高中北师大版 (2019)2.1 古典概型课时训练

古典概型的概率计算公式

齐王与田忌赛马，田忌的上马优于齐王的中马，劣于齐王的上马，田忌的中马优于齐王的下马，劣于齐王的中马，田忌的下马劣于齐王的下马．现各出上、中、下三匹马分别进行一场比赛，胜两场以上(含两场)即为获胜．

[问题]　(1)若齐王知道田忌马的出场顺序，他获胜的概率是多大？

(2)如田忌知道齐王马的出场顺序，他能获胜吗？若双方均不知对方马的出场顺序，你能探求田忌获胜的概率吗？

知识点　古典概型

1．古典概型的含义

一般地，若试验E具有如下特征：

(1)有限性：试验E的样本空间Ω的样本点总数有限，即样本空间Ω为有限样本空间；

(2)等可能性：每次试验中，样本空间Ω的各个样本点出现的可能性相等．

则称这样的试验模型为古典概率模型，简称古典概型．

2．古典概型的概率计算公式

对古典概型来说，如果样本空间Ω包含的样本点总数为n，随机事件A包含的样本点个数为m，那么事件A发生的概率为P(A)＝＝．

 若一次试验的结果所包含的样本点的个数是有限个，则该试验是古典概型吗？

提示：不是，还必须满足每个样本点出现的可能性相等．

1．下列试验中，是古典概型的有(　　)

A．某人射击中靶或不中靶

B．在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都为整数的所有点中任取一个

C．四位同学用抽签法选一人参加会议

D．运动员投篮，观察是否投中

解析：选C　A中，某人射击中靶与不中靶的概率不相等，所以A不是古典概型；B中，横坐标和纵坐标都为整数的所有点有无数个，所以B不是古典概型；C中，每个人被选中的可能性相等，且共有4种结果，符合古典概型的特征，所以C是古典概型；D中，运动员投篮投中与没有投中的概率不相等，所以D不是古典概型．

2．甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为________．

解析：试验所包含的样本点有(红，红)，(红，白)，(红，蓝)，(白，红)，(白，白)，(白，蓝)，(蓝，红)，(蓝，白)，(蓝，蓝)，共9种，其中颜色相同的有(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共3种，故所求的概率为P＝＝.

答案：

[例1]　(链接教科书第195页思考交流)(多选)下列概率模型不属于古典概型的是(　　)

A．某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环

B．某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲

C．一只使用中的灯泡的寿命长短

D．中秋节前夕，某市工商部门调查辖区内某品牌的月饼质量，给该品牌月饼评“优”或“差”

[解析]　A不属于，原因是命中0环，1环，…，10环的概率不一定相同，不满足等可能性；B属于，原因是满足有限性，且任选1人与学生的性别无关，是等可能的；C不属于，原因是灯泡的寿命是任何一个非负实数，有无限多种可能，不满足有限性；D不属于，原因是该品牌月饼被评为“优”或“差”的概率不一定相同，不满足等可能性．

[答案]　ACD

判断一个试验是古典概型的依据

判断随机试验是否为古典概型，关键是抓住古典概型的两个特征——有限性和等可能性，二者缺一不可．　　　　

[跟踪训练]

下列试验是古典概型的为________．(填序号)

①从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小；

②同时掷两颗骰子，点数和为6的概率；

③近三天中有一天降雨的概率；

④10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率．

解析：①②④是古典概型，因为符合古典概型的定义和特点．③不是古典概型，因为不符合等可能性，降雨受多方面因素影响．

答案：①②④

[例2]　(链接教科书第195页例1)同时掷两个骰子，计算：

(1)一共有多少种不同的结果？

(2)其中向上的点数之和是5的结果有多少种？

(3)向上的点数之和是5的概率是多少？

[解]　(1)把两个骰子标上记号1，2以便区分，可能结果如表所示：

所以，同时掷两个骰子的结果共有36种．

(2)由表可知，向上的点数之和是5的结果有(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，共4种．

(3)记事件A表示“向上的点数之和为5”，由(2)可知，事件A包含的样本点个数为4.于是由古典概型的概率计算公式可得P(A)＝＝.

[母题探究]

1．(变设问)本例条件不变，求向上的点数之和不大于7的概率？

解：记“点数之和不大于7”这一事件为C，则C＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(6，1)}，样本点共有21个．∴P(C)＝＝.

2．(变设问)本例条件不变，求向上的点数之和等于3的倍数的概率？

解：记“点数之和等于3的倍数”为事件D，即点数和为3，6，9，12的情形，则D＝{(1，2)，(1，5)，(2，1)，(2，4)，(3，3)，(3，6)，(4，2)，(4，5)，(5，1)，(5，4)，(6，3)，(6，6)}，样本点共有12个．

∴P(D)＝＝.

求解古典概型的概率“四步”法

[跟踪训练]

1．甲、乙两人有三个不同的学习小组A，B，C可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组(两人参加各小组的可能性相同)，则两人参加同一个学习小组的概率为(　　)

A．　　　　　　　　 B．

C．    D．

解析：选A　甲、乙两人参加学习小组，若以(A，B)表示甲参加学习小组A，乙参加学习小组B，则样本空间Ω＝{(A，A)，(A，B)，(A，C)，(B，A)，(B，B)，(B，C)，(C，A)，(C，B)，(C，C)}，其中两人参加同一个学习小组共包含3个样本点，所以所求概率为.

