黑龙江省嫩江市第一中学校等五校2021-2022学年高一下学期期中联考数学试题（含答案）

2021-2022学年度下学期期中五校联考高一数学试卷

 满分：120分时间90分钟

一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.设，则在复平面内对应的点位于(   )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2.`已知向量a=(3,k),b=(2,-1),a⊥b,则实数k的值为 (　　)

A.- B. C.6 D.2

3.已知，向量的夹角为，则(   )
A. B.1 C.2 D.

4.在中，内角所对的边长分别是，若，则的形状为(   )

A.等腰三角形  B.直角三角形

C.等腰直角三角形  D.等腰三角形或直角三角形

5.已知，则复数(   )

A. B. C. D.

6.已知向量a，b满足，，则(   )

A.4 B.3 C.2 D.0

7.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，则(   )

A.6 B.5 C.4 D.3

8..在△ABC中,已知a=,b=,A=30°,则c等于 (　　)

A.2 B.

C.2 D.以上都不对

二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）

9.已知与是共轭复数（虚部均不为0），下列四个结论一定正确的是(   )

A. B. C. D.

10.三角形ABC的对边分别为，，，且满足，则下列结论正确的是(   )

A.  B.的面积为

C.  D.为锐角三角形

11.对于任意的平面向量a，b，c，下列说法错误的是(　　)

A．若a∥b且b∥c，则a∥c

B．(a＋b)·c＝a·c＋b·c

C．若a·b＝a·c，且a≠0，则b＝c

D．(a·b)·c＝a·(b·c)

12.已知向量，，设a与b的夹角为，则(   )

A.若，则  B.若，则

C.若，则a与b的夹角为60° D.若与a垂直，则

三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.若，其中a，b都是实数，i是虚数单位，则_______.

14.设向量与的夹角为，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模为.若，则____________.

15.设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，，则_____________.

16.在中，D是BC边上一点，，，且与面积之比为，则_____________.

四、解答题：（本题共4小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10分）复数，其中.

（1）若，求的模；
（2）若是实数，求实数a的值.

18.（10分）已知平面上三个向量a，b，c，其中。

（1）若，且，求c的坐标；

（2）若，且，求a与b的夹角的余弦值.

19.(10分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=2,cos B=.

(1)若b=4,求sin A的值;

(2)若△ABC的面积S△ABC=4,求b,c的值.

20.（10分）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，，.

（1）求B；

（2）若内角B的平分线交AC于点D，求的面积.

高一数学答案以及解析

1.答案：C

解析：由，得，则在复平面内对应的点位于第三象限.故选C.

2.答案：C

3.答案：C

解析：.故选C

4.答案：D

解析：由余弦定理得，

，代入原式得，

所以，所以，

解得或，则为等腰三角形或直角三角形.

5.答案：A

解析：由题意得，

，，故选A.

6.答案：B

解析：.故选B.

7.答案：A

解析：由，结合正弦定理，得，所以.由余弦定理得，即，整理得.故选A.

8.答案：C

9.答案：BC

解析：与是共轭复数，设，.，，，虚数不能比较大小，所以A不正确；，B正确；，C正确；不一定是实数，所以D不一定正确.故选BC.

10.答案：AB

解析：∵，∴，，即，∴.∵在中，，∴，∴，A正确.由余弦定理得，，得，即，解得或，又，∴，C错误，∴的面积，B正确.又，∴A为钝角，为钝角三角形，D错误.

11.答案：ACD　

【解析】a∥b且b∥c，当b为零向量时，则a与c不一定共线，即A错误；由向量数量积的分配律得(a＋b)·c＝a·c＋b·c，即B正确；因为a·b＝a·c，则a·(b－c)＝0，又a≠0，则b＝c或a⊥(b－c)，即C错误；取a，b，c为非零向量，且a与b垂直，b与c不垂直，则(a·b)·c＝0，a·(b·c)≠0，即D错误．故选ACD．

12.答案：ABD

解析：由可得，故A正确；若，则，，故B正确；当时，，故C错误；，由，解得，故D正确.

13.答案：

解析：因为，所以解得所以.故答案为.

14.答案：2

解析：由，得，

则.又，所以，即.

又，所以，故答案为2.

15.答案：2或4

解析：，，.由题知，，则由正弦定理得，，或，由余弦定理可得或4，或4.

16.答案：

解析：因为，且与面积之比为，所以AD为的平分线，，且.设，，.由余弦定理，得，解得.所以，，故.因为，且，故，.又，所以.

17.答案：（1）若，故，则，
所以的模为.
（2）

，
因为是实数，所以，解得或，
故或.

18.答案：（1）因为，所以设，因为，所以，，所以或。

（2）因为，所以，

解得，所以a与b的夹角的余弦值为

。

19.答案：解：(1)∵cosB=>0,0<B<π,

∴sinB=.

由正弦定理,得sinA=sinB=.

(2)∵S△ABC=acsinB=c=4,∴c=5.

由余弦定理,得b2=a2+c2-2accosB

=22+52-2×2×5×=17,∴b=.

 20.答案：（1）在中，由余弦定理得

，解得，.

由余弦定理得.

因为，所以.

（2）由（1）知，，，.

在中，.

由正弦定理得，所以，得.

所以的面积.