高中数学北师大版 (2019)必修 第一册2.2 用函数模型解决实际问题习题

用函数模型解决实际问题

地震是一种常见的自然灾害，它的强度一般用里氏震级来表示．里氏震级是一种以发生地震时产生的水平位移作为判断标准的地震震级标度，共分9个等级，地震越大，震级的数字也越大．震级每增加一级，通过地震释放的能量约增加32倍．里氏震级的计算公式是ML＝lg，其中A0是距震中100 km处接收到的0级地震的地震波的最大振幅，单位是μm；Amax是指我们关注的这个地震在距震中100 km处接收到的地震波的最大振幅，单位是μm.

[问题]　如果知道了相关数据，那么如何计算震级呢？

知识点　几类常见的函数模型

对于建立的各种函数模型，要能够对其进行识别，充分利用数学方法加以解决，并能积累一定数量的典型的函数模型，这是顺利解决实际问题的重要资本．

运用已知函数模型刻画实际问题时，由于实际问题的条件与得出已知模型的条件会有所不同，因此往往需要对模型进行修正．

1．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y＝

录用人数，y代表面试人数．若应聘的面试人数为60，则该公司拟录用的人数为(　　)

A．15　　　　　　　 B．40

C．25  D．130

解析：选C　令y＝60，若4x＝60，则x＝15>10，不合题意；若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意；若1.5x＝60，则x＝40<100，不合题意．故拟录用人数为25.

2．某工厂产生的废气经过过滤后排放，在过滤过程中，污染物的数量p(单位：毫克/升)不断减少，已知p与时间t(单位：小时)满足p(t)＝p0×2－，其中p0为t＝0时的污染物数量．又测得当t∈[0，30]时，污染物数量的变化率是－10ln 2，则p(60)＝(　　)

A．150毫克/升  B．300毫克/升

C．150ln 2毫克/升  D．300ln 2毫克/升

解析：选C　因为当t∈[0，30]时，污染物数量的变化率是－10ln 2，所以－10ln 2＝，所以p0＝600ln 2，因为p(t)＝p0×2－，所以p(60)＝600ln 2×2－2＝150ln 2(毫克/升)．

3．某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，设这种动物第1年有100只，则第7年它们繁殖到________只．

答案：300

[例1]　(链接教科书第137页例5)某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y(单位：μg)与时间t(单位：h)之间近似满足如图所示的曲线．

(1)写出服药后每毫升血液中的含药量y与时间t之间的函数关系式y＝f(t)；

(2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25 μg时，对治疗疾病有效，求服药一次治疗疾病的有效时间．

[解]　(1)当0≤t<1时，y＝kt，由点M(1，4)在直线上，得4＝k，故y＝4t；

当t≥1时，y＝，由点M(1，4)在曲线上，得4＝，解得a＝3，即y＝.

故y＝f(t)＝

(2)由题意知f(t)≥0.25，

则或解得≤t≤5.

所以服药一次治疗疾病的有效时间为5－＝(h)．

1．现实生活中有很多问题都是用分段函数模型表示的，如出租车计费、个人所得税等，分段函数是刻画现实问题的重要模型．

2．分段函数的实质是自变量在每一段区间上变化所遵循的规律不同，可以先将其看成几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的取值范围，特别是端点值．　　　　

[跟踪训练]

根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：min)为f(x)＝(A，c为常数)．已知该工人组装第4件产品用时30 min，组装第A件产品用时15 min，那么c和A的值分别是(　　)

A．75，25　　　　　　 B．75，16

C．60，25  D．60，16

解析：选D　由题意知，组装第A件产品所需时间为＝15，故组装第4件产品所需时间为＝30，解得c＝60.将c＝60代入＝15，得A＝16.

[例2]　大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数v＝log3，单位是 m/s，θ是表示鱼的耗氧量的单位数．

(1)当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是多少？

(2)某条鲑鱼想把游速提高1 m/s，那么它的耗氧量的单位数是原来的多少倍？

[解]　(1)由v＝log3可知，

当θ＝900时，v＝log3＝log39＝1(m/s)．

所以当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是1 m/s.

(2)由v2－v1＝1，

即log3－log3＝1，得＝9.

所以耗氧量的单位数为原来的9倍．

[母题探究]

(变设问)若本例条件不变：(1)当一条鲑鱼的耗氧量是8 100 个单位时，它的游速是多少？

(2)求一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数．

解：(1)将θ＝8 100代入函数解析式，

得v＝log381＝×4＝2(m/s)，所以一条鲑鱼的耗氧量是8 100个单位时，它的游速是2 m/s.

(2)令v＝0，得log3＝0，即＝1，则θ＝100，所以一条鲑鱼静止时的耗氧量为100个单位．

1．指数函数模型：能用指数函数表示的函数模型叫作指数函数模型．指数函数增长的特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快(底数a>1)，常形象地称之为指数爆炸．

2．对数函数模型：能用对数函数表示的函数模型叫对数函数模型．对数增长的特点是随着自变量的增大(底数a>1)，函数值增大的速度越来越慢．

[提醒]　(1)增长率与减少率问题都应归结为指数函数模型；

(2)平均增长(或减少)率问题的表示：y＝a(1＋p%)x(或y＝a(1－p%)x)．　　　　

[跟踪训练]

如图所示，桶①中的水按一定规律流入桶②中，已知开始时桶①中有a升水，桶②是空的，t分钟后桶①中剩余的水量符合指数衰减曲线y1＝ae－nt(其中n是常数，e是自然对数的底数)．假设在5分钟时，桶①和桶②中的水恰好相等．求：

(1)桶②中的水y2(升)与时间t(分钟)的函数关系式；

(2)在多少分钟时，桶①中的水是升．

解：(1)∵桶②中的水是从桶①中流出的水，而桶①开始时的水是a升，桶①中剩余的水满足y1＝ae－nt，

∴桶②中的水y2与t的函数关系式是y2＝a－ae－nt.

