四川省自贡市大安区江姐中学2021-2022学年高二下学期期中考试数学试题（含答案）

自贡市江姐中学高20220级高二下期中数学试卷

一、单选题(共60分)

1．下列语句是命题的是（       ）

A．空集是任何集合的子集   B．指数函数是增函数吗？  C．x>15   D．2x-1<0

2．若是假命题，是真命题，则（       ）

A．是真命题 B．是假命题 C．是真命题 D．是真命题

3．已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则

A． B． C．或 D．或

4．下列关于回归分析的说法中错误的是（       ）

A．回归直线一定过样本中心

B．残差图中残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适

C．甲、乙两个模型的分别约为和，则模型乙的拟合效果更好

D．两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好

5．方程所表示的曲线为（       ）

A．射线 B．直线

C．射线或直线 D．无法确定

6．已知椭圆的离心率为，则（       ）

A． B． C． D．

7．下列命题：

①“若，则”的否命题；②“若，则的解集为R”的逆否命题；③“周长相同的圆面积相等”的逆命题；④“若为有理数，则x为无理数”的逆否命题.其中真命题的序号为（       ）

A．②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④

8．直线与抛物线的位置关系为（　　）

A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定

9．1943年19岁的曹火星在平西根据地进行抗日宣传工作，他以切身经历创作了歌曲《没有共产党就没有中国》，后毛泽东主席将歌曲改名为《没有共产党就没有新中国》.2021年是中国共产党建党100周年，仅从逻辑学角度来看，“没有共产党就没有新中国”这句歌词中体现了“有共产党”是“有新中国”的（       ）

A．充分条件 B．必要条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

10．若双曲线的实轴的一个端点是由双曲线的一个焦点和虛轴的两个端点所构成的三角形的重心，则该双曲线的离心率为（       ）

A．3 B．2 C． D．

11．已知，分别是椭圆的下顶点和左焦点，过且倾斜角为的直线分别交轴和椭圆于两点，且点的纵坐标为，若的周长为，则的面积为（       ）

A． B． C． D．

12．第24届冬季奥林匹克运动会闭幕式，于2022年2月20日在国家体育场（鸟巢）的场馆举行．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两层的钢骨架是离心率相同的椭圆．假设内层椭圆的标准方程为，外层精圆的标准方程为，若由外层椭圆上的一点向内层椭圆引切线、，且两切线斜率都存在，则两切线斜率的积等于（       ）

A． B． C． D．不确定

二、填空题(共20分)

13．已知椭圆方程为，则该椭圆的长轴长为______.

14．对具有线性相关关系的变量，测得一组数据如下：

根据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为，据此模型预测当时，的估计值为__________ .

15．若“，”为真命题，则实数a的取值范围为___________.

16．已知是抛物线的焦点，为抛物线上的动点，且点的坐标为，则的最大值是_______.

三、解答题(共70分)

17．（1）求焦点在x轴上，长轴长为6，焦距为4的椭圆标准方程；

（2）求离心率，焦点在x轴，且经过点的双曲线标准方程.

18．已知抛物线过点．

(1)求抛物线的方程，并求其准线方程；

(2)过该抛物线的焦点，作倾斜角为的直线，交抛物线于两点，求线段的长度．

19．2022年2月4日，第24届冬奥会将在中国北京和张家口举行.为了宣传北京冬奥会，某大学从全校学生中随机抽取了110名学生，对是否喜欢冬季体育运动情况进行了问卷调查，统计数据如下：

 (1)根据上表说明，能否有的把握认为，是否喜欢冬季体育运动与性别有关？

(2)现从这110名喜欢冬季体育运动的学生中，采用按性别分层抽样的方法，选取8人参加2022年北京冬奥会志愿者服务前期集训，且这8人经过集训全部成为合格的冬奥会志愿者.若从这8人中随机选取2人到场馆参加志愿者服务，求选取的2人中至少有一名女生的概率.    

20．命题p：实数x满足，命题：实数x满足

(1)若，且为真，求实数的取值范围；(2)若，求实数的取值范围．

21．已知双曲线的渐近线方程为且的焦距与圆的直径相等.

(1)求双曲线的方程；

(2)斜率为的直线与双曲线交于两点，且，求直线的方程.

22．已知P是圆C：上的动点，点，线段的垂直平分线交于点Q.

（1）求Q的轨迹的方程；

（2）点E在x轴上，过点C的直线l交于B，D两点，直线，分别交y轴于M，N两点，且，求E的坐标.

