ＝，所以θ＝，故选B.

8设的三个内角所对的边分别为，如果，且，那么外接圆的半径为（ D  ）

A．2 B．4 C． D．1

9在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c－acos B＝(2a－b)cos A，则△ABC的形状为(　D　)

A.等腰三角形   B.直角三角形        C.等腰直角三角形  D.等腰或直角三角形

解析　∵c－acos B＝(2a－b)cos A，C＝π－(A＋B)，

∴由正弦定理得sin C－sin Acos B＝2sin Acos A－sin Bcos A，

∴sin Acos B＋cos Asin B－sin Acos B＝2sin Acos A－sin Bcos A，

∴cos A(sin B－sin A)＝0，∴cos A＝0或sin B＝sin A，

∴A＝或B＝A或B＝π－A(舍去)，∴△ABC为等腰或直角三角形.

10设D，E为正三角形ABC中BC边上的两个三等分点，且BC＝2，则·等于(　C　)

A.       B.      C.        D.

解析　如图，||＝||＝2，〈，〉＝60°，

∵D，E是边BC的两个三等分点，

∴·＝·＝·＝||2＋·＋||2＝×4＋×2×2×＋×4＝.

11“三斜求积”法是由我国著名数学家秦九韶提出的求三角形面积的方法，公式为S＝，其中a，b，c是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，S为ABC的面积，若c2sinA＝4sin(A＋B)，(a－c)2＝b2－4，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为（ B   ）

A． B． C． D．2

12在矩形中，与相交于点，过点作，垂足为，则B

A．  B． 

C．  D．

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.

13已知向量的夹角为，，，则在方向上的投影为    -2      .

14函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为________．答案　f(x)＝sin

解析　由图象可知A＝，＝－＝，所以＝π，ω＝2，所以f(x)＝sin(2x＋φ)，又f＝－，所以2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，φ＝2kπ＋，k∈Z，又|φ|<π，所以φ＝，所以f(x)＝sin.

15已知向量，，且，则的值为___1_____．

16在平面向量中有如下定理：设点O，P，Q，R为同一平面内的点，则P，Q，R三点共线的充要条件是：存在实数t，使＝(1－t)＋t.试利用该定理解答下列问题：如图，在△ABC中，点E为AB边的中点，点F在AC边上，且CF＝2FA，BF交CE于点M，设＝x＋y，则x＋y＝________.

解析　因为B，M，F三点共线，所以存在实数t，使得＝(1－t)＋t，又＝2，＝，所以＝2(1－t)＋t.又E，M，C三点共线，所以2(1－t)＋t＝1，得t＝.所以＝2(1－t)＋t＝＋，所以x＝，y＝，所以x＋y＝.

三．解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题10分）已知，，与夹角是．

（1）求的值及的值；

（2）当为何值时，？

（1）由向量的数量积的运算公式，可得，

.

（2）因为，所以，

整理得，解得．

即当值时，．

18.（本小题12分）在△ABC中，角的对边分别为，已知向量，，且.

（1）求角的大小；

（2）若，且三角形周长为10时，求△ABC面积.

（1），所以，

由正弦定理得，

，由，

由于，因此，所以，由于，

（2），且三角形周长为10，

由余弦定理得，

因此面积，因此面积为.

19（本小题12分）在△ABC中，，，分别为角，，的对边，.

（1）求角的大小；

（2）若△ABC为锐角三角形，，求的取值范围.

（1）由已知，结合正弦定理，得.

再由余弦定理，得，又，则.

（2）由，，则由正弦定理，有

因为为锐角三角形，则，则.

所以的取值范围为.

20（本小题12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

（1）求的值；

（2）在边BC上取一点D，使得，求的值．

解：（1）在中，因为，

由余弦定理，得，所以.

在中，由正弦定理，得，所以

（2）在中，因为,所以为钝角，

而,所以为锐角.

故则.

因为，所以，.

从而

21（本小题12分）在中，，，，为边的中点，为中线的中点．

（Ⅰ）求中线的长（Ⅱ）求与的夹角的余弦值.

（Ⅰ）由已知，，又，  

所以，所以.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，

所以，从而.

，

所以.

解法2：（Ⅰ）以点为原点，为轴，过点且垂直于的直线为轴建系，则

， 因为为边的中点，所以，

， 所以.

（Ⅱ）因为为中线的中点，由（Ⅰ）知，，

所以，  所以，，

所以.

22（本小题12分）如图,在等腰直角三角形中,,,点在线段上.

(1)若,求的长;(2)若点在线段上,且,问:当取何值时,的面积最小?并求出面积的最小值.

【答案】解:(Ⅰ)在中,,,,

由余弦定理得,,

得, 解得或.

(Ⅱ)设,,

在中,由正弦定理,得, 所以,

同理 故

因为,,所以当时,的最大值为,此时的面积取到最小值.即2时,的面积的最小值为.