北师大版 (2019)必修 第一册4.3 一元二次不等式的应用当堂达标检测题

一元二次不等式的应用

汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”，刹车距离是分析事故的一个重要因素．

在一个限速为40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m．又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.

[问题]　如何判断甲、乙两车是否超速？

知识点　利用一元二次不等式解决实际问题的步骤

1．选取合适的字母表示题中的未知数．

2．由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)．

3．求解所列出的不等式(组)．

4．结合题目的实际意义确定答案．

1．某地每年销售木材约20万立方米，每立方米价格为2 400 元，为了减少木材消耗，决定按销售收入的t%征收木材税，这样每年的木材销售量减少t万立方米．为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是(　　)

A．{t|1≤t≤3}　　　　　 B．{t|3≤t≤5}

C．{t|2≤t≤4}  D．{t|4≤t≤6}

解析：选B　设按销售收入的t%征收木材税时，税金收入为y万元，则y＝2 400×t%＝60(8t－t2)．

令y≥900，即60(8t－t2)≥900，解得3≤t≤5.

2．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y＝3 000＋20x－0.1x2(0<x<240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是________台．

解析：依题意得25x≥3 000＋20x－0.1x2，

整理得x2＋50x－30 000≥0，

解得x≥150或x≤－200(舍去)．

因为0＜x＜240，所以150≤x＜240，即最低产量是150台．

答案：150

[例1]　解下列不等式：

(1)＜0；(2)≥0；(3)＞1.

[解]　(1)原不等式可化为(x＋1)(2x－1)＜0，

∴－1＜x＜，

故原不等式的解集为.

(2)原不等式可化为≤0，

∴

∴即－＜x≤1.

故原不等式的解集为.

(3)原不等式可化为－1＞0，

∴＞0，

∴＞0，则x＜－2.

故原不等式的解集为{x|x＜－2}．

简单分式不等式的解法

(1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零；

(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．　　　　

[跟踪训练]

解下列不等式：

(1)≥0；(2)＞1.

解：(1)原不等式可化为

解得

∴x＜－或x≥，

∴原不等式的解集为.

(2)原不等式可化为＞0，

化简得＞0，即＜0，

∴(2x＋1)(x＋3)＜0，解得－3＜x＜－.

∴原不等式的解集为.

[例2]　若不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立，则k的取值范围为(　　)

A．(－3，0]　　　　　　 B．[－3，0)

C．[－3，0]  D．(－3，0)

[解析]　(1)k＝0时，－＜0不等式恒成立．

(2)k≠0时，不等式恒成立应满足

即－3＜k＜0.

由(1)(2)知－3＜k≤0.

[答案]　A

[母题探究]

1．(变条件)若把本例条件变为“不等式2kx2＋kx＋＞0对一切实数x都成立”，试求k的取值范围．

解：当k＝0时，不等式为＞0，显然成立；

当k≠0时，则有解得0＜k＜3.所以k的取值范围为[0，3)．

2．(变条件)本例条件变为“对∀x∈[－1，2]，x2－2x＋k＜0恒成立”．求k的取值范围．

解：由已知得只需函数y＝x2－2x＋k在[－1，2]上的图象恒在x轴下方，如图，

所以

解得k＜－3.

所以k的取值范围为(－∞，－3)．

一元二次不等式在R上的恒成立问题

(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，对任意实数x∈R恒成立的条件是

(2)一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，对任意实数x∈R恒成立的条件是

(3)一元二次不等式ax2＋bx＋c<0，对任意实数x∈R恒成立的条件是

(4)一元二次不等式ax2＋bx＋c≤0，对任意实数x∈R恒成立的条件是

[提醒]　当不等式ax2＋bx＋c>0未说明为一元二次不等式时，对任意实数x∈R恒成立时满足的条件为或　　　　

[跟踪训练]

1．若不等式ax2＋2ax－4＜2x2＋4x对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是(　　)

A．{a|－2＜a≤2}  B．{a|－2＜a＜2}

C．{a|a≠2}  D．{a|a≤2}

解析：选A　不等式ax2＋2ax－4＜2x2＋4x，可化为(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0.

当a－2＝0时，即a＝2时，不等式恒成立，符合题意；

当a－2≠0时，要使不等式恒成立，需

解得－2＜a＜2.

综上所述，－2＜a≤2.故选A.

2．已知不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，则实数a的取值范围为(　　)

A．{a|－1≤a≤4}  B．{a|－1＜a＜4}

C．{a|a≥4或a≤－1}  D．{a|－4≤a≤1}

解析：选A　由题意知，原不等式可化为－(x－2)2＋4≥a2－3a在R上有解，

∴a2－3a≤4，即(a－4)(a＋1)≤0，

∴－1≤a≤4，故选A.

[例3]　(链接教科书第38页例5、例6)某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为 0.6x.已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．

(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；

(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？

[解]　(1)由题意，得y＝[1.2×(1＋0.75x)－1×(1＋x)]×1 000×(1＋0.6x)(0<x<1)，整理得y＝－60x2＋20x＋200(0<x<1)．

(2)要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当

即

解不等式组，得0<x<，

所以为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x的取值范围为.

解不等式应用题的步骤

[跟踪训练]

北京、张家口2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．

(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？

(2)为了抓住冬奥会契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入(x2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？此时该商品每件定价多少元？

解：(1)设每件定价为t元，依题意得t≥25×8，

整理得t2－65t＋1 000≤0，解得25≤t≤40.

所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．

(2)依题意得当x＞25时，不等式ax≥25×8＋50＋(x2－600)＋有解，

等价于当x＞25时，a≥＋＋有解．

由于＋≥2 ＝10，当且仅当＝，即x＝30时等号成立，所以a≥10.2.

故当该商品改革后的销售量a至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．

1．不等式≥0的解集为(　　)

A．{x|0≤x≤2}  B．{x|0＜x≤2}

C．{x|x＜0或x≥2}  D．{x|x＜0或x＞2}

解析：选B　由原式得x(x－2)≤0且x≠0，解得0＜x≤2，故选B.

2．已知不等式x2＋ax＋4＜0的解集为空集，则实数a的取值范围是(　　)

A．[－4，4]  B．(－4，4)

C．(－∞，－4]∪[4，＋∞)  D．(－∞，－4)∪(4，＋∞)

解析：选A　欲使不等式x2＋ax＋4＜0的解集为空集，则Δ＝a2－16≤0，∴－4≤a≤4，即实数a的取值范围是[－4，4]．

3．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入．则这批台灯的销售单价x(单位：元)的取值范围是(　　)

A．{x|10≤x＜16}  B．{x|12≤x＜18}

C．{x|15＜x＜20}  D．{x|10≤x＜20}

解析：选C　设这批台灯的销售单价为x元，

由题意得，[30－(x－15)×2]x＞400，

即x2－30x＋200＜0，∴10＜x＜20，

又∵x＞15，∴15＜x＜20.故选C.

4．若对x∈[－3，－1]上恒有x2－ax－3＜0成立，则a的取值范围是________．

解析：要使x2－ax－3＜0在[－3，－1]上恒成立，

则必使函数y＝x2－ax－3在[－3，－1]上的图象在x轴的下方，由于函数的图象开口向上，此时a应满足：

即解得a＜－2.

故当a∈(－∞，－2)时，有x2－ax－3＜0在x∈[－3，－1]时恒成立．

答案：(－∞，－2)