参考答案：

1．A

【解析】

【分析】

根据命题是可以判断真假的陈述句，逐一判断即可.

【详解】

对于A，空集是任何集合的子集，命题是真命题，故A正确；

对于B，指数函数是增函数吗？不是陈述句，故B不正确；

对于C、D，x>15，2x-1<0不能判断真假，故C、D不正确.

故选：A

2．C

【解析】

【分析】

根据复合命题的真假性质判断可得；

【详解】

解：是假命题，是真命题，

是假命题，是真命题，是真命题，是假命题，

错，对．

故选：．

3．B

【解析】

【分析】

由双曲线定义可直接构造方程求得结果.

【详解】

由双曲线方程知：；

根据双曲线定义知：，解得：（舍）或.

故选：B.

4．C

【解析】

【分析】

根据回归直线经过样本中心点可判断A选项；利用残差图与模型的拟合效果的关系可判断B选项；利用相关指数与模型拟合效果的关系可判断C选项；利用残差平方和与模型拟合效果之间的关系可判断D选项.

【详解】

A选项，回归直线一定过样本中心，A选项正确；

B选项，残差图中残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，B选项正确；

C选项，甲、乙两个模型的分别约为和，则模型甲的拟合效果更好，C选项错误；

D选项，两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好，D选项正确；

故选：C.

5．C

【解析】

【分析】

将方程化为或，由此可得所求曲线.

【详解】

由得：或，即或，

方程所表示的曲线为射线或直线.

故选：C.

6．B

【解析】

【分析】

利用离心率与、的关系即可获解

【详解】

，得，得，即．

故选：B

7．B

【解析】

【分析】

根据互为逆否命题的两个命题同真假判断可得；

【详解】

解：对于①，命题的逆命题为若，则，故逆命题为真，所以否命题为真；

对于②，若，则恒成立，故不等式的解集为，即原命题为真，故逆否命题为真；

对于③“面积相等的圆周长相同”为真命题；

对于④“若为有理数，则为0或无理数”，故原命题为假，逆否命题为假．

故选：B．

8．A

【解析】

【分析】

直线过定点，在抛物线内部，即可得出结论．

【详解】

直线过定点，

∵，

∴在抛物线内部，

∴直线与抛物线相交，

故选：A．

9．B

【解析】

【分析】

利用原命题与逆否命题同真假，可判断

【详解】

“没有共产党就没有新中国”的逆否命题为“有新中国就有共产党”，

故“有共产党”是“有新中国”的必要条件.

故选：B

10．A

【解析】

【分析】

由平面几何知识及重心的性质可得出 ，根据双曲线的离心率公式计算可得选项.

【详解】

解：由题意可知三角形的三个顶点为虛轴的两个端点和双曲线的一个焦点，实轴的一个端点是该三角形的重心，则，所以.

故选：A.

11．A

【解析】

【分析】

设，与椭圆方程联立可得，由可求得，可知为椭圆右焦点，由焦点三角形周长可构造方程求得的值，进而得到，由此可得到所求三角形面积.

【详解】

设，；

由得：，，

，解得：，，，

即为椭圆的右焦点，的周长为，即，

，解得：，，，

.

故选：A.

12．A

【解析】

【分析】

假设，切线方程为，联立得即可求解.

【详解】

假设，切线方程为，由，

得，

根据题意得，即，

所以.

故选：A.

13．

【解析】

【分析】

先把椭圆的方程化为标准方程得的值，即得解.

【详解】

由题得椭圆的方程为.

所以椭圆的长轴长为.

【点睛】

本题主要考查椭圆的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

14．211.5

【解析】

【分析】

线性回归直线方程过样本中心点()，求出，即可得回归直线方程，当时，求解即可．

【详解】

样本平均数，，回归直线方程为，

则回归直线方程为，

当时，．

故答案为：211.5．

15．

【解析】

【分析】

该题属于恒成立问题，分离参变量转化为最值问题，根据单调性可解.

【详解】

所以恒成立，即在恒成立，

所以且，又因为在上是增函数，

所以，所以.

故答案为：.

16．3

【解析】

【分析】

由抛物线的定义将原式转化后求解即可.

【详解】

，由抛物线的定义知等于到准线的距离，

记直线与准线的夹角为，可得，

①若斜率不存在，则原式，

②若斜率存在，当PA与抛物线相切时，最小，

设的直线方程为，联立得

，由得，即，

故，此时

故答案为：3

17．（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）根据题意即可求处的值，即可写出答案.

