2020-2021学年2.1 实际问题的函数刻画练习

实际问题的函数刻画

爱因斯坦说过，复利的威力比原子弹还可怕．若每月坚持投资100元，40年之后将成为百万富翁．也就是说随着变量的增长，指数函数值的增长是非常迅速的，可以根据这一特点来进行资金的管理．例如，按复利计算利率的一种储蓄，本金为a元，每期的利率为r，设本利和为y，存期为x，那么要知道存一定期限之后所得的本利和，就要写出本利和y随着存期x变化的函数式．假设存入的本金为1 000元，每期的利率为2.25%.

[问题]　五期后的本利和是多少？

知识点　实际问题的函数刻画

1．在现实世界中，事物之间存在着广泛的联系，当面对的实际问题中存在几个变量，并且它们之间具有依赖关系时，我们往往用函数对其进行刻画．函数刻画的方法可以使用图象，但常见的还是使用解析式．

2．函数模型是应用最广泛的数学模型之一．许多实际问题一旦被认定是函数关系，就可以通过研究函数的性质，使问题得到解决．

通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数解析式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．在自然科学和社会科学中，很多规律、定律都是先通过实验，得到数据，再通过数据拟合得到的．

1．某地为了改善生态环境，政府决定绿化荒山，计划第一年先植树0.5万公顷，以后每年比上年增加1万公顷，每年植树的公顷数y(单位：万公顷)是时间x(单位：年)的函数，这个函数的图象是下图中的(　　)

解析：选A　由题意知该一次函数的图象必过(1，0.5)和(2，1.5)两点，故排除B、C、D.

2．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下：

若某户居民本月交纳的水费为54元，则此户居民本月用水量为(　　)

A．20 m3　　　　　　　 B．18 m3

C．15 m3  D．14 m3

解析：选C　设用水量为x m3，水费为y元，

(1)当0≤x≤12时，y＝3x，

令3x＝54可得x＝18(舍)；

(2)当12<x≤18时，y＝12×3＋6(x－12)＝6x－36，

令6x－36＝54可得x＝15.符合题意，故选C.

3．某商品进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个；若销售单价每涨1元，其销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个________元．

解析：设涨价x元，销售的利润为y元，则y＝(50＋x－45)(50－2x)＝－2x2＋40x＋250＝－2(x－10)2＋450，所以当x＝10，即销售价为60元时，y取得最大值．

答案：60

[例1]　(链接教科书第134页例1)车管站在某个星期日保管的自行车和电动车共有3 500辆次，其中电动车保管费是每辆一次0.5元，自行车保管费是每辆一次0.3元．

(1)若设自行车停放的辆次为x，总的保管费收入为y元，试写出y关于x的函数关系式；

(2)若估计前来停放的3 500辆次自行车和电动车中，电动车的辆次数不小于25%，但不大于40%，试求该车管站这个星期日收入保管费总数的范围．

[解]　(1)由题意得y＝0.3x＋0.5(3 500－x)＝－0.2x＋1 750(x∈N＋且0≤x≤3 500)．

(2)若电动车的辆次数不小于25%，但不大于40%，则

3 500×(1－40%)≤x≤3 500×(1－25%)，

即2 100≤x≤2 625.

根据函数y＝－0.2x＋1 750(2 100≤x≤2 625)的图象(图略)，可得函数y＝－0.2x＋1 750(2 100≤x≤2 625)的值域是[1 225，1 330]，即收入在1 225元至1 330元之间．

1．一次函数模型的实际应用

应用一次函数模型时，应本着“问什么，设什么，列什么”这一原则．

2．一次函数的最值求解

一次函数求最值，常转化为求解不等式ax＋b≥0(或ax＋b≤0)，解答时，注意系数a的正负，也可以结合函数图象或其单调性来求最值．　　　　

[跟踪训练]

某列火车从北京西站开往石家庄，全程277 km.火车出发10 min开出13 km，之后以120 km/h的速度匀速行驶．试写出火车行驶的总路程s与匀速行驶的时间t之间的函数关系式，并求离开北京2 h 时火车行驶的路程．

解：因为火车匀速行驶的总时间为(277－13)÷120＝(h)，所以0≤t≤.

因为火车匀速行驶t h所行驶的路程为120t km，所以火车行驶的总路程s与匀速行驶的时间t之间的函数关系式为s＝13＋120t.

离开北京2 h时火车匀速行驶的时间为2－＝(h)，此时火车行驶的路程s＝13＋120×＝233(km).

[例2]　(链接教科书第134页例2)某国2017年至2020年国内生产总值(单位：万亿元)如表所示，

(1)画出函数图象，猜想它们之间的函数关系，近似地写出一个函数关系式；

(2)利用得出的关系式求生产总值，与表中实际生产总值比较．

[解]　(1)根据表中数据画出函数图象，如图所示．

从函数的图形可以看出，画出的点近似地落在一条直线上，设所求的函数为y＝kx＋b.

把直线通过的两点(0，8.206 7)和(3，10.239 8)代入上式，解方程组，可得k＝0.677 7，b＝8.206 7.所以它的一个函数关系式为y＝0.677 7x＋8.206 7.