2．某市举行职工技能比赛活动，甲厂派出2男1女共3名职工，乙厂派出2男2女共4名职工，若从甲厂和乙厂报名的职工中各任选1名进行比赛，求选出的2名职工性别相同的概率．

解：记甲厂派出的2名男职工为A1，A2，女职工为a；乙厂派出的2名男职工为B1，B2，2名女职工为b1，b2.从甲厂和乙厂报名的职工中各任选1名，不同的结果有(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，b1)，(A1，b2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，b1)，(A2，b2)，(a，B1)，(a，B2)，(a，b1)，(a，b2)，共12种．其中选出的2名职工性别相同的结果有(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(a，b1)，(a，b2)，共6种．

故选出的2名职工性别相同的概率为＝.

[例3]　(链接教科书第196页练习1题)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：

①若xy≤3，则奖励玩具一个；

②若xy≥8，则奖励水杯一个；

③其余情况奖励饮料一瓶．

假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动．

(1)求小亮获得玩具的概率；

(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．

[解]　用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则样本空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N，1≤x≤4，1≤y≤4}一一对应．

因为S中元素的个数是16个，

所以样本点总数n＝16.

(1)记“xy≤3”为事件A，则事件A包含的样本点个数共5个，

即A＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(3，1)}．

所以P(A)＝，即小亮获得玩具的概率为.

(2)记“xy≥8”为事件B，“3＜xy＜8”为事件C.

则事件B包含的样本点共6个，即B＝{(2，4)，(3，3)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}．

所以P(B)＝＝.

事件C包含的样本点个数共5个，

即C＝{(1，4)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(4，1)}．

所以P(C)＝.因为＞，

所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．

解古典概型问题时，要牢牢抓住它的两个特点和其计算公式．但是这类问题的解法多样，技巧性强，在解决此类题时需要注意以下两个问题：

(1)试验必须具有古典概型的两大特征——有限性和等可能性；

(2)计算样本点的数目时，须做到不重不漏，常借助坐标系、表格及树状图等列出所有样本点．　　　　

[跟踪训练]

甲、乙两人参加知识竞赛活动，组委会给他们准备了难、中、易三档题，其中容易题2道 ，分值各10分，中档题1道，分值20分，难题1道，分值40分，两人需分别从这4道题中随机抽取1道题作答(甲、乙两人所选题目可以相同).

(1)求甲、乙所选题目分值相同的概率；

(2)求甲所选题目分值大于乙所选题目分值的概率．

解：(1)设容易题用A1，A2表示，中档题用B表示，难题用C表示．

甲、乙两人分别从中随机抽取1道题作答，样本点共16个，为(A1，A1)，(A1，A2)，(A1，B)，(A1，C)，(A2，A1)，(A2，A2)，(A2，B)，(A2，C)，(B，A1)，(B，A2)，(B，B)，(B，C)，(C，A1)，(C，A2)，(C，B)，(C，C).

甲、乙所选题目分值相同所包含的样本点有(A1，A1)，(A1，A2)，(A2，A1)，(A2，A2)，(B，B)，(C，C)，共6个，

所以甲、乙所选题目分值相同的概率为＝.

(2)甲所选题目分值大于乙所选题目分值所包含的样本点有(B，A1)，(B，A2)，(C，A1)，(C，A2)，(C，B)，共5个，

所以甲所选题目分值大于乙所选题目分值的概率为.

1．下列试验中，是古典概型的为(　　)

A．三月份某一天是否下雨

B．从规格直径为250 mm±0.6 mm的一批合格产品中任意抽一根，测量其直径d

C．抛一枚硬币，观察其出现正面或反面

D．春天移植的树苗能否成活

解析：选C　古典概型有两个条件：有限性、等可能性．故选C.

2．在某微信群的“微信抢红包”活动中，若所发红包的总金额为8元，被随机分配为1.72元，1.83元，2.28元，1.55元，0.62元的5个红包，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙抢到的金额之和不低于3元的概率是(　　)

A．    B．

C．    D．

解析：选D　由题意，知甲、乙抢到的金额包含的样本点的总数为20，分别为(1.72，1.83)，(1.72，2.28)，…，(1.55，0.62)，(1.83，1.72)，(2.28，1.72)，…，(0.62，1.55).甲、乙抢到的金额之和不低于3元包含的样本点有12个，分别为(1.72，1.83)，(1.72，2.28)，(1.72，1.55)，(1.83，2.28)，(1.83，1.55)，(2.28，1.55)，(1.83，1.72)，(2.28，1.72)，(1.55，1.72)，(2.28，1.83)，(1.55，1.83)，(1.55，2.28).所以甲、乙抢到的金额之和不低于3元的概率为＝.故选D.

3．从集合{a，b，c，d，e}的所有子集中任取一个，则这个集合恰是集合{a，b，c}的子集的概率是(　　)

A．    B．

C．    D．

解析：选C　集合{a，b，c，d，e}有25＝32个子集，集合{a，b，c}有23＝8个子集，所以所求概率P＝＝.

4．四条线段的长度分别是1，3，5，7，从这四条线段中任取三条，则所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是(　　)

A．    B．

C．    D．

解析：选A　从四条长度各异的线段中任取一条，每条被取出的可能性均相等，所以该问题属于古典概型．又因为所有样本点包括(1，3，5)，(1，3，7)，(1，5，7)，(3，5，7)四种，而能构成三角形的样本点只有(3，5，7)一种，所以所取出的三条线段能构成一个三角形的概率P＝.

5．从三男三女共6名学生中任选2名(每名同学被选中的概率均相等)，则2名都是女同学的概率等于________．

解析：用A，B，C表示三名男同学，用a，b，c表示三名女同学，则从6名同学中选出2人共有15个样本点(A，B)，(A，C)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，C)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(C，a)，(C，b)，(C，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)，2名都是女同学的有(a，b)，(a，c)，(b，c)，共有3个样本点故所求的概率为＝.

答案：