（2）根据题意列出的关系式，解方程即可得出答案.

【详解】

（1）设椭圆的标准方程为.

由题意知：；.

.

所以椭圆的标准方程为.

（2）设双曲线的标准方程为.则

所以双曲线的标准方程为.

18．(1)抛物线，准线：.

(2)

【解析】

【分析】

（1）将点代入抛物线方程即可求得的方程，由抛物线方程可得准线方程；

（2）设，与抛物线方程联立可得韦达定理形式，利用抛物线焦点弦长公式可直接得到结果.

(1)

过点，，解得：，

抛物线，准线方程为：

(2)

由（1）知：抛物线焦点为，

设直线，，，

由得：，，

.

19．(1)有的把握认为，是否喜欢冬季体育运动与性别有关

(2)

【解析】

【分析】

（1）由公式求出卡方，与6.635比较大小，得出结论；（2）列举法得到所有情况，利用求解古典概型的概率公式进行求解.

(1)

因为，

所以有的把握认为，是否喜欢冬季体育运动与性别有关.

(2)

根据分层抽样方法得，选取的8人中，男生有5人，女生有3人.

男生有5人分别记为女生有3人分别记为，

从8人中选取2人的情况共有，

ce，cA，cB，cC，de，dA，dB，dC，eA，eB，eC，AB，AC，BC，共28种，其中至少有一名女生的结果有，共18种，

所求概率为.

20．（1）；（2）

【解析】

【详解】

试题分析：首先根据命题的要求，解出命题p和命题q所表示的含义，第一步a=1，解出一元二次不等式得出x的范围，再解不等式组得出命题q所表示的x的范围，由于p且q为真，说明p、q均为真，求出交集；第二步，q是非p的充分条件，先求出非p所表示的集合，根据q所表示的集合是非p所表示的集合的子集，求出实数a的范围.

试题解析：

(1)由于a＝1，则x2－4ax＋3a2<0⇔x2－4x＋3<0⇔1<x<3.所以p：1<x<3，解不等式组 得2<x≤3，所以q：2<x≤3，由于p∧q为真，所以p，q均是真命题，解不等式组 得2<x<3，所以实数x的取值范围是(2,3)．

(2)：x2－4ax＋3a2≥0，a>0，x2－4ax＋3a2≥0⇔(x－a)(x－3a)≥0⇔x≤a或x≥3a，所以：x≤a或x≥3a，设A＝{x|x≤a或x≥3a}，由(1)知q：2<x≤3，设B＝{x|2<x≤3}．由于q⇒，所以，所以3≤a或3a≤2，即0<a≤或a≥3，所以实数a的取值范围是 ∪[3，＋∞)．

【点睛】

根据命题p或q，p且q，非p的真假，求参数的取值范围问题，首先要搞清命题p，q的含义，解出命题p，q所表示的参数的范围，再根据题意中p，q要求确定参数的范围；同样根据q是非p的充分条件，求参数的取值范围，要从集合的包含关系的角度去处理.

21．(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）由双曲线的渐近线方程为，得到，结合，求得的值，即可求解；

（2）设直线的方程为，联立方程组求得，结合弦长公式列出方程，求得的值，即可求解.

(1)

解：由题意，双曲线的渐近线方程为，可得，即，

又由的焦距与圆的直径相等，可得，

以为，可得，

所以双曲线的方程为.

(2)

解：设直线的方程为，

联立方程组，整理得，

可得，

由弦长公式，可得，

因为，即，

即，解得，所以，

所以直线的方程为.

22．（1）（2）

【解析】

【分析】

（1）根据中垂线性质得，即有，再根据椭圆定义可得轨迹方程；

（2）设点E的坐标为，根据可得，再设直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理、斜率公式化简求出点E的坐标.

【详解】

解：（1）因为线段的中垂线交于点Q，

，

，

∴点Q的轨迹是以A，C为焦点，长轴长为4的椭圆.

∴点Q的轨迹的方程为.

（2）因为，，

设点E的坐标为

①直线斜率为0时，显然满足题意；

②设直线方程为，与椭圆交于，，

由得，易知，

，

因为，

，

，

，

，，即点E的坐标为

【点睛】

本题考查圆锥曲线的定义及其标准方程、直线与椭圆的位置关系；考查数形结合、化归与转化、分类讨论以及函数方程等数学思想；考查逻辑推理、直观想象以及数学运算等核心素养.