(2)由(1)中得到的关系式为f(x)＝0.677 7x＋8.206 7，计算出2018年和2019年的国内生产总值分别为

f(1)＝0.677 7×1＋8.206 7＝8.884 4(万亿元)，

f(2)＝0.677 7×2＋8.206 7＝9.562 1(万亿元)．

与实际的生产总值相比，误差不超过0.1万亿元．

利用已知图表中的数据根据条件画出图象，依据图象构建函数模型是解决此类问题的关键．　　　　

[跟踪训练]

某个体经营者把前六个月试销A，B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表：

该经营者准备下个月投入12万元经营这两种商品，但不知投入A，B两种商品各多少万元才最合算．请你帮助制订一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大纯利润，并求出最大纯利润．(精确到0.1万元)

解：以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，画出散点图，如图所示．

据此，可考虑用函数y＝－a(x－4)2＋2(a>0)　①表示投资A种商品的金额与其纯利润的关系，用y＝bx(b>0)　②表示投资B种商品的金额与其纯利润的关系．

把x＝1，y＝0.65代入①式，得0.65＝－a(1－4)2＋2，解得a＝0.15，经检验，解析式满足题意，故所获纯利润关于月投资A种商品的金额的函数解析式可近似地用y＝－0.15(x－4)2＋2来表示．

把x＝4，y＝1代入②式，解得b＝0.25，经检验，解析式满足题意，故所获纯利润关于月投资B种商品的金额的函数解析式可近似地用y＝0.25x来表示．

设下个月投入A，B两种商品的资金分别是xA万元，xB万元，纯利润为W万元，

得

即W＝－0.15＋0.15×＋2.6.

故当xA＝≈3.2时，W取得最大值，约为4.1，

此时，xB＝8.8.

即下个月投入A，B两种商品的资金分别约为3.2万元，8.8万元时，可获得最大纯利润，约为4.1万元.

[例3]　(链接教科书第136页例4)灌满水的热水瓶放在室内，如果瓶内水原来的温度是θ1 ℃，室内气温是θ0 ℃，t min后，水的温度可由公式θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt求得，其中，k是一个与热水瓶类型有关的正的常量．现有一个某种类型的热水瓶，测得瓶内水温为100 ℃，1 h后又测得瓶内水温变为98 ℃.已知某种茶叶必须用不低于85 ℃的水冲泡，现用这个热水瓶在早上六点灌满100 ℃的水，问：能否在这一天的中午十二点用瓶内的水来冲泡这种茶叶？(假定该地白天室温为20 ℃)

[解]　根据题意，有98＝20＋(100－20)e－60k，

整理得e－60k＝，

利用计算器，算得k≈0.000 42.

故θ＝20＋80e－0.000 42t.

从早上六点到这一天的中午十二点共经过6 h，即360 min.

当t＝360时，θ＝20＋80e－0.000 42×360≈89.

因为89 ℃>85 ℃，

所以能在这一天的中午十二点用瓶内的水来冲泡这种茶叶．

某些实际问题提供的变量关系是确定的，即设自变量为x，因变量为y，它们已建立了函数模型，我们可以利用该函数模型得出实际问题的答案．具体解题步骤为：

第一步，审题，引进数学符号，建立数学模型，了解变量的含义，若模型中含有待定系数，则需要进一步用待定系数法或其他方法确定；

第二步，求解数学模型，利用数学知识，如函数的单调性、最值等，对函数模型进行解答；

第三步，转译成实际问题的解．　　　　

[跟踪训练]

某辆汽车以x km/h的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全，要求60≤x≤120)时，每小时的油耗(所需要的汽油量)为L，其中k为常数．若汽车以120 km/h的速度行驶时，每小时的油耗为11.5 L．欲使每小时的油耗不超过9 L，则x的取值范围为________．

解析：设每小时的油耗(所需要的汽油量)为y L，由题意可得y＝，当x＝120时，y＝11.5，∴11.5＝，解得k＝100，∴y＝.要使每小时的油耗不超过9 L，则≤9，即x2－145x＋4 500≤0，解得45≤x≤100，又60≤x≤120，可得60≤x≤100，故当每小时的油耗不超过9 L时，x的取值范围为[60，100]．

答案：[60，100]

1．某数学小组进行社会实践调查，了解到雪花桶装水经营部在为定价发愁．进一步调研了解到如下信息：该经营部每天的房租，人工工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表：

根据以上信息，你认为该经营部的定价为多少才能获得最大利润？(　　)

A．每桶8.5元　　　　　 B．每桶9.5元

C．每桶10.5元  D．每桶11.5元

解析：选D　根据表格可知销售单价每增加1元，日均销售就减少40桶．

设每桶水的价格为(6＋x)元，公司日利润为y元，

则y＝(6＋x－5)(480－40x)－200＝－40x2＋440x＋280(0≤x≤12)，

∴当x＝5.5时函数y有最大值，

因此，每桶水的价格为11.5元，公司日利润最大．

2．据调查，某存车处(只存放自行车和电动车)在某天的存车量为400辆次，其中电动车存车费是每辆一次2元，自行车存车费是每辆一次1元．若该天自行车存车量为x辆次，存车总收入为y元，则y关于x的函数关系式是(　　)

A．y＝x＋400(0≤x≤400)

B．y＝x＋800(0≤x≤400)

C．y＝－x＋400(0≤x≤400)

D．y＝－x＋800(0≤x≤400)

解析：选D　因为自行车存车量为x辆次，所以电动车存车量为(400－x)辆次，所以y＝x＋2(400－x)＝－x＋800(0≤x≤400)，故选D.

3．通常表明地震能量大小的尺度是里氏震级，其计算公式是M＝lg A－lg A0，其中，A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅，M为震级，则7级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．

解析：当M＝7时，∵7＝lg A－lg A0＝lg ，

∴＝107，∴A＝A0107，

当M＝5时，∵5＝lg A－lg A0＝lg ，∴＝105，

∴A＝A0105，

从而可得7级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的100倍．

答案：100