(2)∵t＝5时，y1＝y2，∴ae－5n＝a－ae－5n，

解得2e－5n＝1，n＝ln 2.∴y1＝ae－t.

当y1＝时，有＝ae－t，解得t＝15.

∴在15分钟时，桶①中的水是升.

[例3]　某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商店一种商品销售情况的调查发现：该商品在过去的一个月内(以30天计)的日销售单价P(x)(单位：元)与时间x(单位：天，1≤x≤30，x∈N＋)的函数关系满足P(x)＝1＋(k为正常数)．该商品的日销售量Q(x)(单位：个)与时间x的部分数据如下表所示：

已知第10天该商品的日销售收入为121元．

(1)求k的值；

(2)给出以下四种函数模型：①Q(x)＝ax＋b；②Q(x)＝a|x－25|＋b；③Q(x)＝a·bx；④Q(x)＝a·logbx.

请你根据表中的数据，从中选择最合适的一种函数模型来描述该商品的日销售量Q(x)与时间x的关系，并求出该函数的解析式；

(3)求该商品的日销售收入f(x)(单位：元)的最小值．

[解]　(1)依题意知第10天该商品的日销售收入为P(10)·Q(10)＝×110＝121，解得k＝1.

(2)由题中的数据，知随着时间的变化，该商品的日销售量有增有减，而①③④均为单调函数，故最合适的函数模型为②Q(x)＝a|x－25|＋b.

从表中数据可得

即解得

故Q(x)＝125－|x－25|(1≤x≤30，x∈N＋)．

(3)由(2)知Q(x)＝125－|x－25|＝

所以f(x)＝P(x)· Q(x)

＝

当1≤x<25时，y＝x＋在区间[1，10]上单调递减，在区间[10，25)上单调递增，

所以当x＝10时，f(x)取得最小值，且f(x)min＝121；

当25≤x≤30时，y＝－x单调递减，

所以当x＝30时，f(x)取得最小值，且f(x)min＝124.

综上所述，当x＝10时，f(x)取得最小值，且f(x)min＝121.

故该商品的日销售收入f(x)的最小值为121元．

建立拟合函数与预测的基本步骤

[跟踪训练]

某纪念章从2020年10月1日起开始上市，通过市场调查，得到该纪念章每1枚的市场价(单位：元)与上市时间(单位：天)的数据如下：

(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系并说明理由：①y＝ax＋b；②y＝ax2＋bx＋c；③y＝alogbx.

(2)利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格．

解：(1)∵随着时间x的增加，y的值先减后增，

而所给的三个函数中y＝ax＋b和y＝alogbx显然都是单调函数，不满足题意，

∴选取y＝ax2＋bx＋c.

(2)把点(4，90)，(10，51)，(36，90)代入y＝ax2＋bx＋c中，

得

解得a＝，b＝－10，c＝126.

∴y＝x2－10x＋126＝(x－20)2＋26，

∴当x＝20时，y有最小值ymin＝26.

故当纪念章上市20天时，该纪念章的市场价最低，最低市场价为26元．

1．某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，下表是某公司前5天监测到的数据，则下列函数模型中能较好地反映在第x天被感染的计算机数量y与x之间的关系的是(　　)

A．y＝10x　　　　　　 B．y＝5x2－5x＋10

C．y＝5×2x  D．y＝10log2x＋10

解析：选C　考虑第5天，经计算A选项得50，B选项得110，D选项小于40，均与实际被感染数量差距很大，而C选项利用函数模型y＝5×2x得到的前5天的数据与实际的数据差距较小．故选C.

2．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是T1(单位：℃)，空气的温度是T0(单位：℃)，经过t分钟后物体的温度T(单位：℃)可由公式T＝T0＋(T1－T0)·e－0.25t求得．把温度是90 ℃的物体放在10 ℃的空气中冷却t分种后，物体的温度是50 ℃，那么t的值约等于(参考数据：ln 3≈1.099，ln 2≈0.693)(　　)

A．1.78  B．2.77

C．2.89  D．4.40

解析：选B　由题意可知50＝10＋(90－10)e－0.25t，整理得e－0.25t＝，即－0.25t＝ln ＝－ln 2≈－0.693，解得t≈2.77.

3．我国北方某地区长期受到沙尘暴的困扰．某地政府积极行动，计划实现本地区的荒漠化土地面积每年平均比上年减少10%.已知2019年该地区原有荒漠化土地面积为7万平方公里，则2025年该地区的荒漠化土地面积(万平方公里)为(　　)

A．7×0.94  B．7×0.95

C．7×0.96  D．7×0.97

解析：选C　设从2019年后的第n年的沙漠化土地面积为y，则y＝7×(1－10%)n，故2025年的沙漠化土地面积为7×0.96.

4．(多选)某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1%，而这种溶液最初的杂质含量为2%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，则使产品达到市场要求的过滤次数可以为(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)(　　)

A．6  B．9

C．8  D．7

解析：选BC　设经过n次过滤，产品达到市场要求，则×≤，即≤，由nlg ≤－lg 20，即n(lg 2－lg 3)≤－(1＋lg 2)，得n≥≈7.4.